1、2022-6-221检测系统的误差合成检测系统的误差合成1.1测量概论测量概论1.2测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理 系统误差的处理系统误差的处理 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则1.3 测量系统误差计算方法测量系统误差计算方法随机误差及其处理随机误差及其处理2022-6-2221.1 测量概论测量概论 测量测量n测量是以确定被测量值为目的的一系列操作。测量是以确定被测量值为目的的一系列操作。 所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较进行比较, 确定被测量对标准量的倍数。确定被测量对标准量的倍数。 它可它可由下式表示由
2、下式表示:nux 式中式中 ： x x被测量值被测量值; ; u u标准量标准量, , 即测量单位即测量单位; ; n n比值（纯数）比值（纯数）, , 含有测量误差。含有测量误差。2022-6-223 测量方法测量方法 实现被测量与标准量比较得出比值实现被测量与标准量比较得出比值的方法的方法, 称为测量方法。称为测量方法。n直接测量、直接测量、 间接测量与组合测量间接测量与组合测量n偏差式测量、偏差式测量、 零位式测量与微差式测量零位式测量与微差式测量n等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量n静态测量与动态测量静态测量与动态测量2022-6-224 测量误差测量误差n测量的目的是希
3、望通过测量获取被测量的测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因真实值。但由于种种原因, 例如例如, 传感器传感器本身性能不十分优良本身性能不十分优良, 测量方法不十分完测量方法不十分完善善, 外界干扰的影响等外界干扰的影响等, 都会造成被测参都会造成被测参数的测量值与真实值不一致数的测量值与真实值不一致, 两者不一致两者不一致程度用测量误差表示。程度用测量误差表示。n测量误差就是测量值与真实值之间的差值。测量误差就是测量值与真实值之间的差值。2022-6-2251 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 （1） 绝对误差：绝对误差可用下式绝对误差：绝对误差可用下式定义定义: =
4、x-L 式中式中: 绝对误差绝对误差; x测量值测量值; L真实值。真实值。 2022-6-2261 测量误差的表示方法测量误差的表示方法（2） 相对误差：相对误差的定义由下式相对误差：相对误差的定义由下式给出给出: = 100% 式中式中: 相对误差相对误差, 一般用百分数给出一般用百分数给出; 绝对误差绝对误差; L真实值真实值 L2022-6-227 （3） 引用误差引用误差: :相对仪表满量程的一种相对仪表满量程的一种误差误差, 一般用百分数表示，即一般用百分数表示，即%100-测量范围下限测量范围上限绝对误差引用误差 （4） 基本误差基本误差:指仪表在规定的标准条件下所指仪表在规定的
5、标准条件下所具有的误差。具有的误差。 测量仪表的精度等级就是由基本误测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的。差决定的。 （5）附加误差附加误差:指当仪表的使用条件偏离额定指当仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。条件下出现的误差。 2022-6-2282.误差的分类误差的分类误差分为三种误差分为三种:系统误差系统误差随机误差随机误差粗大误差粗大误差（1）系统误差：系统误差：对同一被测量进行多次重复对同一被测量进行多次重复测量时测量时, 如果误差按照一定的规律出现如果误差按照一定的规律出现, 则把则把这种误差称为系统误差。这种误差称为系统误差。例如例如, 标准量值的不标准量值的不准确及仪表刻度
6、的不准确而引起的误差。准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。2022-6-229（2）随机误差）随机误差：对同一被测量进行多次对同一被测量进行多次重复测量时重复测量时, 绝对值和符号不可预知地随绝对值和符号不可预知地随机变化机变化, 但就误差的总体而言但就误差的总体而言, 具有一定的具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。统计规律性的误差称为随机误差。 （3）粗大误差：粗大误差：明显偏离测量结果的误差明显偏离测量结果的误差称为粗大误差称为粗大误差, 又称疏忽误差。又称疏忽误差。这类误差是这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的。对于粗大误差化而
7、引起的。对于粗大误差, 首先应设法判首先应设法判断是否存在断是否存在, 然后将其剔除。然后将其剔除。2022-6-22101.2 测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理n测量数据中含有系统误差和随机误差测量数据中含有系统误差和随机误差, 有时还会含有粗大误差。它们的性质有时还会含有粗大误差。它们的性质不同不同, 对测量结果的影响及处理方法也对测量结果的影响及处理方法也不同。不同。n对于不同情况的测量数据对于不同情况的测量数据, 首先要加以首先要加以分析研究分析研究, 判断情况判断情况, 分别处理分别处理, 再经综再经综合整理以得出合乎科学性的结果。合整理以得出合乎科学性的结果。 2022-6
8、-2211随机误差的统计和处理随机误差的统计和处理n判断：在测量中判断：在测量中, 当系统误差已设法消除当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时或减小到可以忽略的程度时, 如果测量数如果测量数据仍有不稳定的现象据仍有不稳定的现象, 说明存在随机误差。说明存在随机误差。n方法方法:用概率数理统计的方法来研究。用概率数理统计的方法来研究。n任务任务:从随机数据中求出最接近真值的值从随机数据中求出最接近真值的值, 对数据精密度（可信赖的程度）进行评对数据精密度（可信赖的程度）进行评定。定。 2022-6-2212 测量实践表明测量实践表明, 多数测量的随机误差具有多数测量的随机误差具有以下特征以
9、下特征: 绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的随机误差出现的概率。绝对值大的随机误差出现的概率。 随机误差的绝对值不会超出一定界限。随机误差的绝对值不会超出一定界限。 测量次数测量次数n很大时很大时, 绝对值相等、符号绝对值相等、符号相反的随机误差出现的概率相等。相反的随机误差出现的概率相等。 1 随机误差的正态分布曲线随机误差的正态分布曲线2022-6-2213 当测量次数足够多时当测量次数足够多时, 测量过程中产生的误测量过程中产生的误差服从正态分布规律。分布密度函数为差服从正态分布规律。分布密度函数为2221yf()e2 y y概率密度概率密度; ;
10、 均方根偏差（标准误差）均方根偏差（标准误差）; ; 随机误差（随机变量）随机误差（随机变量）, =x-L ; , =x-L ; x x测量值（随机变量）测量值（随机变量）; ; L L真值（随机变量真值（随机变量x x的数学期望）的数学期望） 。 2022-6-2214正态分布曲线正态分布曲线 正态分布方程式的关系曲线如图所正态分布方程式的关系曲线如图所示示, 说明随机变量在说明随机变量在x=L或或=0处的附近处的附近区域内具有最大概率。区域内具有最大概率。 2022-6-22152正态分布的随机误差的数字特征正态分布的随机误差的数字特征 niinxnxxxnx1211)(1 算术平均值是诸
11、测量值中最可信赖的算术平均值是诸测量值中最可信赖的, 它可以作为等精度多次测量的结果，它反它可以作为等精度多次测量的结果，它反映了随机误差的分布中心。映了随机误差的分布中心。2022-6-22162正态分布的随机误差的数字特征正态分布的随机误差的数字特征 标准偏差标准偏差（均方根误差）（均方根误差）描述了随机描述了随机误差的分布范围，误差的分布范围， 值越大，曲线越平坦，值越大，曲线越平坦，即随机误差分散性越大；反之，曲线越尖即随机误差分散性越大；反之，曲线越尖锐，随机误差分散性越小。锐，随机误差分散性越小。nnLxniinniin1212lim)(lim2022-6-2217 在实际测量时在
12、实际测量时, 由于真值由于真值L是无法确切知道是无法确切知道的的, 用测量值的算术平均值代替用测量值的算术平均值代替, 各测量值与算各测量值与算术平均值差值称为残余误差术平均值差值称为残余误差, 即即xxvii用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计值估计值inn22ii 1i 1s( xx)vn1n12022-6-2218算术平均值的均方根偏差算术平均值的均方根偏差n通常在有限次测量时通常在有限次测量时, 算术平均值不可能算术平均值不可能等于被测量的真值等于被测量的真值L, 它也是随机变动的。它也是随机变动的。n设对被测量进行设对被测量进行m组的组
13、的“多次测量多次测量”, 各各组所得的算术平均值也有一定的分散性组所得的算术平均值也有一定的分散性, 也是随机变量。也是随机变量。n算术平均值的精度可由算术平均值的均方算术平均值的精度可由算术平均值的均方根偏差来评定。根偏差来评定。 关系如下关系如下:sxn2022-6-2219 在有限次测量时在有限次测量时, 的关系的关系 s/n2345678201.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.03 1.01 1.00s/2022-6-22201%100ydv随机误差在（随机误差在（-，+）出现的概率出现的概率22vb2aa1P(av3时时, 则该则该测量值为可疑值（坏值）测
14、量值为可疑值（坏值）, 应剔除。应剔除。 2022-6-2233测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则2. 肖维勒准则肖维勒准则 |vi|Zc时该测量值为时该测量值为可疑值。可疑值。n56789101214Zc1.65 1.73 1.80 1.86 1.92 1.96 2.03 2.102022-6-2234序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.21例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2
15、022-6-2235序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.2185.241例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022-6-2236序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 285.24-0.001 385.360.119 485.580.339 585.310.069 685.590.349 784.28-0.961 884.94-0.301 985.350.109
16、 1085.21-0.031 85.2410.000 例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022-6-2237序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 0.095 285.24-0.001 0.000 385.360.119 0.014 485.580.339 0.115 585.310.069 0.005 685.590.349 0.122 784.28-0.961 0.924 884.94-0.301 0.091 985.350.109 0.012 1085.21-0.031 0.001 8
17、5.2410.000 1.378 n56789101214Zc1.65 1.73 1.80 1.86 1.92 1.96 2.03 2.1039. 012nvt76. 039. 096. 1cZ根据肖维勒准则根据肖维勒准则 |vi|Zc例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022-6-2238序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 0.095 285.24-0.001 0.000 385.360.119 0.014 485.580.339 0.115 585.310.069 0.005 685.
18、590.349 0.122 784.28-0.961 0.924 884.94-0.301 0.091 985.350.109 0.012 1085.21-0.031 0.001 85.2410.000 1.378 39. 012nvt76. 039. 096. 1cZ根据肖维勒准则根据肖维勒准则 |vi|Zc粗大误差粗大误差例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022-6-22391.3 测量系统误差计算方法测量系统误差计算方法1、不等精度测量的权与误差、不等精度测量的权与误差 前面讲述的内容是等精度测量的问题。即多次重前面讲述
19、的内容是等精度测量的问题。即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度复测量得的各个测量值具有相同的精度, 可用同一个均可用同一个均方根偏差方根偏差值来表征值来表征, 或者说具有相同的可信赖程度。或者说具有相同的可信赖程度。 在科学实验或高精度测量中在科学实验或高精度测量中, , 为了提高测量的为了提高测量的可可靠性和精度靠性和精度, , 往往在不同的测量条件下往往在不同的测量条件下, , 用不同的测用不同的测量仪表、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同量仪表、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比的测量者进行测量与对比, , 则认为它们是不等精度的则认为它们是不等精度的
20、测量。测量。 2022-6-2240“权权”的概念的概念在不等精度测量时在不等精度测量时, , 对同一被测量进对同一被测量进行行m m组测量组测量, , 得到得到m m组测量列（进行多次组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差结果及其误差, , 它们不能同等看待。它们不能同等看待。 精度高的测量列具有较高的可靠性精度高的测量列具有较高的可靠性, , 将这种可靠性的大小称为将这种可靠性的大小称为“权权”。2022-6-2241权用符号权用符号p表示表示, 有两种计算方法有两种计算方法: 用各组测量列的测量次数用各组测量列的测量次数n的比值
21、的比值表示表示, 并取测量次数较小的测量列的并取测量次数较小的测量列的权为权为1,则有则有mmnnnPPP:21212022-6-2242用各组测量列的误差平方的倒数的比值用各组测量列的误差平方的倒数的比值表示表示, ,并取误差较大的测量列的权为并取误差较大的测量列的权为1 1。22221211:1:1:mmPPP2022-6-2243加权算术平均值加权算术平均值 考虑各测量列的权的情况考虑各测量列的权的情况 miimiiimmmppxppppxpxpxx112122112022-6-2244 加权算术平均值的标准误差加权算术平均值的标准误差miimiiipxpmvp112) 1(2022-6
22、-22452、测量误差的合成、测量误差的合成 一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成。成。 设各环节为设各环节为x x1 1,x,x2 2,x,xn n, , 系统总的输入输出系统总的输入输出关系为关系为 y=f(xy=f(x1 1,x,x2 2,x,xn n), ), 而各部分又都存在测量而各部分又都存在测量误差。误差。 各局部误差对整个测量系统或传感器测量各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响就是误差的合成问题。误差的影响就是误差的合成问题。误差的合成：误差的合成：已知各环节的误差而求总的误差。已知各环节的误差而求总的误差。 误差的分配：
23、误差的分配：确定各环节具有多大误差才能保证确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值。总的误差值不超过规定值。 2022-6-2246（1）系统误差的合成：）系统误差的合成： 由前面可知由前面可知, 系统总输出与各环节之间的系统总输出与各环节之间的函数关系为函数关系为 y=f(x1,x2,xn) 误差可用微分来表示误差可用微分来表示, 故其合成表达式为故其合成表达式为nndxxfdxxfdxxfdy 22112022-6-2247（2） 随机误差的合成：随机误差的合成： 设测量系统或传感器有设测量系统或传感器有n个环节组成个环节组成, 各部各部分的均方根偏差为分的均方根偏差为 x1,
24、x2，xn 则随机误差的合成表达式为则随机误差的合成表达式为22222221)()()(21nxnxxyxfxfxf 2022-6-2248若若y=f(x1,x2,xn)为线性函数为线性函数, 即即y=a1x1+a2x2+anxn 2222222121nxnxxyaaa 2022-6-2249（3）总合成误差：设测量系统和传感）总合成误差：设测量系统和传感器的系统误差和随机误差均为相互独立器的系统误差和随机误差均为相互独立的的, 则总的合成误差则总的合成误差表示为：表示为： =yy2022-6-2250n在组合测量的数据处理、实验曲线在组合测量的数据处理、实验曲线拟合方面的重要工具。拟合方面的
25、重要工具。n要获得最可信赖的测量结果，应使要获得最可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和最小。各测量值的残余误差平方和最小。3.最小二乘法的应用最小二乘法的应用2022-6-2251)X,X,XfYm21（m21X,X,Xmnm2n21n1nm2m2221212m1m2121111xaxaxayxaxaxayxaxaxay设检测系统为：设检测系统为：其中其中Y为为直接测量值直接测量值，对系统进行对系统进行n次测量，可得以下线性方程组：次测量，可得以下线性方程组：（nm）为被测量为被测量2022-6-2252m21x,x,xm21X,X,Xn21y,y,yn21l ,l ,l其中其中是被
26、测量是被测量的最可信赖的值，的最可信赖的值，为各次测量结果。为各次测量结果。则残余误差则残余误差为：为：设设)xaxaxa(ly-lv)xaxax(a-ly-lv)xaxax(a-ly-lvmnm2n21n1nnnnm2m2221212222m1m2121111111为带误差的实际直接测量值，为带误差的实际直接测量值，2022-6-2253最最小小n1i2i2vvm),1,2,(i 0 xvi2按最小二乘原理，上述残余误差平方和为最小，按最小二乘原理，上述残余误差平方和为最小，即即根据求极值条件使根据求极值条件使整理后可得最小二乘估计的正规方程：2022-6-2254n1iiimn1imimi
27、mn1i2i2imn1i1i1imn1iii2n1imimi2n1i2i2i2n1i1i1i2n1iii1n1imimi1n1i2i2i1n1i1i1i1laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaa最小二乘估计的正规方程最小二乘估计的正规方程2022-6-2255n正规方程是一个正规方程是一个m元线性方程组，当元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定其系数行列式不为零时，有唯一确定解，由此可解得被测量的估计值解，由此可解得被测量的估计值m21x ,x ,x2022-6-2256n【例题例题】铜电阻的电阻值铜电阻的电阻值R与温度与温度t之间关系为之间关系为 ，在不同
28、温度下，测得铜电阻的，在不同温度下，测得铜电阻的电阻值如下表所示。试估计电阻值如下表所示。试估计0时的铜电阻的电阻时的铜电阻的电阻值值R0和铜电阻的电阻温度系数和铜电阻的电阻温度系数。t ti i/19.119.125.025.030.130.136.036.040.040.045.145.150.050.0r rtiti/ 76.376.377.877.879.7579.7580.8080.8082.3582.3583.9083.9085.1085.10t1RR0t2022-6-2257ii0tivt1rr01rx 02rx解：列误差方程解：列误差方程 （i=1,2,i=1,2,7,7）则误
29、差方程可写为：则误差方程可写为：令令7216215214213.21221121v0 x.50 x85.10v1x.45x83.90v4x.40 x82.35v0 x.36x80.80v1x.30 x79.75v0 x.25x77.8v1x.19x76.32022-6-2258n=7，m=2时最小二乘估计的正规方程为71iii271i2i2i271i1i1i271iii171i2i2i171i1i1i1laxaaxaalaxaaxaa2022-6-225920044.59325.38x245.3x5663x.2457x212170.8xr10C/1007. 48 .70288. 0rx302解
30、得 x1=70.8 x2=0.288 即 2022-6-22604.用经验公式拟合实验数据用经验公式拟合实验数据回归分析回归分析n在工程实践和科学实验中，经常遇到对在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。理成曲线图或经验公式。n用经验公式拟合实验数据，工程上把这用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为种方法称为回归分析回归分析。2022-6-2261当经验公式为线型函数时称为线性回归分析当经验公式为线型函数时称为线性回归分析 y=b0+b1x1+b2x2+bnxn当独立变量只有一个时，称为一元线性回归当独立
31、变量只有一个时，称为一元线性回归 y=b0+bx2022-6-2262设有设有n对测量数据对测量数据(xi , yi) 用用 y=b0+bx最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出方程最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出方程中中b0，b的最佳估计值，使各测量数据点与回归直的最佳估计值，使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小。线的偏差平方和为最小。)bxb(yy -yv)bx(b-yy -yv)bx(b-yy -yvn0nnnn202222101111用最小二乘法求出系数用最小二乘法求出系数 b0，b2022-6-2263思考题思考题1.什么是测量？测量的目的是什么？什么是测量？测量的目的是
32、什么？ 2.测量方法的分类？测量方法的分类？ 3.什么是测量误差？什么是测量误差？ 4.测量误差的分类？测量误差的分类？ 5.随机误差的特征？随机误差的特征？ 6.算术平均值是反映随机误差的算术平均值是反映随机误差的 ；而均方根；而均方根偏差则反映随机误差的偏差则反映随机误差的 ？7.在实际测量时在实际测量时, 真值真值L是否可以确切知道？实际测是否可以确切知道？实际测量的误差应该怎样计算？量的误差应该怎样计算？ 8.残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计值，与均方根偏差有何区别？值，与均方根偏差有何区别？9.什么是系统误差？如何发现系统误差？什么是系统误差？如何发现系统误差？10.粗大误差如何判定？粗大误差如何判定？ 2022-6-2264作业n26页 1-10 、1-11 n27页 1-13 2022-6-2265结束
