1、第五章第五章 自动控制系统的频域分析法自动控制系统的频域分析法引言对于一个系统而言，均可以采取一定的方法，求得其传递函数 如下： )(sG)()()(sRsCsG将 中 的 用来替代，所得到的式子即为该系统的频率特性，这种分析方法就称为频域分析法 )(sGsj幅相频率特性分析法考虑系统的传递函数 ，它可用频域表示成如下形式： ( )G s()( )|( )( )sjG jG sRjX其中： ( )Re (),( )Im ()RG jXG j系统频率特性也可通过幅值 和相角 表示成如下形式： |()|G j)()() |()|( )| ( )jjG jG jeG 式中： 1222( )( )ta
2、n( )|( )| ( )( )XRGRX 极坐标平面如下图所示：对数频率特性图 对数频率特性图又称为伯德图，它由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一种分析工具。现将频率特性表示如下：()() |()|jG jG je 对数幅频特性曲线的横坐标按 分度，单位为弧度/秒 ，其纵坐标按 的线性分度，单位是分贝 。其中 的表达式如下： lg)(srad)(L)(L)(dB)(lg20)(jGL对数相频曲线的纵坐标按 线性分度，单位是度 ，横坐标与幅频曲线的相同，由此构成的坐标系称为半对数坐标系 ( ) ( )对数分度示意图如下所示： 十倍频程中的对数分度：1234567891000.
3、301 0.477 0.6020.6990.7880.845 0.903 0.9541.00)lg(0比例环节 （ ）K频率特性： ()(0)G jK K其幅相曲线图和对数频率特性图分别如下图所示：惯性环节 （ ）0T ,11Ts频率特性： jTjG11)(对数幅频特性：)(1lg(10| )(|lg20)(2TjGL对数相频特性为：)(tan)(1T其幅相曲线图和对数频率特性图分别如下图所示：积分环节 （ ）s1开环传递函数中极点位于原点处的因子称为积分环节 频率特性： jjG1)(对数幅频特性为： 120lg|20lgdBj 对数相频特性为： ( )90 其幅相曲线图和对数频率特性图分别如
4、下图所示：微分环节（ ）s开环传递函数中零点位于原点处的因子称为微分环节 频率特性： jjG)(对数幅频特性为： dB lg20|lg20j对数相频特性为： 090)(其幅相曲线图和对数频率特性图分别如下图所示：一阶微分环节（ ）0T , 1Ts频率特性： 1)(jTjG对数幅频特性：)(1lg(10| )(|lg20)(2TjGL对数相频特性为：)(tan)(1T其幅相曲线图和对数频率特性图分别如下图所示：二阶微分环节 （ ）10 , 0 , 12n22nnss频率特性： nnjjG21)(22对数幅频特性：)2()1lg(10| )(|lg20)(2222nnjGL对数相频特性： 2212
5、arctan)(nn当 时：当 时：当 时：ndB 01lg20| )(|lg20)(jGL00)(n )lg(jGLnn40)lg(10| )(|lg20)(40180)(n)2lg(20| )(|lg20)(jGL090)(其幅相曲线图和对数频率特性图分别如下图所示：振荡环节 （ ）10 , 0 ,2n222nnnss频率特性： nnjjG211)(22对数幅频特性为：)2()1lg(10| )(|lg20)(2222nnjGL相应的对数相频特性为：2212arctan)(nn当 时：当 时：当 时：ndB 01lg20| )(|lg20)(jGL00)(n )lg(401)lg(10|
6、)(|lg20)(n4njGL0180)(n)2lg(20| )(|lg20)(jGL090)(其幅相曲线图和对数频率特性图分别如下图所示：一般系统频率特性的绘制 研究传递函数的一般形式： )(21 )1 ()()1 ()(2111kkkRkmMmNiQijjjTjjKjG 该系统包含了Q个零点，N个在原点处的极点，M个在实轴上的极点和R对共轭复数极点。该系统的对数幅频特性和对数相频特性如下： )2()1lg(10)(1lg10 lg20)(1lg10lg20| )(|lg20)(122221212RkkkkMmmQiiTNKjGLMmRkkkkmQiiTN1122111112tan)(tan
7、)2()(tan)( 从上式可以看出，系统中包含了如下几个典型环节： 比例环节 ； 积分环节 ；一阶微分环节 ；惯性环节 和振荡环节 Kj11j11jT)2)(1 (12nn 对于上述这些典型环节的概略对数频率特性曲线我们很清楚，因此，无论是对数幅频特性还是对数相频特性均可以用这些基本环节组合而成。这就是一般系统频率特性曲线绘制的思路 型开环传递函数的幅相曲线绘制 现在研究下面的开环系统：) 1() 1()()(11sTssKsHsGinijmj该系统的频率特性的形式如下所示： )1 ()()1 ()()(11inijmjjTjjKjHjG该系统的幅频和相频分别如下所示： 2/1212/121
8、)(1 )()(1 | )()(|inijmjTjKjHjG)arctan()2()arctan()(11imjnijT型开环系统幅相曲线的相关数值 值000102030400| )()(|jHjG)(| )()(|jHjG)(K2)(mn2)(mn2)(mn2)(mn2)(mn2232型开环传递函数的对数频率特性曲线的绘制对数幅频特性和对数相频特性如下： niijmjTKjHjGL1221)(1lg(10lg20)(1 lg10lg20| )()(|lg20)()arctan()2()arctan()(11imjnijT型开环系统对数频率特性的相关数值 值0012340)()()()(jHj
9、G)()(jHjGKlg2022322)(mn2)(mn2)(mn2)(mn2)(mn带二阶零阻尼系统开环传递函数幅相曲线的绘制 不失一般性，现设二阶系统的开环传递函数如下： 0,) 1() 1() 1()()(221211ijklkilnijmjT K, m,n ,ssTsKsHsGk 将上式转变成频率特性得：kklkilnijmjjTjKjHjG)1 ()1 ()1 ()()(221211幅频特性为：kklkilnijmjTKjHjG)1 ()(1 )(1 | )()(|221212212/121相频特性为：lkkmjlniijsigT1121)()arctan()arctan()(其中：
10、 kk sig0)(带二阶零阻尼系统开环传递函数对数频率特性曲线的绘制 研究如下控制系统的传递函数：0,) 1() 1() 1()()(221211ijklkilnijmjT K, m,n ssTsKsHsGk频率特性为： jTjKjHjGkklkilnijmj)1 () 1() 1()()(221211该系统的对数幅频特性和对数相频特性： T KjGLlkkklniimjj12221212| )1 ( |lg20)(1lg10)(1lg10lg20| )(|lg20)(lkklniimjjsigT121111)()(tan)(tan)( 且： )2()2(| )( | )( , 0| )(
11、, lg20| )(l1kk00mlnLKL奈奎斯特稳定性判据 若开环传递函数 位于 右半平面的极点数为零(即 )，此时奈奎斯特判据可以简述如下： )(sGHs0P反馈控制系统稳定的充分必要条件是反馈控制系统稳定的充分必要条件是：当 沿广义D形围线连续变化一周时， 平面内的闭合曲线 不包围点 s)(sGHGH)0, 1(j若 位于 右半平面的极点数是非零数(即 )，那么奈奎斯特判据可以表述如下： )(sGHs0P反馈控制系统稳定的充分必要条件是反馈控制系统稳定的充分必要条件是：当 沿广义D形围线连续变化一周时，闭合曲线 逆时针绕点 的圈数 等于开环传递函数 的正实部极点数 sGH)0, 1(j
12、N)(sGHP对上述判据的一个补充说明：（1）如果开环传递函数 的正实部极点数为零(即 )，若要求系统稳定，则 ，即曲线 不包围点 。同样地，如果 是非零数，若要求系统稳定，即曲线 逆时针包围点 圈 )(sGH0P0NGH)0, 1(jPGH)0, 1(jP（2）在计算穿越次数时，当 穿过点 时，因系统处于临界稳定状态，故不计 穿越 点的次数 GH)0, 1(jGH)0, 1(j 曲线的确定 穿越次数的确定 的确定 对数频率特性的稳定性判据 主要包括三个步骤：GHNN 、幅值裕度 设 为系统的穿越频率，即： x, 1, 0;) 12()()(kkjGHxx定义幅值裕度为： )(1xjGHh在对
13、数坐标下，幅值裕度的定义式为：dBjGHhx| )(|lg20幅值裕度的含义：对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 倍，则系统将处于临界稳定状态 h相角裕度 设 为系统截止频率，即： c1)()(ccjGHA定义相角裕度为：)(1800cjGH相角裕度 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 度，则系统将处于临界稳定状态 稳定性小结图 使用MATLAB绘制系统的频率特性 ()Nyquist控制系统的幅相特性的绘制 函数简单介绍该函数如下： 格式： ), ,(WMAXWMINSYSNYQUIST其中： 为待画系统的传递函数SYS下限值和上限值分别为所画频率范围的和WMAX
14、WMIN 函数也可以同时画几个系统的幅相曲线，采用如下格式： ()Nyquist),(,WSYSNYQUISTIMRE部和虚部为频率响应返回值的实为频率矢量；其中，IMREW,BODE函数 格式： )(,),(,)(SYSBODEWPHASEMAGandWSYSBODEPHASEMAGSYSBODE或其中： 待画系统传递函数的描述句柄； SYS频率响应幅值和相角的返回值； PHASEMAG,功能：绘制所给定系统的对数频率特性图； 功能：在给定的频率段范围内绘制所给定系统的对数频率特性图，其中 和 分别为所给定频率段范围的下限值和上限值 可选格式1： ), ,(WMAXWMINSYSBODEWM
15、INWMAX可选格式2： ),(WSYSBODE功能：根据用户提供的频率矢量“ ”来评估所画的 图 WBODE 函数 ),(log21XXspace该函数的主要功能就是在区间 内均匀生成50个行矢量；如采用 格式，则在区间 内均匀生成 个点 10 1021XX)(21NXXLOGSPACEnum=20*0.1 1;den=conv(1 0,conv(0.5 1,0.0004 0.012 1);s=tf(num,den);w=logspace(-1,3,200);bode(s);10 1021XXN举例举例结果示意图：控制系统的Nichols曲线的绘制 举例设一控制系统的开环传递函数如下： )3
16、)(1)(42 . 0(8)(2sssssssG试画出该系统的Nichols图解：使用MATLAB绘制上述系统的程序如下：num=1 8;den=conv(1 0,conv(1 0.2 4,conv(1 1,1 3);s=tf(num,den);nichols(s);set(gca,Ylim,-10 35);grid结果如下图所示： 控制系统稳定裕度的计算和判断 举例试求下列系统的稳定裕度) 1012. 0)50)(15 . 0() 11 . 0(5)(2ssssssG解：计算稳定裕度的具体程序如下：num=20*0.1 1;den=conv(1 0,conv(0.5 1, 0.0004 0.
17、012 1);s=tf(num,den);margin(s);结果图如下所示：从图中可以得到该系统的幅值裕度为 ，相角裕度为： dB6 .169 .45闭环控制系统的带宽：二阶系统 的带宽频率为： 2222)(nnnsss2/12221)21 ()21(nb一阶系统 的带宽频率： 11)(TssTb1谐振峰值与时域指标对于闭环系统而言，谐振峰值 是一个常用的指标，它主要用来表征系统的稳定程度rM现假设系统开环相频特性为： )(180)(j其中， 表示相角相对于 的相移 )(180经过推导可得：|sin|1rM当阻尼比 时，谐振峰值、谐振频率和阻尼比之间满足如下的关系式： 707. 02121)
18、(rrrMM221nr对于高阶系统而言，谐振峰值与调节时间的关系可由下式求得 ：csKt0式中： 8 . 11) 1(5 . 2) 1(5 . 1220rrrMMMK同样对于高阶系统而言，谐振峰值与超调量之间的关系可由下式求得： 8 . 11) 1(4 . 016. 0rrpMM相角裕度与时域指标 )2()(2nnsssGH闭环传递函数的特征方程为： 0222nnss由此，系统闭环极点为： 21nnjs设一单位负反馈系统，其开环传递函数为：则开环系统的频率特性为： )2()(2nnjjjGH经过计算相角裕度为：)214(2arctan2124阻尼比 与相角裕度 之间的关系如下图所示： 其他频域与时域指标之间的关系 带宽频率： 422442221nb截止频率： 24241nc高阶系统的固有频率： scsntt7tan 5 . 3或
