1、水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面二次曲面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: 定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.4.1 4.1 柱面柱面母线母线准准线线柱面举例：柱面举例：xozyxoz
2、yyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线 C:0),( yxF. （其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面，椭圆柱面，x12222 byax双曲柱面双曲柱面 ，zpzx22 抛物柱面，抛物柱面，y母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴1.
3、 椭圆柱面椭圆柱面12222 byaxxyzO2. 双曲柱面双曲柱面12222 byaxxozy4.2 4.2 锥面锥面 定义定义4.2.14.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做族直线所产生的曲面叫做锥面锥面. .这些直线都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线. .那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点. .锥面的方程是一个三元方程锥面的方程是一个三元方程. .特别当顶点在坐标原点时：特别当顶点在坐标原点时： n次齐次方程次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z
4、)= 0是是 n次齐次方程次齐次方程： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若准线准线顶点顶点F(x,y,z)= 0. 反之，以原反之，以原点为顶点的锥面点为顶点的锥面的方程是的方程是n次齐次次齐次方程方程 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面的准线不锥面的准线不唯一，和一切母线唯一，和一切母线都相交的每一条曲都相交的每一条曲线都可以作为它的线都可以作为它的母线母线.请同学们自己用截痕法请同学们自己用截痕法研究其形状研究其形状.0222222 czbyax椭圆锥面椭圆锥面xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy
5、 2222yxaz 或或定义定义4.3.14.3.1 以一条以一条平面曲线绕其平面平面曲线绕其平面上的一条直线旋转上的一条直线旋转一周所成的曲面称一周所成的曲面称为为旋转曲面旋转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴观看演示观看演示4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面这条曲线叫旋转曲这条曲线叫旋转曲面的面的母线母线4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平
6、面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.
7、3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条
8、定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的
9、曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4.3 旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴重新演示重新演示分析分析曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴
10、轴4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕z轴轴.4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).y z
11、o S4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点）点M到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕 z轴轴旋转一周的旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程. , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,
12、22 zxyf例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）xOz 面上双曲线面上双曲线12222 czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z轴；轴； 绕绕x轴轴旋旋转转122222 czyax旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox绕绕z轴轴旋旋转转122222 czayx（1）xOz 面上双曲线面上双曲线12222 czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z轴；轴； xyoz xyoz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayxxyzxyz长形旋转椭球
13、面长形旋转椭球面扁形旋转椭球面扁形旋转椭球面（3）yOz 面上抛物线面上抛物线pzy22 绕绕 z轴；轴； pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo0 p几种 特殊旋转曲面n1 双叶旋转曲面n2 单叶旋转曲面n3 旋转锥面n4 旋转抛物面n5 环面x zbyax 双曲线双曲线0y1 1 绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周1 1 x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线1 1 .绕绕 x 轴一周轴一周axyo2 2 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax a
14、xyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 2 2 a.xyoz 得得单单叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 byazx.2 2 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax3 3 旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz3 3 旋转锥面旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.
15、3 3 旋转锥面旋转锥面yoz 02 xazy4 4 抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周4 4 yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.4 4 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面例例.5 5yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圆圆5 5z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗
16、？生活中见过这个曲面吗？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆.5 5 二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二
17、次曲面二次曲面1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo4.4 4.4 椭球面椭球面椭球面的方程ozyx1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭球面椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是的交线也是椭圆椭圆.1xx 1yy 121222221222
18、21)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面 012222yczax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为4.5 4.5 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 cz
19、byax（1）用坐标面）用坐标面 与与 曲面相截截得中心在原点曲面相截截得中心在原点 )0( zxoy的的椭圆椭圆)0 , 0 , 0(O 012222zbyax一、单叶双曲面一、单叶双曲面与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz（3）用坐标面）用
20、坐标面 ，与曲面相截，与曲面相截)0( xyoz均可得双曲线均可得双曲线.二、 双叶双曲面1222222 czbyax双叶双曲面双叶双曲面xyoz 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax单叶单叶：双叶双叶：yx zo 在平面上，双曲线有渐进线。在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐进锥面渐进锥面。 用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当| |h h| |无限增大无限增大时，时， 双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥渐进锥面面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面
21、和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：渐进锥面：锥锥xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx22222 4.6 4.6 抛物面抛物面一、椭圆抛物面一、椭圆抛物面xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面.zqypx22222 4.6 4.6 抛物面抛物面一、椭圆抛物面一、椭圆抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点
22、，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.椭圆抛物面方程椭圆抛物面方程与平面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得截得抛物线抛物线与平面与平面 的交线为的交线为抛物线抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴.z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标
23、面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得均可得抛物线抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qpzxyoxyzo椭圆抛物面椭圆抛物面的图形如下：的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕绕 z 轴旋轴旋转而成的）转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为的交线为圆圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz用用z = a截曲面截曲面
24、用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法一、双曲抛物面（马鞍面）一、双曲抛物面（马鞍面）截痕法截痕法.xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222一、双曲抛物面（马鞍面）一、双曲抛物面（马鞍面）截痕法截痕法.xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222一、双曲抛物面（马鞍面）一、双曲抛物面（马鞍面）zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论： 设设0,
25、 0 qp图形如下：图形如下：xyzo平面、柱面、锥面有什么共同的特征呢?椭圆抛物面有没有更复杂的直纹曲面呢？有哪些二次曲面可能是直纹曲面呢?1210 xyz：: l xyz单叶旋转双曲面Back2222221, ,0 xyzabca b c推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.Back22222,0 xyzaba b双曲抛物面定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.例题例题22219416xyz6,2,8例题例题22222xyz abab2a2
