1、5.4 土的三维固结5.4.1 三向压缩比奥（Biot）固结理论 5.4.2 太沙基（Terzaghi）-伦杜立克 （Rendulic）准三维固结理论（扩散方程）5.4.3 两种固结论理的比较原理与条件5.4.4 三向固结的轴对称问题砂井预 压固结计算 图图558 圆形基础下土层的三维固结曲线Terzaghi一维固结曲线一维（单向）与三维固结计算的区别5.4.1 三向压缩比奥（Biot）固结理论zyxzzzzd1. 平衡方程uzzfi为体积力,以土体为隔离体图图546 单元体上的应力,ij jif 以土骨架作隔离体的平衡方程(1)00yxxzxxyyzyyzxzzuxyzxuxyzyuxyzz
2、 三个方向上的渗透力：渗透力：ix w, iy w, iz wu: 为超静水压力时， 为浮容重 ；u: 为总水压力（包括静水压力）时， 为饱和容重 sat。,uuuxyz00yxxzxxyyzyyzxzzuxyzxuxyzyuxyzz 2.位移协调条件：应变-位移条件)()()(zyuxvxwzuzvywzwyvxussxysszxssyzssysx，ssswvu,：土骨架在x,y,z 方向的位移(2)3.土骨架的应力应变关系-线弹性广义胡克定律)1 (2 .)1 (2 .)1 (2 .)(1)(1)(1EvGEvGEvGvEvEvExyxyxyzxzxzxyzyzyzyxzzzxyyzyxx
3、ijkkijijEE1(3)zxzxyzyzxyxyzzyyxxGGGvvGvvGvvGvvv)21(2)21(2)21(2，ijkkijijG 2或者(3)ijkkijijEE1ijkkijijG 2)21)(1 (E)1 (2EG或者(3)平衡、变形协调及本构关系三方程叠加zuGzGGwyuGyGGvxuGxGGuvsvsvs2221)(01)(01)()21)(1 (vvEv)1 (2vEG2222222zyx(4)方程及未知数个数未知数4个：us, vs ws ：土骨架的位移u：孔隙水压力 三个方程少一个条件zuGzGGwyuGyGGvxuGxGGuvs2vs2vs21)(01)(01
4、)(4)4. 饱和土体的连续性方程tukv2wzyxtttyxzzvzxyyvzyxxvzyxddddddddddddddvzukvyukvxukvzyxwww,流出水量体积压缩达西定律连续性方程tukv2wutEvt321vttuuC3123v)21 (3w3vvkECuEvKp321v(5)xyz ttuuC3123v)21 (3w3vvkEC（1） Cv3是三维固结系数；（2） 是时间t 的函数。zyx2vuCut比较：(5)单向固结微分方程ttuuC3123v(5)zuGzGGwyuGyGGvxuGxGGuvs2vs2vs21)(01)(01)(4)5. 二维与一维形式平面应变ttuu
5、c2122v)21)(1 (2w2vvvkEc22222zxzx2一维形式：单向渗流固结问题2v112uCuttv1w(1)(1)(1 2 )kECvvz1对于荷载一次施加，并且不变01t2v1uCut可见，此时比奥理论与太沙基单向固结理论一致6.比奥固结理论原理及其在数值计算中应用（1）未知变量：结点的 us, vs, ws; u；（2）有效应力原理；（3）平衡方程；（4）连续性方程；（5）变形协调条件；（6）本构模型：线性，非线性，弹塑性；（7）时间：从t=0开始，每次增加t；（8）应力应变的非线性：不同时刻参数随有效 应力变化。5.4.2 太沙基（Terzaghi)-伦杜立克（Rendu
6、lic）准三维固结理论(扩散方程) 根据一维固结论理，将固结方程进行重要的简化，解决二、三维固结问题。骨架体应变：KuKp33v)21 (3EK0t假设：tuEt213v)3(21vtutEt骨架体变率：1. 变形条件tuEt213v骨架体应变率：tukv2w连续性方程：2v3uCut微分方程：v3w3(1 2 )kECv2. 二维与一维的形式二维22v222()uuuCxztv2w2(1)(1 2 )kECvv一维v1w(1)(1)(12 )kECvv2v12uuCztv1v2v312(1)31vCv CCvv3w3(1 2 )kECvv2w2(1)(12 )kECvvv1w(1)(1)(1
7、 2 )kECvvv1v2v323CCC5 . 0vv1v2v3CCC0v3. 固结系数的比较s1(1)(1 2EE）v1w(1)(1)(1 2 )kECvv太沙基一维固结理论二者的固结系数是一致的svvwvww1kekE kCma5.4.3 两种固结论理的比较原理与条件zuGzGGwyuGyGGvxuGxGGuvs2vs2vs21)(01)(01)(ttuuC3123v2v3uCut比奥固结理论太沙基一维固结理论1. 两种固结微分方程比奥(Biot)ttuuC3123v)21 (3w3vvkEC太沙基（Terzaghi)-伦杜立克(Rendulic)2v3uCutv3w3(1 2 )kECv
8、zuGzGGwyuGyGGvxuGxGGuvs2vs2vs21)(01)(01)(2. 理论假设的比较相同之处线弹性 （?）小变形（小应变）达西定律连续性条件：饱和、不可压缩主要区别 是否假设正应力之和在固结与变形过程中为常数；实际上为是否满足变形协调条件。0tzyx平衡方程（有效应力原理）应力应变关系线弹性模型（也可以是其他模型）应变位移关系：变形协调条件连续性条件太沙基-伦杜立克KuKp33v胡克定律33up平衡方程tukv2w连续性条件不满足2. 理论建立条件的比较比奥理论比奥理论比奥理论 可解得土体受力后的应力、应变应力、应变和孔压的生成和消散过程，理论上是完整严密的。太沙基太沙基-
9、-伦杜立克伦杜立克 扩散方程假设三个主应力（总应力）之和不变，不满足变形协调条件，（应力应变解不严密）。只能解出孔隙水压力u。两种固结理论的比较3曼代尔-克雷尔效应(Mandel-Cryer Effect) 在不变的荷重施加于土体上后的某时段内，土体内的孔隙水压力不是下降，而是继续上升，而且可能超过应有的压力值。 该现象由曼代尔（Mandel）和克雷尔(Cryer)发现，故称为曼代尔曼代尔- -克雷尔效应克雷尔效应，或称应力传递效应。 时间因数 lgTv0uu图图559 条形基础下M点的孔压发展2az=aM1.01） 曼代尔-克雷尔效应的原理图图560 圆形土体的曼代尔-克雷尔效应的原理示意图
10、 u1） 曼代尔-克雷尔效应的原理（1）在表面透水的地基面上施加荷载，经过 短暂的时间，靠近排水面的土体由于排 水发生体积收缩。（2）但是内部土体还来不及排水。为了保持 变形协调，表层的压缩必然挤压土体内 部，使那里的应力有所增大。（3）某个区域内的总应力将超过它们的起始 值，因而内部孔隙水由于收缩力迫使其 压力上升。2）影响曼代尔-克雷尔效应的因素（1）随地面排水性能增强而强烈。（2）点的位置：超静水压力出现峰值点的时间随 深度而推后；（平面应变条件）离基础轴线 愈近，效应愈明显 。（3）随土的泊松比的增大而减小。5.0体积不变，没有这一效应。表面透水性的影响图图561 表面透水性对孔压变化
11、的影响计算点的深度图图562 不同深度的计算点孔压的发展计算点的水平位置图图563不同水平位置的计算点孔压的发展泊松比的影响图图564 泊松比的影响按扩散理论求解固结问题不会出现曼代尔-克雷尔效应。0uuTv0t图图565 扩散理论与比奥理论的解答3）讨论（1）由于曼代尔-克雷尔效应，地面透水的土 体中一点的剪应力随时间变化，最大值可 能在固结过程中的基础边缘产生；（2）由于曼代尔-克雷尔效应，会延滞了固结 使固结速度减少；（3）按沉降计算固结度Us与按孔压计算固结度 Up可能不同；（4）在扩散方程中，对于三向和二向问题，固 结系数采用Cv3, Cv2，则解得的超静水压力 的消散过程及固结度U
12、与比奥的精确解一 般是十分相近的 。 由于曼代尔-克雷尔效应，地面透水的土体中一点的剪应力随时间变化，最大值可能在固结过程中的基础边缘产生。 图图566 最大剪应力随时间的变化 准三向固结理论只研究土体中超静水压力的消散过程，不涉及与变形的耦合作用，并用超静水压力的消散程度定义固结超静水压力的消散程度定义固结度，而且认为它等于按土体变形定义的固度，而且认为它等于按土体变形定义的固结度。结度。 对于比奥固结论理，实际存在应力重分布的真二向或三向固结，在同一时刻的两种固结度并不相等两种固结度并不相等，而且随值的不同而改变。 只有在单向固结时二者才会相同。无限厚土层上的圆形基础，表面不排水比奥比奥固
13、结论理计算0.5, Up（孔压）0.5, Us（沉降）TvUp/Us01.00, Us图图567 按沉降和按孔压计算的固结度 萨夫曼(Schiffman)等的研究表明，尽管从理论上说，扩散理论并不是严密的方法，如果基础半宽与压缩层厚度之比的a/h1，在工程实用上，用简单的扩散理论估算沉降-时间关系已有足够精度。无限厚土层上的圆形基础，表面不排水比奥固结与扩散方程计算比较0.5, Up比奥扩散方程0.5, Us比奥TvUp,Us01.00, Us比奥图图568 两种理论计算的固结度ha不排水a/h =10a/h =1扩散方程扩散方程Us比奥理论与扩散方程计算结果比较Tv比奥比奥图图569 比奥理
14、论与扩散方程计算的固结度条形基础 a/h=2 4=0.40.5与一维固结理论计算结果接近图图570 不同条件下计算的条形基础固结度Us条形基础以沉降定义固结度Us5.4.4 三维固结的轴对称问题砂井固 结理论1. 固结微分方程2. 卡雷洛(Carrillo) 的解答3. 理想井的等竖向应变解巴隆（Barron）解答4. 非理性井的情况5. 其它1. 固结微分方程对于轴对称问题，固结微分方程表示为：22v221()zuuuuCrrrt砂井固结的轴对称问题等效直（半）径：de=1.05t，de=1.125t图图571 砂井渗流固结2.卡雷洛(Carrillo) 的解答（1）卡雷洛(Carrillo
15、)也已证明，上述固结方程可以分解为两种渗流来计算：竖直向渗流轴对称平面渗流（2）如果某一时刻由竖直向渗流引起的地基的固结度为Uz，又计算得同一时刻由轴对称平面渗流引起的固结度为Ur，则地基的总固结度可由下式计算：)1)(1 (1rzzrUUU图图572 地基内孔压的分布示意图砂井3. 理想井的等竖向应变解巴隆 （Barron）解答 水平渗流固结：对于辐射流，由于水流对称，圆周面可以看成不排水面, 不考虑垂直向渗流的阻力及涂抹作用，其固结方程为：2vr21()uuuCrrrthvrvw(1)keCare2rw图图573 轴对称固结问题边界条件(1)井圆周面处（r=rw）在t0时，超静水压力 u=
16、0(2)影响区的周界面处，即r=re处,有 0ru(3)0ew, 0uurrrt)(8exp1rrnfTU2evrrdtCT 43)ln(413)ln(1)(2222nnnnnnnfn:井径比径向固结：垂直方向的固结：0v22)exp(21mzTMMU；M=(2m+1)/2；vv2C tTHv242e81TzUUz30%时)1)(1 (1rrUUUzz总平均固结度Uzr:4. 非理性井的情况 井阻：砂井在排水过程中有阻力，考虑砂井的渗透系数。 涂抹：由于在设置砂井过程中，不可避免地扰动原状土，使一定范围内的地基土渗透系数减小。一般区涂抹井阻kw涂抹区ks图图574 井阻与涂抹H2rs2re2r
17、w2vr21()uuuCrrrt1）基本微分方程：2）边界、起始条件：wrr wruu (1) t 0err 0ru(2)0ew, 0uurrrt(3)zsrr (5)孔压连续，水流连续条件(4)0wu0z2rs图图575 砂井排水固结z2srrrhws2hr2rrrhse21()1()kuuCrrrrrrkutuuCrrrrrr两个区的径向渗流固结微分方程wrwws2w22rrrukrkzu砂井与土体之间的流量相等（砂井外壁）22rwwsww22dduur kzr kzrz3）三个区的孔压分布tmHMzMDFDuuresin20a0w砂井区：)(esin221(ln2ln1)(esin2)2
18、(ln1es022sh2e2s2sa0sw02e2w2wsha0rrrrrrHMzMDnsskkrrrrrDFurrrHMzMDrrrrrkkDFuutmtm井阻区一般区wsrrs 涂抹区的井径比2eavhr)(8dDFC井阻因子 2wwh)(dHkkG 212mMm=0,1,2222) 1(8nMnGD)411 (11)41)(1 (11)43ln(lna22sh22sh2222shnnkknskknsnnskksnF在上式中：tmHMzMDFDuuresin20a0w02rre21mtMU对于无井阻、涂抹G=0S=1kh/ks=1上式变成：)(8exp1rrnfTU固结度：考虑涂抹的等效井
19、径比法：转化为理想井Gkkinsn)1(eshtFdcU2eh8re1rsnFFFFwh22rshsn4ln 11543)ln(qkLFskkFnnF井阻的影响涂抹区的影响s: 涂抹区直径ds/砂井直径dw。qw: 砂井竖向通水量 。4）考虑涂抹与井阻的砂井径向平均固结度的规范建议简化算法：5.等应变与自由应变：同一水平面竖向变形是否相等图图576 不同边界条件计算的固结度6. 分级加载地基的平均固结度niTTtiiitiiTTpqU11)e(ee)(1qi:第i级荷载的加载速率；p:各级荷载的累加值；Ti，Ti1：第i级荷载的起始与终止时间（从0点 算起：天,d)，当计算加载过程中当计算加载
20、过程中 t 的固结度的固结度时时, ,Ti=t。 排水条件参数竖向排水Uz30%径向排水竖向与径向排水，砂井穿过受力层1.028282v24CHh2ne8CF d2vh22ne84CCF dHniTTtiiitiiTTpqU11)e(ee)(1t(d)p(kPa)t0=0t1t2t3p1p2图图565 分级加载t(d)p(kPa)t0=0t1t2t3p1p2情况1：t0tt1e1()(2111tttPPtpUtTTppptpqii002111niTTtiiitiiTTpqU11)e(ee)(1t图图577t(d)p(kPa)t0=0t1t2t3p1p2情况2：t1tt21()11211ee()
21、ttttpUppt 1021110tTTppptpqiiniTTtiiitiiTTpqU11)e(ee)(1t图图578t(d)p(kPa)t0=0t1t2t3p1p2情况3：t2tt3niTTtiiitiiTTpqU11)e(ee)(1t图图580132()11112()()1323212ee()()ee()()ttttttttpUttpppttttpp 例题4 分期加载如图。问加载后20天和40天的平均固结度为多少？a=0.5MPa-1 k=510-7cm/s e0=1.0，10m厚；de=2.5m,dw=0.25m。30天p=120kPapt20d40d图图581 例题622vhne22
22、2vh2222ne2.04 10m /s0.176m /d1.582.5m80.8188 0.1760.1760.14741.58 2.54 10CCFdCCF dH958. 0)23. 00028. 0(184. 01ee30147. 081. 01ee1493. 0:d40)e1 (147. 081. 020301)e1 (1:d2010147. 040147. 0)(120147. 01tttttttUttU塑料排水板砂井:（1）砂量（2）易断（3）工程造价近年更多使用塑料排水板(等效直径问题)塑料排水带_w)(2bd：换算系数：0.751.0。图67 塑料排水带的等代直径b5.5 关于
23、土体固结的其它问题简介5.5.1 大变形固结理论5.5.2 非饱和土的固结问题5.5.3 固结试验连续加载压缩试验方法两种坐标系法 以物体变形前的初始构形B为参照，质点变形前的坐标为变量，同坐标同质点：物质描述法。 固体力学 以物体变形后的初始构形B为参照，一坐标不同时刻由不同质点不同质点占据占据：空间描述法。流体力学拉格朗日(Lagrange)欧拉(Euler)5.5.1 大变形固结理论0;iix u0iiixxu柯西（Cauchy)应变张量ij为：,0011()()22jiiji jj ijiuuuuxx 大变形：格林（Green)应变张量Eij，即Euler应变1()2jimmijjii
24、juuuuexxxx 00001()2jimmijjiijuuuuExxxx 小变形：位移比物体尺寸小得多情况，常采用的大变形固结计算方法： 全拉格朗日坐标法（UL）；格林应变 拉格朗日的坐标更新法(Updated Lagrangian Formulation:UL):每一增量结束更新一次坐标。 1. 连续性条件 一部分气体要从土体中排出； 未排出气体在压力下体积发生变化，密度改变，一定量的气体要溶解于孔隙水中。 5.5.2 非饱和土的固结问题 （1）涉及两种介质的渗透性，并且都与土的含水率和吸力密切相关。 （2）吸水与脱水时，渗透性亦不一致，亦即它们与含水率的关系，并非一单值函数。 （3）非
25、饱和土的渗透系数受土的结构性的影响很大，测定渗透系数，并保证结构性不受影响，常需要不同于常规试验的测试技术。 2. 渗透计算3. 有效应力原理对于非饱和土，存在各种表达式：毕肖普（Bishop)弗雷伦德非 (Fredlund) 表达式中的各参数测定比较复杂，往往不易得到稳定的数值。)(wauu 单变量smm2*1v双变量净应力吸力非饱和土渗流的非线性固结过程中颗粒、水、气的相互作用4. 其它 1. 常规的固结试验是分级加载。从12.5kPa开始，每级荷重与原荷重之比为1，即荷重比为1.0。如果需测定原状土的先期固结压力，初始段的荷重比可采用0.5或0.25。每级荷重常需24小时量测时间-变形关系。这种试验常需一周甚至十余天。并且加载方式与实际施工情况差别较大。 2. 连续加荷压缩试验可减少工作量；缩短试验时间；目前已经制成了完全自动化的装置。5.5.3 固结试验连续加载压缩试验方法3. 试验方法 （1）恒应变速率试验法（简称CRS法）：加荷时控制试样的变形速率为常量。 （2）恒荷重速率试验法（简称CRL法）：加荷时控制试样上应力增长速率为常量。 （3）控制孔隙压力梯度试验法（简称CGC法）：加荷时保持试样底部的孔隙压力为常量。 （4）控制孔隙压力比试验法（简称法）：加荷过程中控制试样底部孔隙压力与总应力的增量比，即小于某一数值。pub
