1、第十四章结构的动力计算14-1、动力计算的特点和动力自由度、动力计算的特点和动力自由度 一、动力荷载的特点一、动力荷载的特点 静力荷载静力荷载: 施力过程缓慢，不使结构物产生显著的加速度，因而是可以略去惯性力影响的荷载。 静力荷载对结构的影响：静力荷载对结构的影响：静力荷载作用下，结构处于静力平衡状态，荷载的大小、方向、作用点以及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。 动力荷载：动力荷载：施力过程较迅速，在动力荷载作用下，结构将产生不容忽视的加速度，必须考虑惯性力的影响。 动力荷载对结构的影响：动力荷载对结构的影响：动力荷载作用下，结构将发生振动。荷载的大小、方向、作用点以及由
2、它引起的结构的内力、位移等各种量值都是时间的函数。力系中包括惯性力，计算中考虑瞬间平衡。二、常见的动力荷载及分类二、常见的动力荷载及分类 1、周期荷载：荷载随时间作周期性变化。 （1）简谐周期荷载：荷载 FP(t) 随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示。是周期荷载中最简单，也是最重要的一种。 （2）一般周期荷载：简谐荷载以外的其它形式的周期荷载。t简谐荷载FP(t)t周期荷载FP(t) 2、冲击荷载：、冲击荷载：在很短的时间内，荷载急剧增大或急剧减小。 （1）作用在结构物上的爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载，突然施加于结构并在一定时间内荷载值维持不变。 （3）撞击荷载，物体之间相互撞击作
3、用，在极短时间内出现，又突然消失的荷载。 以上为数定荷载，确定性荷载。以上为数定荷载，确定性荷载。t非周期性的爆炸荷载FP(t)PtP(t )ttrPtrP3、随机荷载（非数定荷载）： 在任一时刻的数值无法预测。 （1）地震对建筑物的激振。 （2）风力的脉冲荷载。 （3）波浪对坝体的拍击。等 动力荷载作用可以是分布的，也可以是集中的。其作用位置可以是固定的，也可以是随时移动的。 本课程在此只讨论数定荷载作用。tg三、结构动力计算的特点三、结构动力计算的特点 根据达朗伯根据达朗伯 (J.le R. d Alembert) 原理，动原理，动力计算问题可以转化为平衡问题来处理。但这力计算问题可以转化
4、为平衡问题来处理。但这是一种动平衡，是在引进惯性力条件下的平衡。是一种动平衡，是在引进惯性力条件下的平衡。 注意两个特点：注意两个特点： 1、在所考虑的力系中包括惯性力。、在所考虑的力系中包括惯性力。 2、这里考虑的平衡是瞬时平衡，荷载及其、这里考虑的平衡是瞬时平衡，荷载及其引起的内力等量值均为时间的函数。引起的内力等量值均为时间的函数。四、结构动力计算的内容四、结构动力计算的内容 结构动力计算的目的：确定动力荷载作用结构动力计算的目的：确定动力荷载作用下结构的内力，位移等量值随时间而变化的规下结构的内力，位移等量值随时间而变化的规律，从而找出最大值，作为结构设计和验算的律，从而找出最大值，作
5、为结构设计和验算的依据。依据。 研究结构受迫振动是动力计算的一项根本研究结构受迫振动是动力计算的一项根本任务。而结构在受迫振动时各截面的最大内力任务。而结构在受迫振动时各截面的最大内力和位移均与结构自身的动力特性有关，即与结和位移均与结构自身的动力特性有关，即与结构自由振动时的频率和振动形式密切相关。因构自由振动时的频率和振动形式密切相关。因此，寻求结构自身的自振频率与振型就成为研此，寻求结构自身的自振频率与振型就成为研究受迫振动的前提。究受迫振动的前提。 （1）结构动力特性）结构动力特性 结构自由振动结构自由振动（振动过程中无外干扰力作用）（振动过程中无外干扰力作用） 结构自身的自振频率结构
6、自身的自振频率， 自振周期自振周期T， 振动形式振动形式Y， 阻尼性质。阻尼性质。 （2）结构的动力反应）结构的动力反应 结构的受迫振动结构的受迫振动（振动过程中受外干扰力作用）（振动过程中受外干扰力作用）位移、内力等：,y(t), y(t)y(t) ; M(t),FN(t),FQ(t)五、动力计算中体系的自由度五、动力计算中体系的自由度 1、结构动力计算的计算简图及自由度。、结构动力计算的计算简图及自由度。 动力计算中由于要考虑惯性力的作用，因动力计算中由于要考虑惯性力的作用，因此需要研究体系的质量分布，即，质量在运动此需要研究体系的质量分布，即，质量在运动过程中的自由度问题。过程中的自由度
7、问题。 自由度：自由度：结构（体系）在变形过程中，确结构（体系）在变形过程中，确定全部质量位置所需要的独立参数的数目。定全部质量位置所需要的独立参数的数目。 一个结构（体系）的自由度是指为了确定运动过程一个结构（体系）的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻，全部质量位置所需确定的独立几何参数的中任一时刻，全部质量位置所需确定的独立几何参数的数目。数目。 一般体系都是连续分布的，属于无限自由度问一般体系都是连续分布的，属于无限自由度问题。计算繁重，一般不必要。简化通常有两种方题。计算繁重，一般不必要。简化通常有两种方法。法。 、集中质量法、集中质量法 集中质量集中质量（质点或刚体）（质点或刚体）
8、 弹性无重杆弹性无重杆 有限个自有限个自由度体系由度体系 由于对问题的复杂性和计算精度的要求不同，由于对问题的复杂性和计算精度的要求不同，同一结构可取不同的计算简图。同一结构可取不同的计算简图。 为了简化计算，杆系(受弯)结构振动时，通常假定： a、略去质量的角位移（转动惯量），把质量视为质点。 b、忽略质量运动在结构杆件中产生的轴向变形。y = y ( x,t )xymEIln=xyy3( t )aaaammmm/2m/2mi=may1( t )y2( t )xymEIly = y ( x,t )Wy = y (t )xym=W/g +mlm无限自由度无限自由度有限自由度有限自由度 、广义坐
9、标法广义坐标法 把一个无限自由度体系简化为有限自由度体系时，可以通过近似地假设振动曲线来实现。如用几条函数曲线来描述体系如用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系。的振动曲线就称它是几个自由度体系。 )()(1xatykkk 其中1(x)、 2(x)、 n(x)为满足位移边界条件的已知函数（形状函数）。 a k 为一组待定参数为一组待定参数（广义坐标），其个数即为自由度数其个数即为自由度数 具有分布质量的简支梁是一个具有无限自由度的体系。简支梁的挠度曲线可用三角函数表示：lxkatykksin)(1 其中：sin (kx/l)形状函数（满足位移边界条件） a k 待定参数，广义
10、坐标 (坐标选定后，由无限多个广义坐标a k确定y(t) )。lxkatynkksin)(1 通常取前几项 。 无限自由度简化为 n 个自由度体系。2 、确定质点体系自由度数目的方法、确定质点体系自由度数目的方法 较简单的可以直接判定。 较复杂的可以采用链杆法，即：加入最少数量的链杆，限制体系上所有质点运动的方法来判定。 体系的自由度数目=加入链杆数。m1m2m3例：例：m1m2m3y1( t )y2( t )y3( t )n=3n=1EI=常数n=2自由度与质量数不一定相等。自由度与质量数不一定相等。EI=常数n=3EI=常数n=4EIEIEI=n=2动力自由度的特点：动力自由度的特点： （
11、1）与质量的分布，体系的支承和变形性质）与质量的分布，体系的支承和变形性质有关。有关。 （2）与体系是否有多余约束无确定关系。）与体系是否有多余约束无确定关系。 （3）动力自由度的数目不一定等于质点的数）动力自由度的数目不一定等于质点的数目。目。 （4）动力自由度与体系几何构造自由度的异）动力自由度与体系几何构造自由度的异同？同？ 共同处：体系运动形式的独立参数个数。共同处：体系运动形式的独立参数个数。 不同处：一为质点运动的自由度；一为刚体体系的不同处：一为质点运动的自由度；一为刚体体系的运动自由度。运动自由度。14-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 一、自由振动微分方程的建
12、立一、自由振动微分方程的建立 1、建立动平衡方程（刚度法）、建立动平衡方程（刚度法） 杆头作用集中质量为杆头作用集中质量为m； 梁的刚度系数为梁的刚度系数为k。（。（使梁端产生单位使梁端产生单位位移时，在梁端所需施加的水平力）位移时，在梁端所需施加的水平力） 振动某一时刻振动某一时刻 t ，质量离开其平衡位置质量离开其平衡位置的位移为的位移为yd (t)。mydstm静平衡位置静平衡位置kkmWFe (t)FI (t) 取质量取质量m为隔离体，在振动为隔离体，在振动的任一瞬时，质点上所受的力有：的任一瞬时，质点上所受的力有： （1）、重力）、重力W（2）、弹性力）、弹性力Fe (t) 。（3）
13、、惯性力）、惯性力FI (t)mWFe (t)FI (t) 弹性力弹性力Fe (t) : Fe (t)= - ky(t)= - k (st+ yd ) 惯性力惯性力FI (t) :FI (t)= - m (t)= - m(st+ d ) 则动力平衡方程：则动力平衡方程：md + k yd = 0m(st+ d )+ k (st+ yd ) =W 有：有：W= k stst=0 m + k y = 0 (15-1) 若以静力平衡位置作为计算位移若以静力平衡位置作为计算位移的起点，则所得的动力位移的微分方的起点，则所得的动力位移的微分方程与重力无关。故：程与重力无关。故： 质点在惯性力与弹性力的作
14、用下维持质点在惯性力与弹性力的作用下维持动力平衡（达朗伯原理）。动力平衡（达朗伯原理）。 故：故： m + ky = 0 或写成：或写成： + k /my = 0 +2y = 0 (15-2) = k /m 即为单自由度体系无阻尼自由振动的运即为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，反映了振动的一般规律。动方程，反映了振动的一般规律。 在运动的任一瞬时在运动的任一瞬时 t ，在质量在质量m上作上作用有惯性力用有惯性力FI(t)= -m，则质量在任一瞬时则质量在任一瞬时的位移为：的位移为：2、建立动位移方程（柔度法）、建立动位移方程（柔度法）y (t)FI (t)静平衡位置静平衡位置 y(t)=
15、FI= - m =(- m ) k1 =1/k弹簧的柔度系数，即：梁端作用单位弹簧的柔度系数，即：梁端作用单位力时，梁端产生的位移。其值与刚度系数力时，梁端产生的位移。其值与刚度系数k互为倒互为倒数。数。y (t)FI (t)静平衡位置静平衡位置 质量质量m在运动过程中任一时刻的位移在运动过程中任一时刻的位移y (t) ，等于在当时的惯性力作用下的静力位移。等于在当时的惯性力作用下的静力位移。二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解 由方程：+2y = 0 （15-2） 通解：y(t)= B cos t + C sin t B，C由初始条件定。 t =0 y(0)= y0 ( 初位移
16、) y(0)= y0 = v0 ( 初速度 )代入通解,可得： B = y0 , C = v0 /km 称为“谐振动”。a表示质点的最大位移，称为振幅； 为初相角。 由于cost , sin t都是周期函数，它们每经历一定时间，就会出现相同的数值。若给时间t一个增量T=2/，则y ，y的数值均不变。 y(t)= y0cos t +v0 / sin t （15-3）若令： y0= a sin , v0 / = a cos y(t)=a sin(t+) (15-4)a= y02 +v02 /2 =1tan-1 (y0 /v0 )(15-5 )y0ty-yTTTvvyt0yt0 a-atycostv
17、sintasin y(t)= y0cos t +v0 / sin t （15-3） y(t)=a sin(t+) (15-4)三、结构的自振周期和频率三、结构的自振周期和频率 （1）周期T振动一次的时间。对一定体系是常数。 T = 2/ （15-6） 单位“秒（s）” （2）频率f单位时间的振动次数（也称为工程频率）。 f =1/T=/2 （15-7） 单位“1/秒”或称为“赫兹” 圆频率（习惯上简称为频率，自振频率）2秒内振动次数。 =2/T =2f （15-8） 单位：rad/s ，弧度/秒。 （3）自振周期和频率计算公式的几种形式： (15-9) km=1m =gW =gstT=2 km
18、=2m =2W g=2gstkst=W=mg(15-10) （4）结构自振周期（频率）的一些重要性质 自振周期T（自振频率）只与结构的质量和刚度（柔度）有关，与外界干扰因素无关。故也称固有周期和固有频率。（干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件） T与m的平方根成正比（m大，T大）；T与k的平方根成反比（k大，T小）。 与m的平方根成反比（m大， 慢）； 与k的平方根成正比（k大， 快）。 改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手。 T（或）是结构动力特性的重要数量标志。 两个外表相似的结构，如T（或 ）不同，则动力性能相差很大。 两个外表相差很大的结构，如T（或 ）相同，则动力性能基
19、本一致。 例: 图示各梁EI=常数，跨中有集中质量m，忽略梁本身的质量，求各梁的自振周期T和自振频率。解： 本题用柔度法比较方便。 先求出各梁的、T、，再进行比较。(a) =2(FP=1 FP=1l/4M12l4l223 l348EI)(l4)= = ml348EIT=ml348EI2=2(b)=(1/23l/16l/2) (2/3l/2)-(1/2 5l/32l/2) (1/3l/2)/EI = 7l3/768EI= 768EI/7ml3T=2 7ml3/768EIFP=1FP=13l/165l/32MFP=1l/2M(c)=2(1/2l/8l/2) (2/3l/2)-(1/2l/8l/2)
20、(1/3l/2)/EI = l3/192EI= 192EI/m l3T=2 m l3/192EIFP=1FP=1l/8l/8l/8MFP=1l/2M比较: 1 : 2 : 3 = 1 : 1.512 : 2 T1 : T2 : T3 = 1 : 0.66 : 0.52 结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大, ,刚度越大刚度越大, ,其其自振动频率也越大。自振动频率也越大。例: 各柱各柱EI=常数常数,横梁横梁EI1=,各跨横梁的质各跨横梁的质量均为量均为m,柱的质量不柱的质量不计计,求体系的自振周期求体系的自振周期 T和自振频率和自振频率 。解：解： 本题为单自由度体本题为单自由
21、度体系的自由振动问题。系的自由振动问题。当柱顶发生单位水平当柱顶发生单位水平位移时，各柱剪力为位移时，各柱剪力为12EIi /H3。k12EIH324EIH324EIH312EIH3k=72EIH3 X=0 k = 212EI/H3+224EI/H3 = 72EI/H3 EImHEImHT2427232333324372mHEImHEI四、阻尼对自由振动的影响四、阻尼对自由振动的影响忽略阻尼影响时所得结果忽略阻尼影响时所得结果 能不能能不能 反映实际结构的振动规律。反映实际结构的振动规律。大体上大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率
22、是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。f产生阻尼的原因产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质（空气、液体）的阻力。擦；周围介质（空气、液体）的阻力。f阻尼力的确定阻尼力的确定：总与质点速度反向：总与质点速度反向; ;大小与质点速度有如下关系：大小与质点速度有如下关系： 与质点速度
23、成正比（与质点速度成正比（比较常用的阻尼理论是粘滞阻尼比较常用的阻尼理论是粘滞阻尼）。）。 与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。与质点速度无关（如摩擦力）。f粘滞阻尼力的分析比较简单，粘滞阻尼力的分析比较简单，( (因为因为R(t)=Cy ).).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。f振动模型振动模型ykyym kmycy有阻尼的自由振动，有阻尼的自由振动，动平衡方程：动平衡方程：)11.15(0kyycym mcmk2,( 阻尼比阻尼比）)1(2l0
24、222ll)( ltCety设解为设解为：特征方程为：特征方程为：1)1（低阻尼）情况低阻尼）情况21lrri其中tCtCeyrrtsincos21tyvtyeyrrrtsincos000c)12.15(022yyy 令令低阻尼体系的自振圆频率低阻尼体系的自振圆频率则解为引入初始条件确定积分常数后得000220020)()sin(yvytgyvyataeyrrrtae-ttyty低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y- t曲线曲线低阻尼对自振频率的影响低阻尼对自振频率的影响. .而随,12r当当0.2，则存在则存在0.9798r/1，可见可见r与与值很接近，阻尼对自振频值很接近，阻尼对自振
25、频率的影响不大，可忽略不率的影响不大，可忽略不计计。在工程结构问题中，在工程结构问题中，一般一般0.011 强阻尼：强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。不出现振动，实际问题不常见。2)=1（临界阻尼）情况临界阻尼）情况)1(2l ltetCCy)(21tetvtyy)1 (00)12.15(022yyy tyy0000vtg这条曲线仍具有衰减性，这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。但不具有波动性。m14-3 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动 受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyym P(t )mP(
26、t )P(t )弹性力弹性力ky、惯性力惯性力ym 和荷载和荷载P(t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:)()(atPkyym 一、简谐荷载作用下结构的动力反应一、简谐荷载作用下结构的动力反应tmFtAsinsin)(22tmFtAtAsinsinsin22tAysin mtFyysin2 )(22mFAtytmFystsin)1 (1sin)1 (22222FmFyst2单自由度体系强迫单自由度体系强迫振动的微分方程振动的微分方程特解特解：最大静位移最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。的位移）。tyystsin1122特解
27、可写为：特解可写为：通解可写为：通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：时的初始位移和初始速度均为零，则：0,1222221CymFCst)sin(sin11sinsin222222ttytmFtmFyst按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：平稳阶段：tyystsin1122最大动位移（振幅）为：最大动位移（振幅）为：22max11styy22max11styy动力系数动力系数为为：1023123重要的特性：重要的特性：f当当/0时时,1，荷载变化得荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。很慢，可当作静荷载处理。f当当0 / 1，并且
28、随并且随/的增大而增大。的增大而增大。f当当/ 1时时,。即当荷载频即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为限增大。称为“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1时时,的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。当的增大而减小。当 / 1时，时，0。 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅只需将干扰力幅
29、值乘以动力系数按静力方法来计算即可值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例、一简支梁（例、一简支梁（I28b），），惯性矩惯性矩I=7480cm4，截面系数截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖的竖向分量为向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：解：1 1）求自振频率和荷载频率）求自振频
30、率和荷载频率 I22b3570cm4325SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848Sn13 .526050014. 326022 2）求动力系数）求动力系数88. 54 .573 .5211112222EIPlEIQlystst484833maxWlPQWPlWQl4)(44maxstg175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。357039.739.71.35对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。149.2
31、设体系在设体系在t=0时静止，时静止，然后有瞬时冲量然后有瞬时冲量S作用作用。二、一般荷载二、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应、瞬时冲量的动力反应P(t)tP瞬时冲量瞬时冲量S引起的振动可视为引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由初始条件引起的自由振动。由动量定理：由动量定理：mtPmSv000yt cossin)(00tvtytytmStysin)( t ttttmStysin)()(sintmScossin)(00tvtytycossin)(00tvtytycossin)(00t
32、vtytycossin)(00tvtytytPSmv00t=0时作用瞬时时作用瞬时S所所引起的动力反应引起的动力反应t=时作用瞬时时作用瞬时S所引起所引起的动力反应的动力反应2、任意荷载、任意荷载P(t)的动力反应的动力反应P(t)tdPdS)(时刻的微分冲量对时刻的微分冲量对t瞬时瞬时(t )引起的动力反应引起的动力反应: :)(sin)(tmdPdy初始静止状态的单自由度体初始静止状态的单自由度体系在任意动荷载系在任意动荷载P P（t t）作用）作用下的位移公式下的位移公式: :dtPmtyt)(sin)(1)(0(Duhamel 积分积分)（15.14）初始位移初始位移y0和初始速度和初
33、始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式: :dtPmtvtytyt)(sin)(1sincos)(000t3、几种典型荷载的动力反应、几种典型荷载的动力反应1 1）突加荷载）突加荷载 0,0, 0)(0tPttP当当P(t)tPdtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyt)(sin1)(00)cos1 ()cos1 (20tytmPstyst=P0=P0 /m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡位置作简谐振动位置作简谐振动2)(maxstyty2 2）短时荷载）短时荷载 ututPttP, 00,0, 0)(0P(t)tPu阶段阶段
34、(0tu)：无荷载，体系以无荷载，体系以t=u时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动。为初始条件作自由振动。)cos1 ()(uyuystuyuvstsin)(sincos )(00tvtyty)(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuytystst)cos)(costutyst或者直接由或者直接由Duhamel积分作积分作dtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyu)(sin1)(00)cos)(cos20tutmP)2(sin2sin2utuyst另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t
35、)tPuP(t)tPu)cos1 ()(tytyst)(cos1 ()(utytyst当当0t u)cos1 ()(tytyst)(cos1 (utyst)cos)(costutyst)2(sin2sin2utuyst3 3）线性渐增荷载）线性渐增荷载 rrrttPttttPtP当当,0,)(00P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种荷载引起的动力反应同样可由DuhamelDuhamel积分来求积分来求解解: :rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)( 对于这种线性渐增荷载对于这种线性渐增荷载, ,其动力反应与升载其动力反应与升载t
36、tr r 时间的长时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.0Ttr1.41.21.01.61.82.0trP0动力系数反应谱曲线动力系数反应谱曲线动力系数动力系数介于介于1 1与与2 2之间。之间。如果升载很短，如果升载很短，tr4T, ,则则接近于接近于1,1,即相当于静荷载情况。即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。三、有阻尼的强迫振动三、有阻尼的强迫振动单独由单独由v0引起的自由引起的自由振动：振动：瞬时冲量瞬时冲量ds=Pdt=mv0所引起的振动，可视为所引起的振动，可视为以以v0
37、=Pdt/m，y0=0为初始为初始条件的自由振动：条件的自由振动：tveyrrtsin0tmPdteyrrtsin将荷载将荷载P(t)的加载过程的加载过程 看作一系列瞬时冲量：看作一系列瞬时冲量：)(sin)()(temdPdyrtr总反应总反应dtemPtyrttr)(sin)()()(0tyvtyerrrtsincos000P(t)tddPdS)(t（1）突加荷载突加荷载P0)sin(cos1 )(20ttemPtyrrrt低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y- t曲线曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静力平衡位置具有阻尼的体系在具有阻尼的体系在突加荷载作用下，突加荷
38、载作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于静位移位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，的两倍，然后逐渐衰减，最然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡后停留在静力平衡位置。位置。（2）简谐荷载简谐荷载P(t)=Fsint)12.15(sin22 tmFyyy设特解为：设特解为：y=Asin t +Bcos t代代入（入（15-1215-12）得）得：222222222222224)(2,4)(mFBmFAsincos21tCtCeyrrt+Asin t +Bcos t 齐次解加特解得到通解：齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时
39、间而变化。结论结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-15)2122222222)(1)(2,4121tgyBAystP振幅振幅：yp，最大静力位移最大静力位移：yst=F/k=F/m2stPyy2122222241stPyy2122222241动力系数动力系数与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5
40、=1.0几点注意：几点注意：随随增大增大曲线渐趋平缓，曲线渐趋平缓， 特别是在特别是在/=1附近附近的的 峰值下降的最为显著峰值下降的最为显著。 21 共振时共振时当当接近接近 时，时， 增加很快，增加很快， 对对的数值影响也很大的数值影响也很大。在在0.75 / 1.25( (共振区共振区) )内，阻尼大大内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，减小了受迫振动的位移，因此因此, , 为了研究共振时的动力反映为了研究共振时的动力反映, , 阻阻尼的影响是不容忽略。尼的影响是不容忽略。在共振区在共振区之外阻尼对之外阻尼对的影响较小，可按的影响较小，可按无阻尼计算。无阻尼计算。maxmax并不发生在共振
41、并不发生在共振/= =1 1时，而发生在，时，而发生在， 由由y=yPsin(t ) 可见，阻尼体系的位移可见，阻尼体系的位移比荷载比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角滞后一个相位角 ， 21,11max峰21)(1)(2tg但因但因很小，可近似地认为：很小，可近似地认为：221当当时时,180体系振动得很快，体系振动得很快，FI很大，很大，S、R相对说相对说来较小，动荷主要由来较小，动荷主要由FI 平衡，平衡， FI 与与y同向，同向，y与与P反向反向；)cos(),sin(),sin(),sin(2tycycRtymymFtkykyStyyPPIPP 弹性力弹性力S，惯性力惯性力FI，
42、阻尼力阻尼力R分别为：分别为：tsin21tFsinm22当当=时时,90由此可见：共振时（由此可见：共振时（=），），S与与FI刚好互相平衡，刚好互相平衡，yst21)(1)(2tg)cos(),sin(),sin(),sin(2tycycRtymymFtkykyStyyPPIPP 有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。k
43、=m2=m22mF)90sin(0tkySP)90sin(02tymFPI)90cos(0tycycRPtymPsin214-4 14-4 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法 （1 1）两个自由度体系）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 按刚度法建立的两自由度无阻尼体系自由振动微分方程
44、按刚度法建立的两自由度无阻尼体系自由振动微分方程0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty= =常数常数0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程0)(211222221211kkmkmk1 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；）在振动过程
45、中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型 112111121211CmkkYY 212211122221CmkkYY（2 2）按主振型振动的条件：）按主振型振动的条件： 初位移或初速
46、度与此主振型相对应；初位移或初速度与此主振型相对应；m1m2Y2（1）Y1（1）Y1（2）Y2（2）0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率：圆频率：12第二圆频率第二圆频率由此可见：由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的实际上，多自由度体系在零时刻的y0或或vo通常不能完全与某一振型相对应。通常不
47、能完全与某一振型相对应。例：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为例：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1 1）求频率方程中的刚度系数）求频率方程中的刚度系数1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3 3）一般振动）一般振动 )sin()sin()()sin()sin()(2222211122222212111111tYAtYAtytYAtYAty两个自由度体系自由振动是两种频率及其主振型
48、的组合振动两个自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体多自由度体系自由振动系自由振动的振型分解的振型分解层柱子总数层抗剪刚度ishEIksjji1312mkmk61803. 238197. 02221mkmk61803. 161803. 021（3 3）求主振型）求主振型 618. 1138197. 02:121111212111kkkmkkYY 618. 0161803. 22:22212kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型（2 2）求频率）求频率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k
49、2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm212122222114)12(21mknnn（3 3）求主振型）求主振型 221221211121:mkkYY（2 2）求频率）求频率0)(222221221kmkmkk若有若有2121knknmm0)() 1(22222222kmknmkn4121n 222221221222:mkkYY4121n若若 n=90 则第一振型和第二振型分别为：则第一振型和第二振型分别为：11019可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和
50、刚度突变，而导致顶端巨建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为大反应的现象，称为鞭梢效应鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。二、二、 柔度法柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty此时惯性力此时惯性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值
