1、层次分析法层次分析法Analytic Hierarchy Process（AHP）思想和原理o 经济计划、资源分析、方案选择、区域开发、污染控制、环境整治等o 解决方法：n 数学模型当某些决策问题所涉及的因素间的相互关系能够定量地加以表示时得到最优解；n 非数学模型决策中总有大量因素无法定量地表示，通过数学模型所求得的最优解并不是现实生活中的最优解思想和原理o 非数学模型更强调人的思维判断在决策过程中的作用。o 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重，各种因素的影响很难量化，从而给应用数学方法解决问题带来不便。o T. L. Saaty T.
2、L. Saaty 等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。思想和原理o 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, Analytic Hierarchy Process, AHP)AHP)是一种定性和定量相结合的、多准则决策方法。n 它是将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。思想和原理o 特点：n 对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析后，构建一个层次结构模型；n 利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便
3、的决策方法。n 尤其适用于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难以直接准确计量的场合。层次分析法建模层次分析法建模问题的提出问题的提出某人准备选购一台电冰箱n他对市场上的6种不同类型的电冰箱了解后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。n然后再考虑各种型号冰箱在上述各标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。n在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序；n然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购
4、买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。层次分析法建模层次分析法建模o 问题的提出：n 例2 旅游：是去风光秀丽的苏州，还是去凉爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。n 例3 择业：面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。n 例4 科研课题的选择：由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。层次分析法的基本思路（1）o 选择钢笔n质量、颜色、价格、外形、实用n钢笔1、钢笔2、钢笔3、
5、钢笔4n将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序，经综合分析决定买哪支钢笔？o 与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。n比较、分解和综合是大脑解决问题的一种思考过程o 人们在进行社会的、经济的及科学管理领域问题的体系分析中，面临的经常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法的基本思路（2）o 首先把问题层次化n根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。o 在排序计算中，每一个层次的因素相对于上一层次某一因素的单排序问题又可简化为以系列成对因素的
6、判断比较。n为了将比较判断定量化，层次分析法引入了19标度法，并写成判断矩阵形式。o 形成判断矩阵之后，即可通过计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，计算出某一层次对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。层次分析法的基本思路（3）o 在计算出某一层次相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本身的权值加权综合，即可计算出某层因素相对于上一层次的相对重要性权值，即层次总排序权值。o 这样，依次由上至下即可计算出最底层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对优劣次序的排序值。模型和步骤（1）o 假设某一个企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和
7、员工建议，现有如下方案可供选择：n 作为奖金发给员工n 扩建员工宿舍、食堂等福利设施n 办员工进修班n 修建图书馆、俱乐部等n 引进新技术设备进行企业技术改造。模型和步骤（1）o构造层次分析结构模型和步骤（1）o 建立层次分析结构后，问题分析即归结为各种使用企业利润留成方案相对于总目标考虑的优先次序或利润使用的分配问题。n把复杂问题分解为称之为元素的各个组成部分；n按元素的相互关系及其隶属关系形成不同的层次；n同一层次的元素作为准则对下一层次的元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。n层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素。n最高层只有一
8、个元素，每一层次的元素一般不超过9个。模型和步骤（2）o 构造判断矩阵n 主要是人们对每一层次中各因素相对重要性给出的判断n 这些判断通过引入合适的标度用数值表示出来，写成判断矩阵n 判断矩阵表示针对上一层因素，本层次与之有关因素之间相对重要性的比较设某层有个因素，n nxxxX,21 ijaijjiijaa1 nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA212222111211An构造判断矩阵构造判断矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为判断矩阵或成对
9、比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1919尺度。尺度。尺度第 个因素与第 个因素的影响相同ij第 个因素比第 个因素的影响稍强 第 个因素比第 个因素的影响强 第 个因素比第 个因素的影响明显强第 个因素比第 个因素的影响绝对地强 iiiijjjj含义比较尺度：（1919尺度尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。jijiijaa1由上述定义知，成对比较矩阵 nnijaA ; 0, 1ija;1 ,2jiijaa则称为正互反阵正互反阵。比如，在旅游问题中，某人给出第二层A A的各因素对目标层Z Z
10、的影响两两比较结果如下：满足以下性质: ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311.1 ,3iia54321,AAAAA分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。由上表，可得成对比较矩阵 1135131112513131211714155712334211A 表示景色 与费用 之比为1：2， 表示景色 与居住条件 之比为4：1，可以看出，此人在选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之，居住条件再次。旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。问题：问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素
11、的影响程度的排序结果呢？1212a 1A2A1A134a 3A既然 与 之比为1：2， 与 之比为4：1，那么1A2A1A3A2213132 48:11 1AAAAAA应该有：，而不是7：1，才能说明成对比较是一致的。但是，n个因素要做n(n-1)/2次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了！因此，Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素 对因素z的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这一点，我们先看成对比较完全一致的情况。12345,A A A A A即，nji, 2 , 1,1321231321234, 2, 7aaaaaa Aijkjikaaa ijkjikaa
12、a Anjiaaaiijiij,2, 1, 1,1 .1也是一致阵TA . 2 1 . 3ArankA的各行成比例，则但在例2的成对比较矩阵中，在正互反矩阵在正互反矩阵 中，若中，若 , ,则称则称 为一致阵。为一致阵。一致阵的性质：。特征根均等于个其余的最大特征根（值）为0 1, . 4n-n AA5. 的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。n3 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验nnwww,21层次单排序：层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记
13、为1，打碎分成 各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵 11121212121wwwwwwwwwwwwAnnnn由右面矩阵可以看出，jkkijiwwwwww 若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根 的归一化特征向量 ，( )定理定理： 阶互反阵 的最大特征根 ，当且仅 当 时， 为一致阵。Annwww,2111 niiwiwinnn A表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，但在不一致的容许范围内，SaatySaaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则wwwAnwww,21w这样确定权向量的方法称为特征根法特征根法
14、. .1nnCI由于 连续的依赖于 ，则 比 大的越多， 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量 nijanAA的不一致程度。定义一致性指标一致性指标AnA CI=0时， 为一致阵；CI越大A 的不一致程度越严重 。注意到 的 个特征根之和恰好为 ，所以CI相当于除 外其余的特征根的平均值。nRI50021,AAA50021,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标 定义随机一致性指标随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵随机一致性指
15、标 RI 的数值：n1 234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511 .0RICICRAA一致性检验一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。 一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加以调整。时，认为A模型和步骤（2）o 企业领导对于资金使用的态度是：n 首先是提高企业技术水平；n 其次是要改善员工物质生活；n 最后是调动员工的工作积极性。113/13/1113/13/13311331113/133153/15/
16、113BA132/153/115/1335175/13/17/1113/12/15/17/13122/14/112/113/15/152313/17432121BB模型和步骤（3）一致性检验o 判断思维的一致性是指专家在判断指标重要性时，各判断之间协调一致，不致于出现相互矛盾的结果。o 当矩阵具有完全一致性时，其余特征根均为零。o 当矩阵A不具有完全一致性时，有nmax1nmax1niin1max4 4 层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序层次总排序 从最高层到最
17、低层逐层进行。设： Z1A2AmA1B2BnB,21mAAAmA个因素层对总目标Z的排序为maaa,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为), 2 , 1( ,21mjbbbnjjj即 层第 个因素对总目标的权值为：BnmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:Bimjijjba1层的层次总排序为：B层的层次总排序mAAA,21maaa,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设 层 对
18、上层( 层)中因素 的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,21A), 2 , 1(mjAjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111 . 0CR当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。 对每个成对比较矩阵计算最大特
19、征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.4.计算总排序权向量并做一致性检验计算总排序权向量并做一致性检验1 . 0CRCR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率三三 层次分析法建模举例层次分析法建模举例Z1A2A3A4A5A1B2B3B54321,AAAAA321,BBB
20、 旅游问题旅游问题(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。 （2）构造成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A1215121215211B1383113813112B131313113113B114111314314B144411141115B(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验A073. 5110. 0 ,099. 0 ,055. 0 ,475. 0 ,263. 0018. 0155073. 5CI12. 1RI1 . 0016. 012. 1018. 0CRA成对比较矩阵 的最大特征值表明 通过了一致性验
21、证。故则该特征值对应的归一化特征向量 对成对比较矩阵 可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下： 54321,BBBBBk1k2k3kkkCIkRI12345595. 0082. 0429. 0633. 0166. 0277. 0236. 0429. 0193. 0166. 0129. 0682. 0142. 0175. 0668. 0005. 3002. 33009. 33003. 0001. 000005. 058. 058. 058. 058. 058. 0计算 可知 通过一致性检验。kCR54321,BBBBBkCR0.0052 0.0017 0 0.0086 0对总目标的权
22、值为：1B3 . 0110. 0166. 0099. 0633. 0055. 0429. 0475. 0082. 0263. 0595. 032,BB,456. 0 ,246. 0456. 0 ,246. 0 , 3 . 01 . 0015. 058. 0/)0110. 0005. 0099. 00055. 0001. 0475. 0003. 0263. 0(CR（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得， 对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。456. 0 ,246. 0 , 3 . 0213BBB321,BBB故最后的决策应为
23、去桂林桂林。又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为四四 层次分析法的优点和局限性层次分析法的优点和局限性1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。 2 实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3 简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确
24、，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：第一第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第二第二 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙 的，不适用于精度较高的问题。第三第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。思考：多名专家的综合决策问题思考：多名专家的综合决策问题1.AHP在企业兼并目标选择中的应用o 兼并目标选择问题是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统问题，需要一种将决策者经
25、验判断给以量化，将定性和定量分析相结合并对决策对象进行优劣排序的多目标决策分析方法。o 根据我国企业兼并现状和发展趋势分析，在3个兼并备选企业目标的评价主要包括以下六个方面：n财务经济状况（F1）n产品市场需求状况（F2）n发展环境（F3）n技术进步潜力（F4）n组织管理状况（F5）n工艺技术相关性（F6）2.AHP在学生评教中的应用o 学生评教是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统问题，需要一种将决策者经验判断给以量化，将定性和定量分析相结合并对决策对象进行优劣排序的多目标决策分析方法。o 根据我校情况，选取5名这学期授课教师，对以下六个方面内容进行评价：n培养学生解决问题能力（F
26、1）n内容的丰富与深度（F2）n授课技巧与课堂掌控能力（F3）n沟通能力（F4）n责任心（F5）n幽默（F6）3.AHP在物流中心选址中的应用o 物流中心选址是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统问题，需要一种将决策者经验判断给以量化，将定性和定量分析相结合并对决策对象进行优劣排序的多目标决策分析方法。o 根据我国现状，物流中心选址主要包括以下六个方面：n经济效益（F1）o 利用已有的基础设施（F11）、建设工程量（ F12 ）、靠近大型企业、靠近交通主干道（ F13 ）、完善的道路运输网络（ F14 ）、地价因素（ F15 ）、劳动力因素（ F16 ）、靠近货运枢纽（ F17 ）n
27、社会效益（F2）o 对生态环境的影响（ F21 ）、对周围企业的影响（ F22 ）4.AHP在人生规划中的应用o 人生规划也是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统问题，需要一种将决策者经验判断给以量化，将定性和定量分析相结合并对决策对象进行优劣排序的多目标决策分析方法。o 根据个人情况，主要包括以下几方面：n事业（F1）n生活（F2）n理想（F3）n金钱（F4）n朋友（F5）n爱情（F6）5.AHP在选课方面的应用o 选课也是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的大系统问题，需要一种将决策者经验判断给以量化，将定性和定量分析相结合并对决策对象进行优劣排序的多目标决策分析方法。o 根据个人情况，主要包括以下几方面：n授课老师（F1）n难易程度（F2）n与专业目标接近程度（F3）n兴趣（F4）n考试容易程度（F5）n提升自身能力（F6）
