1、立体几何中的向量方法 空间的角常见的有：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D, 与 的关系？CD AB, 与 的关系？DC AB结论结论：cos|cos,| a b一、线线角一、线线角： ab ，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb (2011陕西卷)如图，在如图，在ABC中，中，ABC60，BAC90，AD是是BC上的高，沿上的高，沿AD把把ABD折起，使折起，使BDC90. 设设E为为BC的中点，求的中点，求AE与与DB夹角的余弦值夹角的余弦值易得D(0，0，0)，B(1，
2、0，0)，C(0，3，0)，A(0，0， )，E ，)0 ,23,21(2222422121,cosDBAEDBAEDBAE3xyz2nBA ，直线与平面所成角的范围直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, 设平面 的法向量为 ，则与 的关系？nn BA思考：思考：结论结论：sin|cos,| n AB 二、线面角二、线面角： nnBAAB2n BA ， 1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于( ) A120B60 C30 D60或30 解析：由题意得直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030. 答案：C如图所示，在四棱
3、锥如图所示，在四棱锥PABCD中，中，底面底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，PAAD2，AB1，AMPD于点于点M. 求直线求直线CD与平面与平面ACM 所成角的所成角的正正弦值弦值xyzl将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。夹角。如图，设二面角如图，设二面角 的大小为的大小为 ，其中其中l,ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围二面角的范围：0, 练习练习：
4、如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的处，乙站在水坝斜面上的点点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如图，如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则有根据向量的加法法则有DBCDACAB 222)(DBCDACABd 2222()ACCDBDAC CDAC DBCD D
5、B DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab ABCD 所以所以.2cos2222abdcba 所以库底与水坝所成二面角的余弦值为所以库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba ll三、面面角三、面面角：二面角的范围二面角的范围：0, 法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n12n n ，12n n ， 已
6、知三棱柱已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于的侧棱垂直于底面，底面，BAC90，ABAA12，AC1，M、N分别是分别是A1B1、BC的中点的中点 求二面角求二面角MANB的余弦值的余弦值xyz解解：设设 n(x，y，z)是平面是平面 AMN 的一个法向量的一个法向量，AM(0，1，2)，AN12，1，0，由由AMn0，ANn0，得得0y2z0，12xy0.解得平面解得平面 AMN 的一个法向量的一个法向量 n(4，2，1)由题意知由题意知，平面平面 ABC 的一个法向量为的一个法向量为 m(0，0，1)cosm，nmn|n|m|12112121.二面角二面角 MANB 的余弦值是的余弦值是2121.1.异面直线所成角异面直线所成角： cos|cos,| a b2.直线与平面所成角直线与平面所成角： sincos, n AB|ABCD1DABOnabanlcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA方向向量法：方向向量法： 3.二面角二面角： 法向量法法向量法：
