1、1小波分析及其应用小波分析及其应用(回顾回顾)1、小波的特点和发展 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3 、小波分析在图象分析中的应用 图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印2小波分析发展历史小波分析发展历史1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热传导解析理论”论文1910年 Haar 提出最简单的小波1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编
2、码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。 3小波的特点和发展小波的特点和发展 “小波分析” 是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种 “小波基函数” 对 “原始信号” 进行分解。 4小波的时间和频率特性小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变
3、化，称较高频率成分。 时间A时间B5多分辨度分析（多分辨度分析（MRA）1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如：6小波的小波的3 个特点个特点小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时， Fou
4、rier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式： MOMMOwf,log27小波基表示发生的时间和频率小波基表示发生的时间和频率“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较 傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基8 Haar小小波基母函数波基母函数（a）Haar “近似”基函数 （b）Haar “细节”基函数 低频滤波系数 高频滤波系数 H0= 1 1 q H1= 1 -1 q = q q = q -q 其中： 7071. 02 q9Haar小波的基函数小波的基函数第 1 行基函数是取平均（近似），第 2-8 行基函数是取变化（细
5、节）。 细节包括变化速率和发生的时间。 H0= 1 1 q H1= 1 -1 q尺度函数近似基函数小波函数细节基函数7071. 02 q10小波基可以通过给定滤波系数生成小波基可以通过给定滤波系数生成 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定滤波系数生成。 有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是对称的，有的是非对称的。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础。 11小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(Haar-正交，对称正交，对称) “近似”基函数“反变
6、换” 低频和高频 “滤波系数”“细节”基函数Haar小波“正变换” 低频和高频 “滤波系数”12小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(db 2-正交，不对称正交，不对称 ) “近似”基函数“细节”基函数 db小波“反变换” 低频和高频 “滤波系数”“正变换” 低频和高频 “滤波系数”13小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(db 4-正交，不对称正交，不对称) 14小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(sym 4-正交，近似对称正交，近似对称) 15小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(bior 2.4 双正交，对称双正交，对称) 16小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(
7、bior 6.8 双正交，对称双正交，对称) 172 2、小波、小波分析分析在一维信号处理中的应用在一维信号处理中的应用小波变换小波变换就是将 “ 原始信号 s ” 变换 成 “ 小波 系数 w ” ，w=wa , wd 包括近似(approximation)系数wa 与细节(detail)系数wd 近似系数wa-平均成分（低频） 细节系数wd-变化成分（高频） 18小波原始信号分解过程：小波原始信号分解过程： 原始信号s可分解成小波近似 a 与小波细节d 之和。 s = a+d小波系数 w = wa , wd 的分量，乘以 基函数，形成小波分解：小波近似系数wa 基函数A=近似分解 a -平
8、均小波细节系数wd 基函数D=细节分解 d-变化 19小波分解和小波分解和小波基小波基 小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量反变换：所有“小波分解” 合成原始信号 例如： 小波分解 a=小波系数 wa 小波基A20一维信号小波变换例子一维信号小波变换例子Haar小波，例子： 16点信号: 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 6 5 9 8 1 3 3 9通过MATLAB实现(wavemenu) 波形图小波正变换：小波系数： 小波近似系数（加）；小波细节系数（减）小波反变换：
9、可以由分解信号恢复原始信号。 有2种：近似分解；细节分解21一维信号的二级小波变换系数一维信号的二级小波变换系数原始信号2级小波系数 w2=wa2 , wd2 , wd1 * Haar是正交变换。除以常数，目的使变换后平方和不变。例如：2 62113411286362162823289331895658738956122ddawwws20621212622889562222222216位2级近似系数2级细节系数1级细节系数16位22一维信号的二级小波变换分解一维信号的二级小波变换分解2级近似分解 （原始信号每4个平均值）2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）1级细节分解 （原始信号单数和双
10、数的差值）恢复信号 9331895658738956 2662211113344111148888666633336666416161616282828282323232328282828122122ddasdda23一维信号的二级小波变换系数和分解一维信号的二级小波变换系数和分解原始信号2级小波系数w2=wa2 , wd2 , wd1 2级近似分解 （原始信号每4个平均值）2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）1级细节分解 （原始信号单数和双数的差值）恢复信号 9331895658738956 26622111133441111488886666333366664161616162828
11、28282323232328282828262113411286362162823289331895658738956122122122ddasddawwwsdda24 2 级级 Haar小波变换小波变换4点点例子例子 序信号s1 级 小波系数w1=wa1 ,wd1 2 级 小波系数w2=wa2,wd2,wd1167.778214.00002512.0208-3.0000390.70710.7071480.70710.7071 wd1wa1wa2wd2wd1 细节系数（ wd1 ）形成后不再变化。原始信号1 级 小波近似系数1 级 小波细节系数2级 小波近似系数2 级 小波细节系数3262/)
12、89 () 56(142282/ ) 8956 (7071. 07071. 0 2 8956 0208.127782. 7 2895689562211dadawwwws(s, w1 , w2的平方和不变)25序信号s一级小波w1=wa1 ,wd1 二级小波w2=wa2 , wd2 , wd1 167.778214.00002512.020811.5000397.071114.0000489.19248.0000537.7782-3.00006712.0208-1.5000782.8284-3.0000858.4853-4.0000960.70710.70711050.70710.7071119
13、-2.8284-2.82841282.12132.12131310.70710.70711430.70710.7071153-1.4142-1.4142169-4.2426-4.2426一级、二级一级、二级小波小波16点点 wd1wa1wa2wd2wd126小波小波去噪声去噪声16点点 序n信号s小波系数w1小波系数w2去噪声小波w2去噪声信号sdnsdn乘4取整 167.778214.000014.00007.0000282512.020811.500011.50007.000028397.071114.000014.00007.000028489.19248.00008.00007.000
14、028537.7782-3.000005.7500236712.0208-1.500005.750023782.8284-3.000005.750023858.4853-4.0000-0.50005.750023960.70710.707107.0000281050.70710.707107.000028119-2.8284-2.828407.0000281282.12132.121307.0000281310.70710.707103.7500151430.70710.707103.750015153-1.4142-1.414203.896416169-4.2426-4.2426-0.500
15、04.603618wd1wa1wa2wd2wd1去噪声去噪声wd2去噪声去噪声wd127原始信号原始信号 16点点 16点原始信号点原始信号 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 28两级小波系数两级小波系数16点点原始信号小波系数 26211341128636933189565873895612ddwws原始信号 (红)两级小波系数wd1wd2|wd2 |wd1 |2916点点 信号信号 的的Haar小波近似值和细节分解小波近似值和细节分解 两级分解26622111133441111488886666333366664161616162828282823232323
16、282828289331895658738956122122ddaddas30小波小波分析分析在图象处理中的应用在图象处理中的应用图象是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。（1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的行变换。（2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的列变换。小波变换用于图象压缩有良好的效果，已形成图象压缩的标准如JPEG2000。31小波变换用于图象特征抽取小波变换用于图象特征抽取 第1级斜线细节第1级水平细节第1级垂直细节水平细节近似图象垂直细节斜线细节32 第1级 L1斜线细节第1级 L1水平细节第1级 L1垂直细节第2级 L2细节近似图象第3级 L3小波系数
17、分级方块表示法33 第 3 级 L3分辨率第 2 级 L2分辨率第 1 级 L1分辨率小波系数分级树形表示法34小波变换用于图象压缩小波变换用于图象压缩 采用小波进行压缩。作“小波变换”后，统计特性有改善，消除行和列之间的相关关系。 有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后转换到一维作熵编码，如算术编码或霍夫曼编码。 无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差。但不能进行比特分配。 35小波变换用于图象压缩小波变换用于图象压缩 第 3 级 L3 水平、斜线、垂直细节第 2 级 L2 水平、斜线、垂直细节第 1 级 L1 水平、斜线、垂直细节两阈值线之间的直方图被去除（有损压
18、缩）36小波变换用于无损数据隐藏小波变换用于无损数据隐藏无损数据隐藏：是基于无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差。例如可以采用第二代小波。无损数据隐藏：避免在嵌入数据后小波反变换时图象灰度的溢出。小波变换前要作预处理，作直方图调整，将图象中灰度出现少的数据，合并入隐藏数据。第一个无损数据隐藏是1999年科达公司发表的一个专利。由于法律上原因，医学图象数据隐藏必须是无损的。此外、无损数据隐藏在电子银行、电子政务、电子商务、图象建档等有广泛的用途。 37数据嵌入数据嵌入核磁共振医学图象核磁共振医学图象 (可可无损恢复无损恢复) (水印图象见下页) (a)原始 (5125128) (b)小波域
19、嵌入水印图象 38水印图象水印图象 (1921202 二值图象) 39小波变换用于无损数据隐藏小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）交通图象） 原始图象 （1024768） 信息隐藏后的伪装图象（1024768）同时隐藏 5 张（320280）图象（见下页）40同时隐藏的同时隐藏的 5 5 张（张（320320280280）交通图象，）交通图象，可完全恢复可完全恢复 （1）上海延安路（3） 上海 曲阳路（2）外地（4） 上海 曲阳路（5） 上海 曲阳路41小波变换用于图象水印小波变换用于图象水印 指纹原始图象 嵌入水印(取款密码等)后图象 指纹传感器：标准的Veridicom指纹鼠标 指纹开发工
20、具：Veridicom Authentication SDK以Windows的DLL库方式提供 指纹库：(Fingerprint Verification Competition, FVC)。FVC2000 db1是由光学设备采集；FVC2000 db2是由电容设备采集。银行取款密码嵌入指纹，网上进行身份认证42小波变换用于图象水印小波变换用于图象水印 小波正变换小波反变换小波 正变换小波反变换数据嵌入数据提取原始图象加水印后图象输入原始图象加水印后图象 输出隐藏数据隐藏数据43小波分析最新进展小波分析最新进展（1）第二代小波，称提升算法，可用于整数小波。（2）嵌入零树法，获得更优良的效果。（3）小波与统计理论结合。（4）商品化，如“JPEG2000”小波图象压缩标准，MATLAB小波计算包等。44小小 结结（1）小波分析理论上比较完善 小波变换基，既具有频率局域性质，又具有时间局域性质。小波变换的多分辨度的变换，能在多个尺度上分解，便于观察信号在不同尺度（分辨率）上不同时间的特性。（2）小波分析有广泛的实用性 小波变换存在快速算法，对于M点序列而言，计算复杂性为：O(M)，处理快速。小波变换基函数有多种类型，可以是正交的，也可以是非正交（双正交），比傅里叶变换更加灵活。 (http:/
