1、2022-6-231第第3章章 仿真中的随机过程分析仿真中的随机过程分析 3.1 概率论基础概率论基础 3.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念3.3 平稳随机过程及其特性分析平稳随机过程及其特性分析 3.4 噪声噪声 3.5 随机过程的模型随机过程的模型 3.6 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 2022-6-2323.1 概率论基础概率论基础 本科阶段的工程数学已经讲过，这里就不再介本科阶段的工程数学已经讲过，这里就不再介绍了。绍了。 本节需要注意：本节需要注意：3.1.3 单单随机变量模型的描述。随机变量模型的描述。 2022-6-2333.2 随机过程的基本概念随机过程的基
2、本概念3.3平稳随机过程及其特性分析平稳随机过程及其特性分析 本科阶段的通信原理已经讲过，这里就不再介本科阶段的通信原理已经讲过，这里就不再介绍了。绍了。 2022-6-2343.4 噪声噪声 3.4.1调制信道模型简介调制信道模型简介 只需关心调制信道输入信号与输出信号之间的只需关心调制信道输入信号与输出信号之间的关系，发现它们有如下共性：关系，发现它们有如下共性： 输入端和输出端的数量；输入端和输出端的数量； 线性的，满足叠加原理；线性的，满足叠加原理； 有一定的迟延时间和有损耗有一定的迟延时间和有损耗 ； 即使没有信号输入，在信道的输出端仍可能即使没有信号输入，在信道的输出端仍可能有一定
3、的功率输出（噪声）。有一定的功率输出（噪声）。 2022-6-235 输出与输入之间的关系式可表示成输出与输入之间的关系式可表示成 进而进而 这样信道对信号的影响可归纳为两点：一是乘这样信道对信号的影响可归纳为两点：一是乘性干扰性干扰k(t)，二是加性干扰二是加性干扰n(t)。 不同特性的信道，仅反映信道模型有不同的不同特性的信道，仅反映信道模型有不同的k(t)及及n(t)。 根据信道中根据信道中k(t)的特性不同，可以将信道分为：的特性不同，可以将信道分为：恒参信道和变参信道。恒参信道和变参信道。 )()()(0tnteftei)()()()(0tntetktei2022-6-2363.4.
4、2 噪声的分类噪声的分类 根据加性噪声的来源对它进行分类根据加性噪声的来源对它进行分类： 自然噪声、人为噪声、电路噪声。自然噪声、人为噪声、电路噪声。 按噪声的性质上来分类：按噪声的性质上来分类： 单频噪声、脉冲噪声、起伏噪声。单频噪声、脉冲噪声、起伏噪声。 在研究噪声对通信系统的影响时，应以起伏在研究噪声对通信系统的影响时，应以起伏噪声为重点。噪声为重点。 2022-6-2373.4.3 起伏噪声起伏噪声 有许多噪声都满足起伏噪声的特性，其中比较有许多噪声都满足起伏噪声的特性，其中比较有代表性的包括热噪声、散弹噪声及宇宙噪声等。有代表性的包括热噪声、散弹噪声及宇宙噪声等。 以散弹噪声为例，介
5、绍起伏噪声的统计特性。以散弹噪声为例，介绍起伏噪声的统计特性。 电流脉冲波形可以用随机过程来表示：电流脉冲波形可以用随机过程来表示： 可以证明，电子发射时刻可以证明，电子发射时刻k基本满足强度为基本满足强度为的的泊松过程，泊松过程，为电子运动的平均速率（为为电子运动的平均速率（为常数常数）。）。 kkthtX2022-6-238接收到的电流脉冲波形为：接收到的电流脉冲波形为： 随机过程随机过程X(t)和和Y(t) 均为平稳随机过程，同时均为平稳随机过程，同时假设它们都满足各态历经性，则有假设它们都满足各态历经性，则有 kkkthAtY duuhmtXEX 2XXXmduuhuhR duuhAE
6、mtYEY 22YYYmduuhuhAER2022-6-2393.4.4 白噪声和带限白噪声模型白噪声和带限白噪声模型 白噪声：功率谱密度函数在整个频率域服从均白噪声：功率谱密度函数在整个频率域服从均匀分布的噪声。匀分布的噪声。 fnfPn20 222100ndenRj RO20n fPfO20n2022-6-2310 对于任意有限带宽对于任意有限带宽B，则有则有 有限带宽的白噪声，则有有限带宽的白噪声，则有 BndffPBBn0 其它020BfnfPnc 0000020sin2SaBnBndfenRBBfj ncRB-Bf fPnc0B21B21B1B100Bn20n2022-6-23113
7、.4.5 量化噪声量化噪声 定义定义：模拟信号向数字信号转化时产生噪声。：模拟信号向数字信号转化时产生噪声。 1、量化的基本概念、量化的基本概念 量化：量化：用有限个电平来表示模拟信号采样值。用有限个电平来表示模拟信号采样值。 量化误差量化误差：量化后的信号：量化后的信号 是对原来信号是对原来信号 的近似，因此，的近似，因此， 和和 存在的误差。存在的误差。 量化信噪功率比量化信噪功率比：衡量量化性能好坏的最常用：衡量量化性能好坏的最常用的指标。的指标。 txq txSqkTxSkTx22SqSSqqqkTxkTxEkTxENS2022-6-2312信号的实际值信号的量化值量化误差m6m5m4
8、m3m2m1Ts2Ts3Ts4Ts5Ts6Ts7Tsmq(6Ts)m(6Ts)t7m6x5x4x3x2x1x tx txq2022-6-2313 2、均匀量化和量化信噪功率比、均匀量化和量化信噪功率比 可以证明当信号可以证明当信号x(t)的幅值在的幅值在(-a , a)范围内均范围内均匀分布，概率密度函数为时，量化信噪比为：匀分布，概率密度函数为时，量化信噪比为：如果用分贝表示，则如果用分贝表示，则 当仿真是在用字长大于当仿真是在用字长大于32比特的通用计算机比特的通用计算机进行时，模拟进行时，模拟(实数值实数值)变量的数字表示仅引入很变量的数字表示仅引入很小误差，这时可以忽略量化误差。小误差
9、，这时可以忽略量化误差。 1121212222 QQNSqqdBkkQQdBNSkqq62lg202lg20lg20lg1022022-6-2314 3、非均匀量化、非均匀量化 与均匀量化相比，有两个突出的优点：与均匀量化相比，有两个突出的优点： 当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率密度密度( (例如语音例如语音) )时，非均匀量化器的输出端可以得时，非均匀量化器的输出端可以得到较高的平均信号量化信噪比；到较高的平均信号量化信噪比； 非均匀量化时，量化噪声功率的均方根值基非均匀量化时，量化噪声功率的均方根值基本上与信号采样值成比例。因此量化噪声对大、小本
10、上与信号采样值成比例。因此量化噪声对大、小信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信噪比。噪比。 2022-6-2315 4、数字压扩技术、数字压扩技术 有两种常用技术有两种常用技术 13折线折线A律压扩，它的特性近似律压扩，它的特性近似A87.6的的A律压扩特性。律压扩特性。 15折线折线律压扩，其特性近似律压扩，其特性近似255的的律压律压扩特性。扩特性。 13折线折线A律压扩技术各段落的斜率律压扩技术各段落的斜率 12345678 16168421 2022-6-2316y17868584838281810112816411613211814
11、12x斜率：1段162段163段84段45段26段17段1/28段1/4234567第8段未压缩2022-6-2317量化信噪比与输入信号间的关系曲线量化信噪比与输入信号间的关系曲线 -10-30-50-7010305070 x / dB/ dBSNq13 折线12位均匀编码2022-6-23183.5 随机过程的模型随机过程的模型 3.5.1 随机序列随机序列 定义：定义：当随机过程的参数集为离散集时，连续当随机过程的参数集为离散集时，连续变化的随机过程就成为随机序列变化的随机过程就成为随机序列 1、独立序列、独立序列 定义：定义：对于平稳随机序列对于平稳随机序列X(n)，当当 时，时，如果
12、如果X(k)和和X(k+j)是相互独立。是相互独立。 统计特性：统计特性： XnXE 000,2jjjnXnXEX 2XXXfP0j2022-6-2319 2、马尔可夫序列、马尔可夫序列 马尔可夫过程可以根据参数空间与状态空间马尔可夫过程可以根据参数空间与状态空间的离散与连续类型，将它分为以下四种类型。的离散与连续类型，将它分为以下四种类型。 参数参数状态状态1离散离散离散离散马尔可夫序列马尔可夫序列2离散离散连续连续马尔可夫序列马尔可夫序列3连续连续离散离散马尔可夫过程马尔可夫过程4连续连续连续连续马尔可夫过程马尔可夫过程2022-6-2320 马尔可夫序列特性马尔可夫序列特性 离散参数集，
13、离散状态集的马尔可夫过程离散参数集，离散状态集的马尔可夫过程 当当n=s+1时，转移概率被称为一步转移概率。时，转移概率被称为一步转移概率。 根据概率论的知识有：根据概率论的知识有： 1,2,1nXnXPknXnXnXnXP snasXanXPnspanXPnpijijii其中, Niijiinspspnp1,2022-6-2321 如果如果 ，则表明只和时间间隔有，则表明只和时间间隔有关，它的一步转移概率与马尔可夫序列出现时刻关，它的一步转移概率与马尔可夫序列出现时刻无关，这时就认为马尔可夫序列具有无关，这时就认为马尔可夫序列具有齐次特性齐次特性，故将此序列称为故将此序列称为齐次马尔可夫序列
14、齐次马尔可夫序列。 齐次马尔可夫序列一步转移概率用矩阵表示齐次马尔可夫序列一步转移概率用矩阵表示 snpnspijij,NNNNNpppppppp12222111211 NjNiakXakXPpijij1,1,12022-6-2322则有则有 111PkPkPkPkTT或者状态3状态1状态2p11 Bp21 Bp12 Ap22 Ap13 Cp31 Bp23 Cp32 Ap33 C状态转移图状态转移图 2022-6-2323超短波车载电台通信信道的模型超短波车载电台通信信道的模型 如果能够构造出状态数为如果能够构造出状态数为3 34 4个的马尔可夫信个的马尔可夫信道模型，就基本上能够接近实际信道
15、模型了。在信道模型，就基本上能够接近实际信道模型了。在信道仿真时，经常采用上述思路。道仿真时，经常采用上述思路。 状态3状态1状态210-5状态1：Pe1=10-60.9999810-510-310-310-210-20.9980.98状态3：Pe3=0.5；状态2：Pe2=10-22022-6-2324 3、自回归和滑动平均（、自回归和滑动平均（ARMA）序列序列 ARMA序列产生模型序列产生模型 X(n)为输入模型的已知序列，其概率密度函为输入模型的已知序列，其概率密度函数可以表示为数可以表示为 模型系统函数模型系统函数 自回归部分滑动平均部分NkkMrrknYarnXbnY10 222e
16、xp21XXfnX zAzBZaZbzHNkkkMrrr1012022-6-2325 ARMA模型产生的模型产生的Y(n)序列具有下列性质：序列具有下列性质： 为高斯序列，且均值为零；为高斯序列，且均值为零； 在平稳状态下，在平稳状态下，Y(n)序列的功率谱密度为序列的功率谱密度为 ARMA模型可退化成为模型可退化成为AR模型，其模型，其Y(n)随机随机序列产生模型为序列产生模型为 200222exp1expNkkMrrYkjarjbABP NkkknYanXnY12022-6-2326 AR模型产生序列的功率谱密度为模型产生序列的功率谱密度为 AR序列的自相关函数序列的自相关函数 即即 20
17、222exp1NkkYkjaABP NkYYkYYkmRamnXnYEmR1 NkYYkYYkmRamR1 210NkYYkYYkRaR2022-6-2327 产生产生AR序列的步骤如下：序列的步骤如下： 当给出所需要产生序列的功率谱密度时，当给出所需要产生序列的功率谱密度时，利用傅立叶反变换可以求得相关函数利用傅立叶反变换可以求得相关函数RYY(n)，代代上式计算模型的参数上式计算模型的参数ak； 将计算出的模型参数将计算出的模型参数ak代入模型，在零均代入模型，在零均值高斯白噪声序列值高斯白噪声序列X(n)的驱动下，产生所需要的的驱动下，产生所需要的Y(n)序列。序列。2022-6-232
18、8 4、M进制数字波形进制数字波形 波形模型波形模型 X(t)的一个样本函数如图所示的一个样本函数如图所示 nntnTtgAtX0l4l2l3l1t0TTt0tT1X(t)g(t)02022-6-2329 可以证明其自相关函数和功率谱密度函数分可以证明其自相关函数和功率谱密度函数分别分别为别分别为 ： 随机二进制波形，相关函数和功率谱密度随机二进制波形，相关函数和功率谱密度 ggkTkRTRkAAXX1 122cos20kAAAAXXkfTkRRTfGfPt0TTA-A0tT-TX(t) XXRf fPXX00T1T1T2T22022-6-23303.5.2 泊松过程泊松过程 1、泊松过程的概
19、念、泊松过程的概念 随机点随机点 ：T(n)为第为第n次呼叫发生的时间，其强度次呼叫发生的时间，其强度为为。 计数过程：计数过程：X(t)表示在时间段内随机点出现的个表示在时间段内随机点出现的个数，通常称之为伴随随机点过程的计数过程。数，通常称之为伴随随机点过程的计数过程。 X(t)具有如下特性：具有如下特性： 非负整数值；如果非负整数值；如果 ，则，则 ； 如果如果 ，则，则 24, 0 xnT21tt 21tXtX21tt 1221,tXtXttX2022-6-2331 增量过程：增量过程：在时间间隔在时间间隔 内随机点（事件）内随机点（事件）出现（或到达）的个数，称为增量。出现（或到达）
20、的个数，称为增量。 增量过程的独立性和平稳性增量过程的独立性和平稳性 独立性独立性：若在不相交时间区间内发生的事件个：若在不相交时间区间内发生的事件个数是独立的。数是独立的。 平稳性平稳性：若在任意时间区间内发生事件个数的：若在任意时间区间内发生事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称此计数过程具分布只依赖于时间区间的长度，则称此计数过程具有平稳增量特性。有平稳增量特性。 21,ttX21,tt2022-6-2332 泊松过程是一种特殊的计数过程，其定义如下。泊松过程是一种特殊的计数过程，其定义如下。 定义定义：设设X(t)， 为一计数过程，若满足为一计数过程，若满足下列条件下列条件 X(0
21、)=0，即零初值性；即零初值性； 增量平稳性或齐次性；增量平稳性或齐次性； 增量独立性；增量独立性； 对于足够小的时间，有对于足够小的时间，有 0ttOttXP1tOttXP10tOtXP22022-6-2333 可以证明满足上述四个条件的计数过程可以证明满足上述四个条件的计数过程X(t)，即被称为强度为即被称为强度为的泊松过程，的泊松过程，X(t)=k的概率可以的概率可以表示为表示为 2、泊松过程的数字特征与特征函数、泊松过程的数字特征与特征函数 均值函数均值函数 方差函数方差函数 均方值函数均方值函数 自相关函数自相关函数 , 2 , 1 , 0!kektktXPtk ttXEtm ttm
22、tXEt22 2222tttmttXE 212122121,min,ttt ttXtXEttRX2022-6-2334 3、泊松过程的到达时间和时间间隔的分布、泊松过程的到达时间和时间间隔的分布 到达时间到达时间(等待时间等待时间)的分布的分布 分布函数分布函数 概率密度函数概率密度函数 000!110ttekttFnktk 000!11ttenttftn2022-6-2335期望与方差期望与方差 到达时间间隔的分布到达时间间隔的分布 定理定理：计数过程为泊松过程的充要条件，是：计数过程为泊松过程的充要条件，是其事件到达时间间隔相互独立，且服从相同的指其事件到达时间间隔相互独立，且服从相同的指
23、数分布。即数分布。即概率密度函数概率密度函数 nEn 221nnEn 222nEEDnnn , 2 , 1 , 0!kektktXPtk 000ttetft2022-6-23363.5.3 高斯随机过程高斯随机过程 高斯过程是指它的任意高斯过程是指它的任意n维维(n1，2，)概率概率密度函数，可以表示为密度函数，可以表示为 相关系数矩阵的行列式，具体可以写为相关系数矩阵的行列式，具体可以写为 njnkkkkjjjjknnnnnmxmxttxxf1121121121exp21,;,11121221112nnnn kjkkjjjkmtXmtXE2022-6-2337重要性质：重要性质： n维分布完
24、全由数学期望、方差及两两之间的维分布完全由数学期望、方差及两两之间的相关函数所决定；相关函数所决定； 广义平稳的也是严格平稳的；广义平稳的也是严格平稳的； 互不相关，则统计独立；互不相关，则统计独立； 通过线性系统通过线性系统 。2022-6-23383.6 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 3.6.1 基本概念基本概念 如果加到线性系统输入端的是随机过程如果加到线性系统输入端的是随机过程X(t)的的某一样本某一样本x(t)，系统相应的输出为系统相应的输出为 1、输出过程、输出过程Y(t)的数学期望的数学期望 dhtxthtxty 0HmdhmdhtXEdhtXEtYExx2022-6
25、-2339 2、输出过程、输出过程Y(t)的自相关函数的自相关函数 （平稳）（平稳） 3、输出随机过程、输出随机过程Y(t)的功率谱的功率谱 4、输出过程的概率分布、输出过程的概率分布 只有在输入过程是高斯分布时才有可能计算只有在输入过程是高斯分布时才有可能计算出来。出来。 XXYPHPHHP22022-6-23403.6.2 窄带随机过程窄带随机过程 窄带的假设窄带的假设：其频谱均被限制在：其频谱均被限制在“载波载波”或某或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离开零频率又相当远。其包络和相位在作缓慢随机变开零频率又相当远。其包络和相位在作缓
26、慢随机变化化 Offfcf(a)tO频率近似为 fc(b)-fc tn缓慢变化的包络 fP2022-6-2341表示法一：表示法一： 表示法二：表示法二： nc(t)和和ns(t)特性：特性： 平稳的高斯过程；平稳的高斯过程； Enc(t)Ens(t)0 ， ； 不相关且统计独立的。不相关且统计独立的。 0,costttttnc ttnttntttttttncsccccsincossinsincoscos222nsncn2022-6-2342 根据根据nc(t)和和ns(t)的特性，可以得到它们的联合的特性，可以得到它们的联合概率密度函数概率密度函数 22222exp21,nscnscscnnnfnfnnf,scscnnnnff22222222exp22exp2,nnnscnscnnnnff2022-6-2343 02exp2exp2,22220222nnnnddff 20212exp2,0222ddffnn包络服从瑞利分布包络服从瑞利分布相位服从均匀分布相位服从均匀分布 2022-6-2344
