1、第三篇第三篇 动力学动力学引引 言言 动力学研究物体的机械运动与作用力之间动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。的关系。 动力学中所研究的力学模型是动力学中所研究的力学模型是质点质点和和质点质点系系（包括（包括刚体刚体）。）。 动力学的两类问题：（动力学的两类问题：（1）已知物体的运）已知物体的运动规律，求作用在物体上的力；（动规律，求作用在物体上的力；（2）已知作）已知作用在物体上的力及运动的初始条件，求物体的用在物体上的力及运动的初始条件，求物体的运动规律。运动规律。第九章第九章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程动力学基本定律动力学基本定律 质点运动微分方程质点运动微分方程 9.
2、1动动 力力 学学 基基 本本 定定 律律 第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态不变。止的或匀速直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性惯性。 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为平衡力系，则等效于质点不受力。上的力系为平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：该定律表明：力是改变质点运动状态的原因力是改变质点运动状态的原因。 第二定律（力与加速度关系定律）第二定律（力与加速度
3、关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。度的方向与力的方向相同。9.1动动 力力 学学 基基 本本 定定 律律 即：即：mFa或或Fam由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式为称上式为动力学基本方程动力学基本方程。 当质点同时受几个力的作用时上式中的当质点同时受几个力的作用时上式中的 应理解应理解为这些力的合力。为这些力的合力。 该定律表明：该定律表明： 1、力与加速度的关系是瞬时
4、关系，即力在某瞬时、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。可以完全不同于作用力的方向。 2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点上，、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。F9.1动动 力力 学学 基基 本本 定定 律律gmPgPm 式中式中 是物体所受重力的大小，称为物体的重量，是物体
5、所受重力的大小，称为物体的重量， 是重力加速度的大小。通常取是重力加速度的大小。通常取 。 在国际单位制中，长度、质量和时间的单位是在国际单位制中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取米、千克和秒；力的单位是导出基本单位，分别取米、千克和秒；力的单位是导出单位，为牛顿。即：单位，为牛顿。即：Pg28 . 9smg )( 1)( 1)( 12smKgN 这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越强，即质量越大，惯性也越大。因此，强，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点质量是质点惯性大小的度量惯性大小的度量。 在重力场中，物体均受重力作用。物体
6、在重力在重力场中，物体均受重力作用。物体在重力作用下自由下落所获得的加速度称为作用下自由下落所获得的加速度称为重力加速度重力加速度，用用 表示。由第二定律有表示。由第二定律有g9.1动动 力力 学学 基基 本本 定定 律律 必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为系称为惯性坐标系惯性坐标系。反之为。反之为非惯性坐标系非惯性坐标系。 第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作
7、用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。用在这两个物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典古典力学力学。9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 将动力学基本方程用微分形式表示所得到的方将动力学基本方程用微分形式表示所得到的方程称为程称为质点运动微分方程质点运动微分方程。 一、矢径形式的质点运动微分方程一、矢径形式的质点运动微分方程 由动力学基本方程：由动力学基本方程： 由运
8、动学可知：由运动学可知：Fam22dtrddtvda于是可得：于是可得：FdtvdmFdtrdm22或或这就是这就是矢径形式的质点运动微分方程。矢径形式的质点运动微分方程。 二、直角坐标形式的质点运动微分方程二、直角坐标形式的质点运动微分方程xFdtxdm22yFdtydm22zFdtzdm22这就是这就是直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的质点运动微分方程。9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 三、自然坐标形式的质点运动微分方程三、自然坐标形式的质点运动微分方程FdtdvmnFvm2bF0或或Fdtsdm22nFsm2bF0这就是这就是自然坐标形式的质点运动微分方程
9、。自然坐标形式的质点运动微分方程。四、动力学两类问题的求解四、动力学两类问题的求解 第一类问题：第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。 第二类问题：第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运已知作用在质点上的力，求质点的运动动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。积分问题。9.2 下面就力是一个变量的函数的首次积分加以介绍：下面就力是一个变量的函数的首次积分加以介绍： 1、当力是常数或是时间的简单函数时，有
10、、当力是常数或是时间的简单函数时，有 ，则，则 。 )(tFdtdvmttvvdtFmdv0)(0质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 )(xFdxdvmv ，分离变量积分，分离变量积分 。xxxvvdxFmvdv00)( 3、当力是速度的简单函数时，有、当力是速度的简单函数时，有 ，分离变量积分分离变量积分 。)(vFdtdvmtvvvdtdvFm0)(0 下面举例说明质点动力学两类问题的求解方下面举例说明质点动力学两类问题的求解方法。法。dxdvvdtdxdxdvdtdv)(xFdtdvm 2、当力是位置的简单函数时，有、当力是位置的简单函数时，有 ，利用循环求导变换利用循环求导
11、变换 ,则有则有 例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为求作用在质点上的力 。tbytaxsincosF 解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间 ，得t12222byax可见质点作椭圆运动。 将运动方程对时间求两阶导数得：tbytaxsincos22 oijabrMFxyvyx oijabrMFxyvyx代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：tmbymFtmaxmFyxsincos22 于是rmj yi xmj tbi tamj tmbi tmajFiFFyx22222)()sincos(sincos可见，力 与矢径 共线反向，其大小正比于矢径
12、 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。Frr9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 4560OrMAB60OrMABgmvnbATBT 例2 质量为1Kg的小球M，用两绳系住，两绳的另一端分别连接在固定点A、B，如图。已知小球以速度 在水平面内作匀速圆周运动，圆的半径 ，求两绳的拉力。smv5 . 2mr5 . 0 解：以小球为研究对象，任一瞬时小球受力如图。 小球在水平面内作匀速圆周运动。 0a225 .12smrvan方向指向O点。9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 60OrMABgmvnbATBT 建立如图所示的自然坐标系。由自然坐标形式的质点运动
13、微分方程得：60sin45sin2BATTrvm60cos45cos0BATTmg（1）（2）代入数据，联立求解得：)(65. 8NTA)(38. 7NTB 下面再对本题作进一步的分析讨论，由（1）、（2）式可得：)238 . 9(1322vTA)8 . 92(1322vTB令 ，可得0AT)(91. 239 . 4smv令 ，可得0BT)(21. 29 . 4smv因此，只有当 时，两绳才同时受力。否则将只有其中一绳受力。)(91. 2)(21. 2smvsm9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 例3 从某处抛射一物体，已知初速度为 ，抛射角为 ，如不计空气阻力，求物体在重力
14、单独作用下的运动规律。 xy0vvMgm0v 解：以抛射体为研究对象，将其视为质点。任一瞬时受力如图，建立如图的坐标。 由直角坐标形式的质点运动微分方程得mgdtydmdtxdm22220积分后得21CgtdtdyCdtdx9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 再积分后得4223121CtCgtyCtCx式中， 为积分常数，由初始条件确定。4321,CCCC 当 ， ， ，0t000 yxsin,cos0000vvvvyx代入以上四式，即得： ， 。于是物体的运动方程为：sin,cos0201vCvC043 CCcos0tvx 2021gttvy 轨迹方程为：2202cos2v
15、gxxtgy由此可见，物体的轨迹是一抛物线。9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 oRHMFx 例例4 垂直于地面向上发射一物体，求垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的运动速度，并该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。转的影响。 解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。质点在任一位置受地球引力的大小为：20 xmMGF 由于20RmMGmg 所以MgRG20 由直角坐标形式的质点运动微分方程得：2222xmgRFdtxdm由于 ，将上式改写为dxdvvdtdxdxdvdtd
16、vdtxdxxxx229.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 22xmgRdxdvmvxx分离变量得：22xdxmgRdvmvxx设物体在地面发射的初速度为 ，在空中任一位置 处的速度为 ，对上式积分0vxv220 xdxmgRdvmvxRxvvx得)11(21212202RxmgRmvmv所以物体在任意位置的速度为：xgRgRvv2202)2(可见物体的速度将随 的增加而减小。x9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 xgRgRvv2202)2( 若 ，则物体在某一位置 时速度将为零，此后物体将回落， 为以初速 向上发射物体所能达到的最大高度。将 及 代入上式可得
17、gRv220HRxHRxH0v0v20202vgRRvH若 ，则不论 为多大，甚至为无限大时，速度 均不会减小为零，因此欲使物体向上发射一去不复返时必须具有的最小速度为gRv220 xvgRv20若取 ， ，代入上式可得28 . 9smg kmR6370skmv2 .110这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度，称为第二宇宙速度。9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 例5 在重力作用下以仰角 初速度 抛射出一物体。假设空气阻力与速度成正比，方向与速度方向相反，即 ， 为阻力系数。试求抛射体的运动方程。xyvRgm0vocos0vx cos0vM0vvCRC解：以物体为研究对
18、象，将其视为质点。建立图示坐标。在任一位置质点受力如图。由直角坐标形式的质点运动微分方程得mgCvmgRdtydmCvRdtxdmsinsincoscos2222因为cosvvdtdxxsinvvdtdyy9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 将它们代入运动微分方程，并令 ，得：mC022dtdxdtxdgdtdydtyd22这是两个独立的线性二阶常系数常微分方程，由常微分方程理论可知，它们的解为teCCx21tgeDDyt21求导得txeCv2geDvty2其中， 、 、 、 为积分常数，由运动初始条件确定。1C2C1D2D9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程
19、 当 时， ； 0t0, 000yxsin,cos0000vvvvyx代入以上四式，求得cos021vCCgvDDsin021于是质点的运动方程为)1 (cos0tevxgtegvyt)1 (sin0 xyvRgm0vocos0vx cos0vMA上式即为轨迹的参数方程，轨迹如图所示。由第一式可知轨迹渐近线为 。对于抛射体的射程：cos0vx 当 较大时， ，当 较小时，由运动方程求。 cos0vOA 9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 质点的速度公式为txevvcos0gegvvty)sin(0由上式可见，质点的速度在水平方向的投影 不是常量，而是随着时间的增加而不断减小，
20、当 时，xvt ；质点的速度在 轴上的投影 ，随着时间的增加，大小和方向都将变化，当 时， ，方向铅垂向下。因此，质点的运动经过一段时间后将铅直向下作匀速运动。0 xvyyvtgvy9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 )(o1o0vlsMnTgm 例6 如图所示，一细常杆杆端有一小球M，其质量为 ，另一端用光滑铰固定。杆长为 ，质量不计，杆在铅垂面内运动，开始时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度 ，求杆处于任一位置 时对球的约束力。ml0v 解：以小球为研究对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标。由运动学知： 在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点运动微分方程得l
21、s ldtdsv ldtdva22llvan9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 o1o0vlsMnTgmsinmgdtdvmcos2mgTlvm即cossin2mgTmlmgml （1）（2）（1）式是一常系数二阶非线性微分方程，其解为椭圆积分，较为复杂。将其积分一次求出 ，代入（2）式即可求出 。T因为dtddtddddtd 所以dlgdsin00sin)2(2dlgd9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 得：)cos(cos2121002lg由初始条件： 时， ， 代入上式得0t00lv00) 1(cos22202lglv（3）将其代入（2）式，得lmvm
22、gmgglvlmmgmlT20202)2cos3(cos) 1(cos2cos（4） 下面将计算结果作进一步的讨论：9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 由（3）得) 1(cos2202glvv此式表示杆在任意位置时球的速度。由此式可知：当 时小球才能作圆周运动，否则球作摆动。glv40 （4）式给出约束力 随 角的变化规律。T当 时，0lmvmgT20max当 时，lmvmgT20min5因此，要使 ，必须满足 。0Tglv50 若令 ，可由（4）式给出约束力为零时，杆的位置（设此时杆的位置用 表示）所满足的条件0TA0)2cos3(20lmvmgA9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程 即glvA332cos20若glvgl450则0cos1A因此，在区间 范围内，总存在确定的 值，使小球在这一点不受杆的作用。),2(A当 时， ，即小球受拉；当 时， ，即小球受压。A0TA0T9.2质质 点点 运运 动动 微微 分分 方方 程程11.3质点动力学的两类问题 9.3牵连运动为转动时点的加速度合成定理结结 束束
