1、一、结构的动力荷载及分类一、结构的动力荷载及分类动力荷载动力荷载,是指荷载的大小、方向、位置随时间,是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化迅速变化的的荷载;它使结构质量产生不容忽视的加速度,使结构发生明荷载;它使结构质量产生不容忽视的加速度,使结构发生明显的振动,即在平衡位置附近往返运动。显的振动,即在平衡位置附近往返运动。静力荷载静力荷载,是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷,是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷载;载; 同时考虑其对结构的影响来看,如果荷载变化极其缓慢,同时考虑其对结构的影响来看,如果荷载变化极其缓慢,使结构质量产生的加速度可以忽略不计时,仍属于静力荷载使结构
2、质量产生的加速度可以忽略不计时,仍属于静力荷载动力荷载分类:周期荷载、冲击荷载、突加荷载、随机荷载动力荷载分类:周期荷载、冲击荷载、突加荷载、随机荷载(1)周期荷载:随时间周期性变化的荷载)周期荷载:随时间周期性变化的荷载P(t )tPt(2)冲击荷载:作用于结构上的荷载值在很短的时间内急剧增大或减小的荷载)冲击荷载:作用于结构上的荷载值在很短的时间内急剧增大或减小的荷载P(t )ttrP(3)突加荷载:在瞬间内将全部重量加于结构或移去的荷载)突加荷载:在瞬间内将全部重量加于结构或移去的荷载P(t )t(4)随机荷载:不能用确定的函数表示,非确定性的荷载)随机荷载:不能用确定的函数表示,非确定
3、性的荷载P(t )t二、动力计算的内容和研究方法二、动力计算的内容和研究方法首先要确定动力计算简图,明确动力荷载的性质和规律,然后进行分析。无论是首先要确定动力计算简图,明确动力荷载的性质和规律,然后进行分析。无论是确定结构的确定结构的动力特性动力特性,或是计算,或是计算动力反应动力反应,都是从研究结构质量的运动规律入手,都是从研究结构质量的运动规律入手,把质点的位移作为基本未知量,建立体系的运动方程,进行分析。把质点的位移作为基本未知量,建立体系的运动方程,进行分析。动静法动静法是根据达朗贝尔(是根据达朗贝尔(dAlembert)原理,设原理,设想将惯性力想将惯性力I(t)加于振动体系的质点
4、上,则任一加于振动体系的质点上,则任一瞬时体系中的实有各力与惯性力处于平衡状态瞬时体系中的实有各力与惯性力处于平衡状态动力特性动力特性,是指结构的固有的振动频率,基本振动形式(主振型)和阻,是指结构的固有的振动频率,基本振动形式(主振型)和阻尼特性等。这些是结构自身的固有特性,与外部作用因素无关。尼特性等。这些是结构自身的固有特性,与外部作用因素无关。动力反应动力反应,是指动力荷载作用下,结构产生的内力、位移、速度、加速,是指动力荷载作用下,结构产生的内力、位移、速度、加速度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关,即是时度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关,即是
5、时间的函数;还与结构的动力特性有关。间的函数;还与结构的动力特性有关。与静力计算的对比与静力计算的对比:两者都是建立平衡方程,但动力计算,利用:两者都是建立平衡方程,但动力计算,利用动静法动静法,建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力,考虑的是瞬间平衡,建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力,考虑的是瞬间平衡,荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程动力计算中要引入惯性力,因此计算简图要考虑质量的分布动力计算中要引入惯性力,因此计算简图要考虑质量的分布一个动力体系运动过程中确定其任一时刻全部质量位置所需的独立一个动力体系运
6、动过程中确定其任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数的数目,为该体系的几何参数的数目,为该体系的动力自由度动力自由度实际结构的质量都是连续分布的,是无限自由度体系,选取动力计算简图是,实际结构的质量都是连续分布的,是无限自由度体系,选取动力计算简图是,常将无限自由度体系化为有限自由度体系。常将无限自由度体系化为有限自由度体系。y(x,t)EIL _mxmEIL2m3m1m ty1_12mLm _324mLmm单自由度体系单自由度体系EIL2m3m1m5m4m ty1 ty2 ty3_3214mLmmm_548mLmm多自由度体系多自由度体系EIL体系在没有外部动力荷载作用,而由初始位移(体系在
7、没有外部动力荷载作用,而由初始位移(y 0)和初始速度()和初始速度(v 0)引起)引起的振动,叫做的振动,叫做自由振动自由振动一、运动微分方程一、运动微分方程根据动静法,建立质点的运动方程,可采用两种方式根据动静法,建立质点的运动方程,可采用两种方式(一)动力平衡方程法(刚度法)(一)动力平衡方程法(刚度法)取质点隔离体为研究对象,质点所受各力保持平衡取质点隔离体为研究对象,质点所受各力保持平衡建立运动方程时考虑质点所受的力有:建立运动方程时考虑质点所受的力有:(1)重力重力 W 为静力荷载为静力荷载(2)弹性恢复力弹性恢复力 与位移成正比,方向与位移指向相反。与位移成正比,方向与位移指向相
8、反。k为刚度系数,其意义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需的在质点上所为刚度系数,其意义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需的在质点上所加的力加的力(3)阻尼力阻尼力)()(tyyktSjw)()(tyctR)()(tymtI 与质点的速度成正比,方向与速度相反。与质点的速度成正比,方向与速度相反。c为粘滞阻为粘滞阻尼系数尼系数(4)惯性力惯性力 其大小为质点质量与质点加速度之积,方向与加速其大小为质点质量与质点加速度之积,方向与加速度方向相反度方向相反y jwy(t)mmW)(tS)(tR)(tI0)()()(WtStRtIWtyyktyctymjw)()()( 可写出平衡方程:可写出
9、平衡方程:0)()()(tkytyctym Wkyjw因因 ,可得出,可得出质点振动的运动微分方程质点振动的运动微分方程:当动力位移由质点的静力平衡位置算起时,可不考虑质点的重力当动力位移由质点的静力平衡位置算起时,可不考虑质点的重力(二)位移方程法(柔度法)(二)位移方程法(柔度法)y(t)m)(tR)(tIf(柔度(柔度系数)系数)1P按动静法,体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的按动静法,体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的可得方程:可得方程:)()()(tRtIfty0)(1)()(tyftyctym 柔度系数柔度系数 f 和刚度系数和刚度系数
10、k 有如下关系:有如下关系:kf1mkmf120)()()(2tytymcty 令令则两种方法所得方程可写成统一形式则两种方法所得方程可写成统一形式二、无阻尼自由振动二、无阻尼自由振动单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程:单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程:0)()(2tyty tCtCtycossin)(21它是二阶常系数线性齐次微分方程,其通解为:它是二阶常系数线性齐次微分方程,其通解为:常数常数C1,C2由初始条件确定由初始条件确定vyyy)0()0(vCyC12设设 t=0m静力平衡位置静力平衡位置质点位移方程:质点位移方程:tvtytysincos)((一)运动微分方程解(
11、一)运动微分方程解可知,自由振动由两部分组成:一部分是由初始位移可知,自由振动由两部分组成:一部分是由初始位移 y 引起,按余弦规律引起,按余弦规律振动;另一部分是初始速度振动;另一部分是初始速度 v 引起,按正弦规律振动。引起,按正弦规律振动。令令cossinAvAy)sin()(tAty可得:可得:表示合成运动仍为简谐运动,其中表示合成运动仍为简谐运动,其中A和和为:为:vytgvyA122振幅振幅初相位初相位y-yTy0tTvvyt0Tyt0-AA(二)自振周期与频率(二)自振周期与频率由运动方程可知自由振动是简谐周期运动由运动方程可知自由振动是简谐周期运动周期周期2Tjwygmgfgm
12、fmk1频率频率1)结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度(柔度)系数有关,与外)结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度(柔度)系数有关,与外 因无关,是结构自身的固有的特性,称为固有周期、固有频率;因无关,是结构自身的固有的特性,称为固有周期、固有频率;2)结构的频率与质量的平方根成反比,与结构刚度系数的平方根成正比;)结构的频率与质量的平方根成反比,与结构刚度系数的平方根成正比;3)结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。)结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。例例1 计算结构的频率和周期(计算结构的频率和周期(EI为常数)为常数)fmhhEIhf3333mhEImkEI
13、mhT3223例例2 计算结构的频率和周期计算结构的频率和周期mEIEIh11312hEI312hEIk324hEIk 324mhEImkEImhT24223(三)质点的振动规律(三)质点的振动规律质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为:质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为:)sin()(tAty)sin()()(2tmAtymtI )sin()(2tAty )sin()(tAty (1)当体系处在平衡位置时,加速度及惯性当体系处在平衡位置时,加速度及惯性力为零,而速度最大力为零,而速度最大,0)(ty ,0)(tI,)(maxAtyAty)(max2max)(mAtI2max)(Aty 达
14、到振幅位置时,速度为零,而位达到振幅位置时,速度为零,而位移、加速度及惯性力同时达到最大移、加速度及惯性力同时达到最大(2)位移、加速度和惯性力同步变化,利用这一性质,可在质点振幅位置建立运动方程,所得)位移、加速度和惯性力同步变化,利用这一性质,可在质点振幅位置建立运动方程,所得运动方程是代数方程而不是微分方程运动方程是代数方程而不是微分方程(3)弹性力指向永与位移方向相反,而惯性力永与位移方向相同)弹性力指向永与位移方向相反,而惯性力永与位移方向相同例:例: 求图示梁频率求图示梁频率1A01I2A02I此梁为一个自由度体系,振动达到幅值时,两质点的振幅为此梁为一个自由度体系,振动达到幅值时
15、,两质点的振幅为 A1 A2,惯性力幅值为惯性力幅值为2220221101,AmIAmIaAaA3,21ka2由平衡方程由平衡方程0AM1m2mEI=2aaakABAB04)3(221kmm即即2134mmk二、阻尼对自由振动的影响二、阻尼对自由振动的影响实验证明,振动中的结构,不仅产生与变形成比例的弹性内力,还产生非弹实验证明,振动中的结构,不仅产生与变形成比例的弹性内力,还产生非弹性的内力。性的内力。事实上,由于非弹性力的存在,自由振动会衰减直到停止,非弹性力起着减小事实上,由于非弹性力的存在,自由振动会衰减直到停止,非弹性力起着减小振幅的作用,使振动衰减,最后停止振动。振幅的作用,使振动
16、衰减,最后停止振动。有阻尼的自由振动运动微分方程:有阻尼的自由振动运动微分方程:022yyy mc2阻尼比阻尼比当当 1 时,体系的运动为非振动状态;时,体系的运动为非振动状态;当当 1时,称为低阻尼,体系呈振动运动。时,称为低阻尼,体系呈振动运动。当当 1,及初始条件,及初始条件00)0()0(vyyy、方程可解为:方程可解为:)sincos()(tyvtyetyrrrt或或)sin)(tAetyrt(yvytgyvyArr122,其中其中yt0ykyk+1tAerrT2ktkAey第第k个振幅为个振幅为经过一周期相经过一周期相邻两振幅比值邻两振幅比值rrkkTTttkkeAeAeyy)(1
17、阻尼比阻尼比 越大,振幅衰减越快;振幅按等比级数递减越大,振幅衰减越快;振幅按等比级数递减可通过试验的方法测算阻尼比可通过试验的方法测算阻尼比22ln1rrkkTyy由自由振动试验曲线量测出任何相邻的两个由自由振动试验曲线量测出任何相邻的两个振幅,算出振幅,算出对数衰减率对数衰减率,则可求得阻尼比,则可求得阻尼比mc22可用相隔可用相隔 i 个周期的两个振幅计算个周期的两个振幅计算,可提高,可提高 精确度精确度iTiyyrikk2lni2体系在振动过程中有动力荷载体系在振动过程中有动力荷载P(t)或支座运动等外部干扰作用时,其振动称为或支座运动等外部干扰作用时,其振动称为受迫(或强迫)振动受迫
18、(或强迫)振动。m)(tPy(t)m)(tS)(tR)(tI)(tP由质点的平衡可得:由质点的平衡可得:)()()()(tPtkytyctym mtPtytyty)()()(2)(2 或:或:单自由度体系强单自由度体系强迫振动的振动微迫振动的振动微分方程分方程若体系的动力荷载不在质点上作用若体系的动力荷载不在质点上作用m)(tPy(t)一、运动微分方程一、运动微分方程f 111f 1P1由位移方程可得:由位移方程可得:)()()()(111tPftRtIftyP即即)()(1)()(11111tPfftyftyctymP 或或mtPtytytye)()()(2)(2 )()(111tPfftP
19、Pe二、简谐荷载下的无阻尼受迫振动二、简谐荷载下的无阻尼受迫振动设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为:设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为:tPtPsin)(扰力幅值扰力幅值荷载频率荷载频率不考虑阻尼,振动微分方程:不考虑阻尼,振动微分方程:tmPtytysin)()(2 上式中:上式中:)(tP)(tR)(tImy(t)(一)质点的位移方程(一)质点的位移方程齐次解:齐次解:tCtBtysincos)(1特解:特解:tDtysin)(2将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定:将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定:)1 (22mPD频比,扰力频率与自振频率比频比,扰力频率与自振频率比
20、质点位移方程为齐质点位移方程为齐次解和特解之和:次解和特解之和:tmPtCtBtysin11sincos)(22设零初始条件,即设零初始条件,即0)0(, 0)0(yy, 0t)1 (022mPCB最后最后)sin(sin11)(22ttmPty质点的位移方程质点的位移方程由上式可以看出,振动是由两部分合成的;式右第一项是按荷载频率由上式可以看出,振动是由两部分合成的;式右第一项是按荷载频率的振的振动。第二项是按自振频率动。第二项是按自振频率的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生自由振动。实际上由于存在阻尼,伴生自由振动在短时间内即行消失,最后自由
21、振动。实际上由于存在阻尼,伴生自由振动在短时间内即行消失,最后剩下的仅按荷载频率变化的振动,称为剩下的仅按荷载频率变化的振动,称为纯强迫振动纯强迫振动。在振动开始两种振动共。在振动开始两种振动共存阶段,称作过渡阶段,以后的纯强迫振动称为平稳阶段或存阶段,称作过渡阶段,以后的纯强迫振动称为平稳阶段或稳态强迫震动稳态强迫震动。(二)稳态强迫振动的动力反应(二)稳态强迫振动的动力反应质点的位移方程:质点的位移方程:tmPtysin11)(22振动频率和荷载频率振动频率和荷载频率相同,二者完全同步相同,二者完全同步振幅振幅jpymPA2211PfmPyjp2211动力系数动力系数扰力幅值产扰力幅值产生
22、的静位移生的静位移动力系数动力系数:最大动力位移与相应静力位移的比值,是衡量动力反应大小的重要指标:最大动力位移与相应静力位移的比值,是衡量动力反应大小的重要指标1023123当当 0时时, 1,荷载变化得很慢,可当荷载变化得很慢,可当作静荷载处理作静荷载处理当当0 1,并且随并且随的增大而增大的增大而增大当当 =1时时, = 。即当荷载频率接近于自振即当荷载频率接近于自振频率时,振幅会无限增大。称为频率时,振幅会无限增大。称为“共振共振”当当 1时时, 的绝对值随的绝对值随的增大而减小,的增大而减小,且为负值,质点的位移和扰力的指向相反且为负值,质点的位移和扰力的指向相反(1)单自由度体系)
23、单自由度体系(2)受简谐荷载作用)受简谐荷载作用(3)荷载位于质点上)荷载位于质点上当求结构的最大动力反应时,可当求结构的最大动力反应时,可用乘以动力系数的扰力幅值用乘以动力系数的扰力幅值P代代替扰力幅值替扰力幅值P与惯性力幅值与惯性力幅值 作作用,用静力方法计算。用,用静力方法计算。0IPPmPmPymPAmPIPjp22222201111例例1:已知:已知m=300kg,EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 ,求梁中点的,求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。位移幅值及最大动力弯矩。l/2EIl/2tPsinm解:解:1)求求EIlEIlEIlf1925
24、192483331316.13451921smlEImf2)求求552. 111223)求求 ymax, MmaxmEIlPPfy35333max1075. 51090192451020552. 11925mkNlPM04.31420552. 141)(41max体系满足前面的条件时,不仅荷载、质点位移和体系满足前面的条件时,不仅荷载、质点位移和惯性力同步变化,而且各种的动力反应的动力系惯性力同步变化,而且各种的动力反应的动力系数数 相同相同,故可利用故可利用 求体系的动力反应。求体系的动力反应。例例2: 图示简支梁跨中有一集中质量图示简支梁跨中有一集中质量m,支座,支座A处受动力矩处受动力矩
25、Msint t 作用,求质点的作用,求质点的动位移和动位移和A的动转角的幅值。的动转角的幅值。解:解:体系的动力荷载体系的动力荷载Msint 不是作用在不是作用在质点,因而不能直接利用质点,因而不能直接利用 求动位移,可求动位移,可由建立体系的振动方程来求解。由建立体系的振动方程来求解。EIl/2l/2mMsintBA111M1M21)设惯性力和动力荷载分别为单位力)设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上,并作出相应和单位力偶作用在体系上,并作出相应的弯矩图的弯矩图M1M2l/42)质点的动位移是惯性力)质点的动位移是惯性力 I (t) 和动力荷和动力荷载共同作用下产生的,按叠加
26、原理表示为载共同作用下产生的,按叠加原理表示为EIlffEIlfEIlf16;3;482211222311tMftIftysin)()(1211tMftymfsin)(1211 将柔度系数代入上式,并整理得将柔度系数代入上式,并整理得tmPtytysin)()(2 3248mlEI式中:式中:自振频率自振频率lMMffP31112等效荷等效荷载幅值载幅值运用图乘法可得:运用图乘法可得:由质点位移方程可得,受迫振动的稳态解为:由质点位移方程可得,受迫振动的稳态解为:tmPtysin11)(22tEIMlsin1623) 支座支座A 处的动转角也是由惯性力处的动转角也是由惯性力I (t)和动力荷载
27、共同作用下产生的,按叠加和动力荷载共同作用下产生的,按叠加原理表示为:原理表示为:tMftIftAsin)()(2221tMftymfsin)(2221 将将y(t)求二阶导数代入上式,可得:求二阶导数代入上式,可得:tMfPftAsin)()(222221将柔度系数和将柔度系数和 代入可得:代入可得: lMP3质点的动位移幅值为质点的动位移幅值为其中其中为动荷载为动荷载幅值幅值M所引起的质点静位移所引起的质点静位移yjp,为动力系数。为动力系数。EIMl162EIMl162tEIMltAsin111693)(2222tEIMlsin11671322tEIMlsin3支座处动转角幅值为支座处动
28、转角幅值为其中其中为动荷载为动荷载幅值幅值M所引起的静转角,所引起的静转角, 为动力系数。为动力系数。EIMl32EIMl3上例表明,动荷载不作用上例表明,动荷载不作用在质量上时,质点的位移在质量上时,质点的位移的动力系数和支座处动转的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的,角的动力系数是不同的,即体系不能用统一的动力即体系不能用统一的动力系数表示系数表示三、阻尼对受迫振动的影响三、阻尼对受迫振动的影响振动微分方程:振动微分方程:tmPtytytysin)()(2)(2 齐次解:齐次解:特解:特解:)sincos()(211tCtCetyrrttBtBtysincos)(2122222222
29、22221)2()()2()(2mPBmPB全解:全解:)sincos()sincos()(2121tBtBtCtCetyrrtcos,sin21ABAB)sin()(tAty21222212)2()1 (1tgmPA与无阻尼的质点位移方程相比,多了相与无阻尼的质点位移方程相比,多了相位差位差,质点随仍为简谐振动,但与荷,质点随仍为简谐振动,但与荷载不同步,位移变化之后于荷载变化。载不同步,位移变化之后于荷载变化。上式右第一大项是按自振频率上式右第一大项是按自振频率r r的振动,由于存在阻尼,这部分很快消失。余下的的振动,由于存在阻尼,这部分很快消失。余下的第二大项是按扰力频率第二大项是按扰力
30、频率的纯强迫振动的纯强迫振动纯强迫振动位移方程:纯强迫振动位移方程:tBtBtysincos)(21如令如令频率比:频率比:222)2()1 (1动力系数:动力系数:1)曲线随阻尼比增大而趋于平缓,曲线随阻尼比增大而趋于平缓,在在 =1附近附近值降低比较快。值降低比较快。2)当)当 =1时,有阻尼情况时,有阻尼情况 振幅振幅A可写为:可写为:jpyA121023=0.2=0.2=0.3=0.3=0.5=0.5=0=0=1.0=1.0阻尼使动力系数减小,动力系数阻尼使动力系数减小,动力系数与频率比与频率比及阻尼比及阻尼比有关:有关:此时动力系数为:此时动力系数为:21而最大动力系数不是在而最大动
31、力系数不是在 =1处,而是处,而是在在值略小于值略小于1处处由由0dd221得得2max121四、在任意动力荷载作用下受迫振动四、在任意动力荷载作用下受迫振动体系在静止状态突然作用荷载体系在静止状态突然作用荷载P,停留时间,停留时间dt。则瞬时冲。则瞬时冲量量Pdt引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。mPdtdv dtdvmP dt时间内的平均速度:时间内的平均速度:2)(2dtmPdtvdy任意动力荷载作用下体系的动力反应,任意动力荷载作用下体系的动力反应,可用瞬时冲量作用的反应推导。可用瞬时冲量作用的反应推导。mPdtdvv2)0(21(一)
32、瞬时冲量的反应(一)瞬时冲量的反应由动量定理可得:由动量定理可得:t=dt时的速度:时的速度:t=dt的位移:的位移:PP(t)tPdt Pdt当当 t dt后,体系的振动相当于以后,体系的振动相当于以d v 和和d y为初始条件的自由振动,即取:为初始条件的自由振动,即取:mPdtvy00, 0由自由振动方程可得由自由振动方程可得t 0时的位移反应时的位移反应:tmPdttysin)()(sin)()(tmdPty略去略去 dt 的二阶的二阶微量的作用微量的作用上式是在上式是在t=0时的作用瞬时冲量的反应,如果时的作用瞬时冲量的反应,如果在在 t =时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量P()d 则有
33、则有t 时的位移反应时的位移反应 :P(t)tP()d P()d dtPmtyt0)(sin)(1)(杜哈梅(杜哈梅(Duhamel)积分)积分上式为初始处于静止状态的无阻尼单自上式为初始处于静止状态的无阻尼单自由度体系受任意动力荷载作用下计算质由度体系受任意动力荷载作用下计算质点位移的一般公式。点位移的一般公式。考虑阻尼,则考虑阻尼,则杜哈梅积分为杜哈梅积分为dtePmtytrtr0)()(sin)(1)(初始位移初始位移y0和和初始速度初始速度v0不不为零在任意荷为零在任意荷载作用下的位载作用下的位移公式移公式:dtPmtvtytyt000)(sin)(1sincos)(P(t)ttd P
34、( )d 任意荷载作用可看作一系列连续的瞬时冲量任意荷载作用可看作一系列连续的瞬时冲量P()d所组成。将每个瞬时冲量的所组成。将每个瞬时冲量的微分反应叠加,可得时刻微分反应叠加,可得时刻 t 的总反应的总反应(二)任意荷载作用的反应(二)任意荷载作用的反应例例 单自由度体系在零初始条件下,质点上受到图示的短时突加荷载作用,求质单自由度体系在零初始条件下,质点上受到图示的短时突加荷载作用,求质点的位移反应。点的位移反应。P(t)ttdP解:解: 荷载表达式为荷载表达式为)(tP)0( , 0t)0 ( ,dttP)( , 0dtt 计算分两个阶段计算分两个阶段突加荷载位移反应突加荷载位移反应1)
35、当)当 时,将荷载表达式代入杜哈梅积分,得时,将荷载表达式代入杜哈梅积分,得dtt 0dtPmtyt0)(sin1)()cos1(tmP)cos1(tyjpjpyty2)(max2)当当 时,为由位移时,为由位移 和速度和速度 引起的自由振动,由引起的自由振动,由杜哈梅积分可得杜哈梅积分可得dtt )(dty)(dty dtPmtydt0)(sin1)(tttmPdcos)(cos)2(sin2sin2ddjpttty3)最大反应分析。若将上述两个阶段的位移反应表达式中的频率)最大反应分析。若将上述两个阶段的位移反应表达式中的频率换以周期来表示则分别为换以周期来表示则分别为)cos1()(ty
36、tyjp)2cos1 (TtyjpTtyjp2sin2)2(2sinsin2)(ddjpttTTtyty2Ttd2Tt 时,最大位移发生在第一阶段。当时,最大位移发生在第一阶段。当 时,有最大时,有最大位移,动力系数为位移,动力系数为22Ttd42dTTt 时,最大位移发生在第二阶段。当时,最大位移发生在第二阶段。当 时,有最大时,有最大位移,动力系数为位移,动力系数为Ttdsin2一、运动微分方程一、运动微分方程(一)位移方程法(柔度法)(一)位移方程法(柔度法)m1m2y1(t)y2(t)在自由振动过程中任意时刻在自由振动过程中任意时刻 t,质量,质量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2
37、(t)可看做体系在当时惯性力可看做体系在当时惯性力I1、I2作用下的静力位移。作用下的静力位移。1221111)()()(ftIftIty2222112)()()(ftIftIty0)()()(122211111ftymftymty 0)()()(222221112ftymftymty 可得可得两个自由度体系自由振动两个自由度体系自由振动微分方程微分方程:1f 11f 22f 21f 121I1I2S2S1m1m2y1(t)y2t)m1m211沿两个自由度方向截取包括相应质量的两个隔离体,各隔离体上作用相应的沿两个自由度方向截取包括相应质量的两个隔离体,各隔离体上作用相应的弹性力和惯性力,建立
38、平衡方程。从而的振动微分方程弹性力和惯性力,建立平衡方程。从而的振动微分方程0)()(11tStI0)()(22tStI两个自由度体系自由振动微分方程两个自由度体系自由振动微分方程(二)动力平衡方程法(刚度法)(二)动力平衡方程法(刚度法)I1I2k11k22k12k21)()()(2121111tyktyktS)()()(2221212tyktyktS0)()()(21211111tyktyktym 0)()()(22212122tyktyktym (一)体系的固有振动(一)体系的固有振动体系中各质点按同频率、同相位的简谐振动,称为体系中各质点按同频率、同相位的简谐振动,称为固有振动固有振动
39、,又叫同步,又叫同步振动。其振动频率叫结构的振动。其振动频率叫结构的固有频率固有频率。n个自由度体系有个自由度体系有n个固有频率。与每个固有频率相应,体系的振动有一个固有频率。与每个固有频率相应,体系的振动有一定的振动形式,称作结构的定的振动形式,称作结构的固有振型固有振型,又叫,又叫主振型主振型,或简称振型。,或简称振型。对于两个自由度体系的固有振动,微分方程式的解为:对于两个自由度体系的固有振动,微分方程式的解为:)sin()()sin()(2211tAtytAty将上式代入两个自由度体系的振动微分方程中,可得:将上式代入两个自由度体系的振动微分方程中,可得:二、固有振动及固有频率、主振型
40、的确定二、固有振动及固有频率、主振型的确定结构的固有频率和主振型是结构的重要动力特性,固有振动或自由振动结构的固有频率和主振型是结构的重要动力特性,固有振动或自由振动分析的目的就是确定结构的固有频率和主振型分析的目的就是确定结构的固有频率和主振型固有振动基本方程为关于振幅的固有振动基本方程为关于振幅的A1 、A2齐次方程,振幅不会全为零,则其系齐次方程,振幅不会全为零,则其系数行列式必为零,可得:数行列式必为零,可得:0)()()(2222211212112mkkkmkD0)1()1()1(222221112221112fmfmfmfmD或或(二)体系的固有频率(二)体系的固有频率或或固有振动
41、基本方程固有振动基本方程0)1(222221211AfmAfm0)1(212212111AfmAfm0)(21211211AkAmk0)(22222121AmkAk频率方程频率方程可解得两个固有频率可解得两个固有频率1 1 和和2 2 。其中数值较小的为其中数值较小的为1 1 ,称为,称为第一频率第一频率或或基本频率基本频率,数值较大的为,数值较大的为2 2 ,称作第二频率,称作第二频率0)()(2122211212221112fffmmfmfm212212222111222111214)()(21fmmfmfmfmfm0)(211222221211kkmkmk2121122211222211
42、122211122212121mmkkkkmkmkmkmk频率方程展开,并考虑频率方程展开,并考虑 f12=f21 ,且令,且令 ,可得:,可得:21或或上式可求得两个实根,为:上式可求得两个实根,为:或或(三)体系的主振型(三)体系的主振型由固有振动由固有振动)sin()()sin()(2211tAtytAty可得可得常数2121)()(AAtyty体系振动过程中,质点的位移大小虽然不断变化,但两个质量位置的之比始终体系振动过程中,质点的位移大小虽然不断变化,但两个质量位置的之比始终相等,即振动形式是确定不变的,故可用振幅之比表示体系的相等,即振动形式是确定不变的,故可用振幅之比表示体系的主
43、振型主振型。两个自由度体系有两个固有频率,每个固有频率与一个特定的振动形式即两个自由度体系有两个固有频率,每个固有频率与一个特定的振动形式即主振主振型型相对应。已求出相对应。已求出1 1 2 2 后,可利用振动基本方程来求出各振幅比值,从而后,可利用振动基本方程来求出各振幅比值,从而确定确定主振型主振型。1由由2由由111211212211121) 1 (1) 1 (211kmkfmfmAA111221212211122)2(1)2(221kmkfmfmAA(四)主振型的正交性(四)主振型的正交性柔度系数的副系数柔度系数的副系数f12=f21及刚度系数的副系数及刚度系数的副系数k12=k21是
44、有正负号的,因此,是有正负号的,因此,求出的振幅比及相对振幅值也可有正号或负号。求出的振幅比及相对振幅值也可有正号或负号。关于正负号的规则是,在计算开始时,先规定位移关于正负号的规则是,在计算开始时,先规定位移y1(t)及及y2(t)的正方向,的正方向,求柔度系数的单位力及求刚度系数的单位位移均按位移求柔度系数的单位力及求刚度系数的单位位移均按位移yi(t)的正向施加,的正向施加,则求得的柔度系数则求得的柔度系数fij或刚度系数或刚度系数kij指向与指向与yi(t)正向相同者为正,反之为负。正向相同者为正,反之为负。主振动是简谐自由振动,位移和惯性力同时达到幅值。主振动是简谐自由振动,位移和惯
45、性力同时达到幅值。第一主振型可看做相应惯性力幅值第一主振型可看做相应惯性力幅值1 12 2m m1 1A A 1 1(1)(1)和和1 12 2m m2 2A A 2 2(1)(1)作用所产生的静作用所产生的静力位。力位。第二主振型可看作相应惯性力幅值第二主振型可看作相应惯性力幅值2 22 2m m1 1A A 1 1(2)(2)和和2 22 2m m2 2A A 2 2(2)(2) 作用所产生的静作用所产生的静力位移。力位移。m1m2)1(2)2(2222)1(1)2(1221)2(2)1(2212)2(1)1(1211)()()()(AAmAAmAAmAAm整理得:整理得:0)()2(2)
46、1(22)2(1)1(112221AAmAAm21因因 ,则存在:,则存在:0)2(2)1(22)2(1)1(11AAmAAm主振型的正交条件主振型的正交条件)1(1221Am)1(2221Am)1(1A)1(2A)2(1122Am)2(2222Am)2(1A)2(2Am1m2对两个状态应用虚功互等定理,有对两个状态应用虚功互等定理,有第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型m1m2例例1 求图示结构自振频率和振型。求图示结构自振频率和振型。mml/2l/2l/2EIk=3EI /l3ABED解:体系为静定结构,有两个自由度解:体系为静定结构,有两个自由度1)求柔度系数,由图乘法和弹簧内)求柔
47、度系数,由图乘法和弹簧内力虚功计算,得力虚功计算,得l /21/21l /411/2M1M2EIlffEIlfEIlf9611,9610,9620321123223112)求自振频率,代入两个自由度体)求自振频率,代入两个自由度体系自由振动的系自由振动的频率方程,频率方程,得得令:令:3396mlEI则:则:0)10(1111)20()(D展开并解得:展开并解得:917. 2,083.27210)19610(96119611)19620()1(2333232mEIlEIlEIlmEIlD3131883.196mlEImlEI可得相应的频率:可得相应的频率:3)求振型并绘振型图)求振型并绘振型图
48、644. 011201112211121) 1 (1) 1 (21fmfmAA当当1 1= 27.083= 27.083 时时,553. 111201212211122)2(1)2(22fmfmAA当当2 2= 2.917= 2.917 时时,3231737.596mlEImlEI10.64411.553第一振型第一振型第二振型第二振型m1mnmim2yi(t)y2(t)yn(t)y1(t)一、运动微分方程一、运动微分方程(一)柔度法方程(一)柔度法方程n个自由度体系自由振动的某一个时刻质点个自由度体系自由振动的某一个时刻质点mi产生产生的位移为的位移为yi(t),此位移可看作由各质点加上惯性
49、力此位移可看作由各质点加上惯性力 静力作用产生的,可得静力作用产生的,可得n个自由度体系自由振动微个自由度体系自由振动微分方程分方程)()(tymtIiii 0)()()()(0)()()()(0)()()()(1111111111111tyftymftymftymtyftymftymftymtyftymftymftymnnnnnniiiniinnniiiiinnniii 写成矩阵形式:写成矩阵形式: 0yyMF 其中其中 Tntytytyy)()()(21 加速度列阵加速度列阵 Tntytytyy)()()(21位移列阵位移列阵nmmmM0021质量矩阵质量矩阵 nnnnnnffffffff
50、fF212222111211柔度矩阵柔度矩阵柔度矩阵为柔度矩阵为n阶对称方阵,阶对称方阵,fij=fji。fij的意义是沿体的意义是沿体系的位移系的位移yi方向加单位力所产生的沿方向加单位力所产生的沿yi方向的位移方向的位移当仅考虑质量的移动惯性作用时,质量矩阵当仅考虑质量的移动惯性作用时,质量矩阵为为n阶对角方阵,其元素阶对角方阵,其元素mi为沿为沿 yi方向的质量方向的质量(二)刚度法方程(二)刚度法方程仿照两个自由度体系的自由振动微分方程,可写出仿照两个自由度体系的自由振动微分方程,可写出n个自由度体系个自由度体系自由振动微分方程自由振动微分方程0)()()()(0)()()()(0)(