1、 6-3 定积分的应用定积分的应用主要内容：主要内容：1. 定积分的几何应用定积分的几何应用。2. 定积分的物理应用举例定积分的物理应用举例。3. 经济应用问题举例经济应用问题举例。一、定积分的几何应用一、定积分的几何应用 下面利用微元法来讨论定积分在几何及物理方面的一些应用。设函数 f (x) 在区间a , b上连续，具体问题中所求的整体量为 Q:(1) 在区间a , b上任取一个微小区间x , x + dx， 然后写出在这个小区间上的部分量Q的近似值， 记为dQ = f (x)dx (称为 Q 的微元)；(2) 将微元Q 在a , b上无限“累加”，即在a , b上积分，badxxf )(
2、得 Q =上述两步解决问题的方法称为微元法微元法。其面积微元 dA = f (x)dx，由曲线围成的平面图形可分为以下几种情况： 面积 A = ； badxxf )(1.平面图形的面积平面图形的面积(1) 由曲线 y = f (x) 0，直线 x = a、x = b，及 x 轴所围成的图形 (如右图)，y = f (x)yxOaxx+dxb其面积微元 dA = f2(x) - f1(x)dx，(2) 由上、下两条曲线 y = f1(x)、y = f2(x) (f2(x) f1(x)及直线 x = a、x = b 所围成的图形(如右图)，dxxfxfba )()( 12面积 A =y = f2(
3、x)yxOaxx+dxby = f1(x)这时应取横条矩形为 dA ，(3) 由左、右两条曲线 x = g1(y)、x = g2(y) ( g2(y) g1(y)及 y = c、y = d 所围成的图形 (如下图)， 其面积微元 dA = g2(y) - g1(y)dy，dyygygba 12 )()(面积 A =注意：即取 y 为积分变量。例1 求由抛物线 y = 1 x2 与 x 轴所围成的平面图形面积(如下图)。解: 抛物线 y = 1 x2 与 x 轴交点为(-1,0)与(1,0)，故面积dxxA1 1 2 )1 (dxx1 0 2 )1 (2103| )3 (2xx34故所求面积 1
4、02)(dxxxA例2 求由曲线 y = x2 及 y = 所围成的平面图形面积(如下图)。x解:先求出曲线 y = x2 与y = 的交点(0,0) , (1,1)，x31| )3132(10323xx4 2 2)24(dyyyA例3 求抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x - 4 所围成的平面图形面积(如下图)。解：422xyxy联立方程组求出交点(2,-2) , (8,4)，取 y 为积分变量，故所求面积4 2 32| )642(yyy= 18一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所得的立体称为旋转体旋转体，下面求其体积 V。从而得体积微元:旋转体的体积为 dxxfdxyVbab
5、a)( 2 22.旋转体的体积旋转体的体积该直线称为旋转体的旋转轴旋转轴。如果旋转体是由曲线 y = f (x) 与直线 x = a、x = b (a b)及 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成(见下图)，在a , b上任取一个微小区间x , x+dx，dV =y2dx =f 2(x)dx 其体积为dcdcdyydxxV 22 )(如果旋转体是由曲线 x =(y) 与直线 y = c、y = d (c 0)上弧长(见下图)。)(2axaxeeay于是弧长微元为解：dxeeaxax2)(411dxeeaxax)(21dxeeaaxax 0 )(aaxaxeea 0 | )()(1eea)(2
6、axaxeeayy- aaOx因为 ，tatytatxsin)( , )cos1 ()(dttytxds22)()(由于 t0 , 2，所以弧长微元为2 0 2sin2dttas)cos1 ()sin(tayttax例7 求摆线 (a 0)在 0 t 2的一段弧长。解：dtta)cos1 (2dtta|2sin|2于是这段摆线长为：2sint所以 0，ata8| )2cos(42 0 二、定积分的物理应用举例定积分的物理应用举例 则力 F 对物体所作的功为：则变力对物体所作的功就要用定积分计算。举例说明如下： 1.变力所作的功变力所作的功从物理学知道， 如果有一常力 F 作用在一物体上，使物体
7、沿力的方向移动了距离 S，W = F S如果物体在运动过程中所受的力是变化的，在 0 , 5内任取一小区间x , x+dx，xdxW 1098 . 95 0 3例8 一圆柱形贮水桶，高为5m，底面半径为3m，桶内盛满了水，试问将桶内的水全部吸出需作多少功(如下图)？解：如图选取坐标系，取深度 x 为积分变量 (x0 , 5)，设薄层水的厚度为 dx，因此需作的功近似值，即功的微元为 dW = 9.89103dx，因为薄层的底面积 A = 9(m2)，薄层的体积为 9dx ， 水的比重为 103 kg/m3， 这薄层水的重量为 9103 dx，把这薄层水吸出桶外，需提升的距离近似为 x m，于是
8、所求功为：2 0 23|21098 . 9x)(1046. 322514. 31098 . 963J质点的运动速度为 ,23tdtdxv23ktkvFdxktdxxFdW23)(克服阻力所做的功8 0 2 0 49)(dtktdxxFW例9 一物体作直线运动，其运动方程为 x = t3，其中 x 是位移，t 是时间，已知运动过程中介质的阻力与运动速度成正比，求物体从 x = 0 移动到 x = 8 时，克服阻力所作的功。解：由已知介质阻力为：其中 k 为比例常数，取 x 为积分变量(x0 , 8)，功的微元dtktdttkt4229335288|592 0 5ktk2.液体的压力液体的压力下面
9、结合具体例子说明如何利用定积分来计算。根据物理学可知，在液面下深度为 h 处，由液体重量所产生的压强 P =h (其中为液体的比重)。如果有一面积为 A 的薄板水平放置在深度为 h 处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为 F = PA =hA。如果薄板垂直地放置在液体中，由于薄板上在不同深度处地压强不同，因此， 薄板所受到的液体的压力就要用定积分来求。如图取坐标系，hdxbxhbaxF 0 )(2例10 一梯形闸门倒置于水中，两底边长度分别为 2a、2b (a b)，高为 h，水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力(如下图)。解：, bxhbay则 AB 的方程为所以闸门上所受的总压力为取水深
10、x 为积分变量， 它的变化区间为0 , h，在0 , h上任取一小区间x , x+dx，视这个小区间相对应的小梯形上各点处的压强不变，即各点处的压强 P =x，小梯形上所受的压力的近似值，即压力微元hba dF = 2ydx x = 2x ( x + b)dxhxbxhba 0 23| )213(22)2(31hba而函数 y = f (x) 在区间a , b上的平均值为 3.函数的平均值函数的平均值 n 个数 y1 , y2 , , yn 的算术平均值(用 y 表示)是 nyyyyn21dxxfabyba)(1例11 设交流电流的电动势 E = E0sint。求在半周期内，即0 , 上的平均
11、电动势解： 代入公式，得 0 0 sin 1tdtEE 0 0 costE02E三、经济应用问题举例三、经济应用问题举例设总产量为 Q(t)，则知总产量 Q(t) 是 f (t) 的一个原函数， 所以有 4 2 4 2 2)6 . 012100()(dtttdttf即所求的总产量为260.8单位。经常应用定积分进行计算。 当已知比较函数或变化率，求总量函数或总量函数在某个范围内的总量时，例12 设某产品在时刻 t 总产量的变化率为f (t) = 100 + 12t 0.6t2 (单位/h)，求从 t = 2 到 t = 4 的总产量(t 的单位为 h)。解:由已知条件得 (t) = f (t)
12、Q8 .260)2 . 06100(|4 2 32ttt例13 设某种产品的边际收入函数为 10 )10(10)(QeQQR其中 Q 为销售量，R = R(Q) 为总收入，求该产品的总收入函数。解: 总收入 R(Q) =QdttR 0 )(QtQtetde 0 10 0 10 )(100|1000Qttdttee 0 10 10 )10100()|(10010001000 0 10 0 10 10 QtQtQdteteeQtQQeQee 0 10 10 10 |10001001000100010 100QQe小结：1.定积分的几何应用：(1)平面图形的面积。(2)旋转体的体积。(3)平面曲线的弧长。2.定积分的物理应用：(1)变力所做的功。(2)液体的压力。3.经济应用问题举例作业:教材1,2
