1、1.5 1.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包括包括 直线与平面平行直线与平面平行定理：若平面外的一直线平行于平面上定理：若平面外的一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。n a c b m abcmn例例1 1：判断直线：判断直线MN MN 是否平行于平面是否平行于平面ABCABC？平行。平行。是否平行？是否平行？d d 正平线正平线例例2 2：过：过MM点作直线点作直线MNMN平
2、行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d d 两平面平行两平面平行定理：若一平面上定理：若一平面上的的两相交直线两相交直线分别平分别平行于另一平面上的行于另一平面上的两两相交直线相交直线，则这两平，则这两平面相互平行。面相互平行。若若两个两个相互平行相互平行的的平面与某投影面垂直平面与某投影面垂直，则它们则它们具有积聚性具有积聚性的的那组投影必相互平行。那组投影必相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e acebbaddfcfekhkhO OX X g g由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平
3、面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHGEFHG是否平行是否平行, , 已知已知ABCDEFGHABCDEFGH不满足定理不满足定理:若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线分别平行于另一分别平行于另一平面上的平面上的两相交直线两相交直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点。面的共有点。二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点
4、。 （利用（利用共有点和共有点和积聚性）积聚性） 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。 我们先只讨论我们先只讨论直线直线与平面中至少有一与平面中至少有一个处于个处于特殊位置特殊位置的情况（的情况（利用积聚性利用积聚性）。）。例：求直线例：求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mnmn的交点即的交点即为为K K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点判别可见性判别可
5、见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。作图作图用线上用线上取点法取点法 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 1 ( (2 2 ) )2 21 11 1 ( (2 2 ) )km(n)bm n c b a ac c 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点平投影积聚成一个点，故交点K K的水平投影也积聚在该点上。的水平投影也积聚在该点上。 求交点求
6、交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MNMN上，在后。上，在后。故故k k 2 2 为不可见。为不可见。k 2 2 1 1作图作图用面上取点法用面上取点法 两平面相交两平面相交 两平面相交两平面相交其交线为其交线为直线直线； 交线是两平交线是两平面的面的共有线；共有线； 交线上的点交线上的点都是两平面的都是两平面的共有点。共有点。abd(e)EBDh(f)cFCHmnHAMN 两平面相交两平面相交要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交一个共有点及
7、交线的方向。线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况于特殊位置的情况（积聚性求解）（积聚性求解）。 判别两平面之间的相判别两平面之间的相互遮挡关系，即：互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。abd(e)EBDh(f)cFCHmnHAMN可通过正面投影直观可通过正面投影直观地进行判别。地进行判别。abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，交线为一条正垂交线为一条正垂线线，两平面正面投影的交，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，点即为交线的正面投影，交线的水
8、平投影垂直于交线的水平投影垂直于OXOX轴。轴。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。nm能能!如何判别如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MNMN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？O OX Xabcdefc f d b e a m (n )例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MNMN并判别可见性并判别可见性。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在
9、交线左侧，平面ABCABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。mn空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线为一条正垂线条正垂线，两平面正面投，两平面正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂投影，交线的水平投影垂直于直于OXOX轴。轴。O OX Xaa bd(e)ebdh(f)cfch1 1( (2 2 ) ) 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFHDEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与acac、bcbc的交点的交点mm 、n n
10、 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mnmn即为交线即为交线MNMN的水平投的水平投影影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MCMC上，点上，点在在FHFH上，上，点点在前，点在前，点在在后，故后，故mmc c 可见。可见。作图作图2 21 1 mmnnabd(e)EBDh(f)cFCHmnN1 1( (2 2 ) )AMH例例：求两平面的交线：求两平面的交线 MNMN并并判别可见性判别可见性。abd(e)EBDh(f)cFCHmnN1 1( (2 2 ) )AMHaa bd(e)ebdh(f)cfch1 1( (2 2 ) ) 2 21 1 mmnnaa b
11、d(e)ebdh(f)cfchaa bd(e)ebdh(f)cfchabd(e)ebdh(f)cfchmnnm3. 3. 直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交( (略略) )方法：方法：辅助平面法辅助平面法4. 4. 两个一般位置平面相交（略）两个一般位置平面相交（略）EBDFCHAMN方法：方法：1.1.求一平面与另一求一平面与另一平面的两直线平面的两直线的交点（辅助的交点（辅助平面法）。平面法）。2.2.两交点的连线为两交点的连线为交线。交线。作业：作业：nP7： 4、5、6、8、9题abca b c 直线为一般位置时直线为一般位置时 直线为特殊位置时直线为特殊位置时bab ka
12、k 小小 结结 点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直特殊位置直 线与平面的投影特性（积聚性）线与平面的投影特性（积聚性）。重点掌握：重点掌握： 点、直线、平面的点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点一、直线上的点 点的投影在直线的同面投影上。点的投影在直线的同面投影上。 点的投影必分线段的投影成定比点的投影必分线段的投影成定比定比定理。定比定理。 判断方法判断方法 二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置 平行平行同名投影互相平行。同名投影互相平行。 对于一般位置直线，只对于一般位置直线，只要有两个同名投
13、影互相平行，要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平行。abcdc a b d 对于特殊位置直线，只对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。空间直线不一定平行。cbdd b a c a 相交相交 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。cab
14、b a c d k kdc abdabcd三、点与平面的相对位置三、点与平面的相对位置面上取点的方法面上取点的方法baca k b c 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解abca b k c 四、直线与平面的相对位置四、直线与平面的相对位置 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于直线平行于平面内平面内的一条直线。的一条直线。 直线与平面相交直线与平面相交 投影面垂直线与一般位置平投影面垂直线与一般位置平 面求交点，利用交点的共有面求交点，利用交点的共有 性和直线的积聚性，采取平性和直线的积聚性，采取平 面上取点的方法求解。面上取点的方法求解
15、。 一般位置直线与特殊位置平一般位置直线与特殊位置平 面求交点，利用交点的面求交点，利用交点的共有共有 性性和平面的和平面的积聚性积聚性，采用直，采用直 线上取点的方法求解。线上取点的方法求解。abcmnc n b am m(n)bm n c b a ac五、两平面的相对位置五、两平面的相对位置 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交两相交 直线直线分别平行于另一分别平行于另一 平面上的平面上的两相交直线两相交直线， 则这两平面相互平行。则这两平面相互平行。 若两个相互平行的平若两个相互平行的平面与某投影面垂直，则面与某投影面垂直，则它们具有它们具有积聚性积聚性的那组的那组投影必
16、投影必 相互平行。相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e 两平面相交两平面相交 两特殊位置平面相交，分两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交面的两个共有点，求出交 线。线。abcdefc f d b e a aabd(e)ebdh(f)cfch
