1、6.6 区间估计一、区间估计基本概念一、区间估计基本概念二、正态总体均值与方差的区间估计二、正态总体均值与方差的区间估计三、小结三、小结 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大差范围，使用起来把握不大. 区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷 .10 01 |,P其其中中1 P即即 ,随随机机区区间间 的
2、的置置信信区区间间 我们希望我们希望一、区间估计基本概念1. 置信区间的定义置信区间的定义121212( ; ),(01).,( , ) ( , )1nnnf xP 设总体 的概率函数含有一个未知参数对于给定值若由样本确定的两个统计量和使得 1, . 则称随机区间 ， 是参数 的置信水平为的（同等）置信区间和 分别称为（双侧）置信区间的置信下限和置信上限2. 单侧单侧置信上（下）限的定义置信上（下）限的定义121212( ; ),(01).,( , ) ( , )11nnnf xPP 设总体 的概率函数含有一个未知参数对于给定值若由样本确定的两个统计量和使得 （） .则称 和 分别称为单侧置信
3、下限和置信上限关于定义的说明关于定义的说明 , , , . 被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数没有随机性 而区间（ ，）是随机的1 : P 因此定义中以下表达式的本质是, 1, 1 , . 随机区间以的概率包含着参数 的真值 而不能说参数 以的概率落入随机区间例如例如 , 1000 0.01, 次次反反复复抽抽样样若若 .10 1000 个个真真值值的的约约为为个个区区间间中中不不包包含含则则得得到到的的 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间( , ) 内内.这里有两个要求这里有两个要求:由定义可见，由定义可见，112( ,.)n 对参数对参数 作区间估计，就是要设法
4、找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量)212( ,.)n )(21 2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间21长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.( , ) 1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间P内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.3. 求置
5、信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共共3步步) )1212(1) ,:(,; ), ().nnZZZ 寻求一个样本的函数其中仅包含待估参数并且 的分布已知且不依赖于任何未知参数 包括12(2) 1, , (,; )1.na bP aZb 对于给定的置信度决定出两个常数使1212112212(3) ( ,; ) , ( ,),( ,), , 1 .nnnaZb 若能从得到等价的不等式其中都是统计量 那么就是的一个置信度为的置信区间12221, , ( ,), ,.nNS 设给定置信度为并设为总体的样本分别是样本均值和修正样本方差二、正态总体均值与方差的区间估计),(2 N ,)1(2为为
6、已已知知 1 的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 1/2.un 的的置置信信区区间间均均值值 1.I 单个总体单个总体的情况的情况 , 因为是的无偏估计 (0,1),/UNn且(0,1)/Nn是不依赖于任何未知参数的.推导过程如下推导过程如下:1/21, /Pun 1/21/2 1,Puunn 即1/21/2 1 ,.uunn于是得 的一个置信度为的置信区间这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成1/2.un其置信区间的长度为其置信区间的长度为1/ 22 .un 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了1212包糖包糖, ,称得重量称得重量( (单单位位: :克克) )分别为分别为5
7、06,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x计计算算得得,10. 0)1(时时当当 1/20.95 uu查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均重量试求糖包的平均重量且标准差为且标准差为,95. 021 ,645. 1例例11/2xun645. 1121092.502 ,67.507 1/2xun645.
8、1121092.502 ,17.498 90% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即 (498.17, 507.67),05. 0)2(时时当当 ,975. 021 1/20.975uu 95% 的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为同同理理可可得得 (497.26, 508.58).,1 ;,1 ,置置信信区区间间也也较较小小较较小小时时当当置置信信度度置置信信区区间间也也较较大大较较大大时时当当置置信信度度从从此此例例可可以以看看出出 ,96. 1查表得查表得例6.5.4 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大
9、？ ,)2(2为为未未知知 1/2 , , un由于区间中含有未知参数不能直接使用此区间 , , 222替换可用的无偏估计是但因为SSS 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 1/2(1) .Stnn推导过程如下推导过程如下:1/21/2 (1)(1)1,SSPtntnnn 即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 1/2(1) .Stnn (1), /t nSn根据1/21/2(1)(1)1, /PtntnSn故解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋, 称得重称得重量量(克克)如下如下: 49650950250649649350551
10、4512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值试求总体均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt0.975(15)t,2022. 6,75.503 sx计算得 . 0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 ,1315. 2例例2 5%9 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为得得 1315. 2162022. 675.503(500.4,507.1).即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间, 这个估计的可信程度为这
11、个估计的可信程度为95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其其误误差差不不大大于于 , 的的近近似似值值为为若若依依此此区区间间内内任任一一值值作作 这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%.例6.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.9
12、75(11)=2.2019，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）x4.70922.20100.0615 / 124.5516, 4.8668 在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806（万公里）。 1()(1)1n xPtns 1(1)xtnsn推导过程如下推导过程如下: , 22的无偏估计是因为S),1() 1(222nSn根据根据 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为方差方差 22221-
13、 /2/2(1)(1),. (1)(1)nSnSnn . ,未知的情况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要 2的置信区间的置信区间方差方差 2 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 222/21/22(1) (1)(1)1, nSPnn 故222221- /2/2(1)(1) 1, (1)(1)nSnSPnn 即22221- /2/2(1)(1),. (1)(1)nSnSnn 1 的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为标标准准差差 221- /2/211,.(1)(1)nSnSnn进一步可得进一步可得:注意注意: 在密度函数不对称时在密度函数不
14、对称时, , 2分分布布分分布布和和如如F 习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图). (续例续例2) 求例求例2 2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s计算得 )15(2975. 0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间4.58, 9.60 .（） ,488.27,262. 6例例5 在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个
15、典型的例子是关于比例p 的置信区间。3.大样本置信区间 设x1, xn是来自b(1, p)的样本,有 对给定 ， ，通过变形，可得到置信区间为 其中记= u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为(0,1)(1)/xpuNppn121(1)xpPuppn 22221(1)1(1),242411xxxxxxnnnnnnnn22(1)(1),xxxxxuxunn例6.5.7 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120， =36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的
16、置信区间为 0.218，0.382x0.3 0.70.3 1.960.218120Lp0.3 0.70.31.960.382120UpII 两个正态总体下的置信区间 设x1 , , xm是来自N(1, 12)的样本，y1 , , yn是来自N(2, 22)的样本，且两个样本相互独立。 与 分别是它们的样本均值， 和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。 xy22111mxiisxxm22111nyiisyyn一、一、 1 - 2的置信区间的置信区间1、 12和 22已知时的两样本u区间 2、 12 = 22 = 2未知时的两样本t区间 222212121212,xy
17、uxyumnmn12122 ,2wwmnmnxys tmnxys tmnmnmn3、 22 / 12=c已知时的两样本t区间 12122 ,2wwmcnmcnxys tmnxys tmnmnmn4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中 22221212,yyxxssssxyuxyumnmn 0 120 12,xys tlxys tl2220/ ,xyssmsn40442211yxslssmmnn例6.6.9 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千
18、克/亩）分别为： 甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.( =0.05）。 解：以x1 , , x8记甲品种的亩产量，y1 , , y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222， n=10 下面分两种情况讨论。 xy(1) 若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1 -2的0.95置
19、信区间为22117 2110.55369 3256.222252.4880216xywmsnssmn 120.9752162.1199tmnt12111122.1199 52.488052.7797810wtmnsmn569.3750 487 52.7797, 9569.3750 487 52.7797 29.5953, 135.1547(2) 若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似 t 区间。此处 s02 =2140.5536/8+3256.2222/10=593.1914， s0 =24.3555 于是1-2的0.95近似置信区间为 31.74，134.0222222593.19141
20、5.99162140.55363256.222287109l 0 0.97524.3555 2.119951.64s tl 二、 12/ 22的置信区间 由于(m-1) sx2/ 12 2(m-1), (n-1) sy2/ 22 2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢 轴量 ,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 12/ 22的如下的置信区间2212221,1xysFF mns2222122211,11,11xysP FmnFmns 222212211,1,11,1xxyysssFmnsFmn例6.6.10 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。
21、现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）： 甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 甲2/ 乙2的0.95置信区间。解： 由数据算得sx2=0.00107, sx2=0.00092，故置信区间0.1574，10.8899 0.0250.975114,50.10685,49.36FF0.9754,57.39F三、小结 点估计不能反映估计的精度点估计不能反映估计的精度, 故而本节故而本节引入了区间估计引入了区间估计.求置信区间的一般步骤求置信区间的一
22、般步骤(分三步分三步).1212 ( ,), () ()1P 置信区间是一个随机区间它覆盖未知参数具有预先给定的高概率 置信度 ，即对于任意的，有 . 1的的置置信信区区间间单单个个总总体体均均值值 ,)1(2为已知为已知 1/2.un ,)2(2为为未未知知 1/2(1) .Stnn . 22的的置置信信区区间间单单个个总总体体方方差差 22221/2/2(1)(1),. (1)(1)nSnSnn正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计 . 321的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,2221均均为为已已知知和和 22121/2.xyumn ,2221已知c122wmcnxys tmnmn ,2221均均为为未未知知和和 221/2.yxSSxyumn但n充分大时近似置信区间 . 42221的的置置信信区区间间两两个个总总体体方方差差比比 , 21为为未未知知总总体体均均值值 222212211,1,11,1xxyysssFmnsFmn
