1、9.2空间的平行直线与异面直线（二）异面直线及其夹角一、复习一、复习1. 填空：填空：平行于同一条直线的两条直线，平行于同一条直线的两条直线，此结论又叫做空间平行直线的；此结论又叫做空间平行直线的；如果一个角的两边和另一个角的两边如果一个角的两边和另一个角的两边并且，那么这两个角相等；并且，那么这两个角相等；如果空间图形如果空间图形F的所有点都沿同一方向的所有点都沿同一方向平移相同的距离到平移相同的距离到F的位置，则称图形的位置，则称图形F在空在空间作了一次，等角定理说明了角平移后间作了一次，等角定理说明了角平移后大小；大小；顺次连结的四点顺次连结的四点A、B、C、D所所组成的四边形叫做空间四
2、边形，相对顶点组成的四边形叫做空间四边形，相对顶点A与与C、B与与D的连线叫做这个空间四边形的的连线叫做这个空间四边形的.2. 已知棱长为已知棱长为a的正方体的正方体ABCDABCD中，中，M、N分别为分别为CD、AD的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形MNAC是梯形。是梯形。NMCDBADABC二、异面直线1. 定义：不同在任何一个平面内的两条直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。叫做异面直线。注意：注意：“不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内”，指，指这这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交也不平行；不能把异面
3、异面直线既不相交也不平行；不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线。为异面直线。2.画法画法ab(1)ab(2)ab(4)lba(3)三、异面直线的判定1. 思考：如图所示，已知直线AB与平面相交于点B，点A在外，直线L在内但不过点B，试判断直线AB与直线L的位置关系？?l?A?B2.异面直线判定定理异面直线判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。面内不经过该点的直线是异面直线。ACBBAABC异面直线所成的角的定义aMba1b1 直线a,b是异面直线，经过空间任意
4、一点o，分别引直线a1a, b1b, 我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐角是否相等？ 点o常取在两条异面直线中的一条上aMbo点o常取在两条异面直线中的一条上 相交直线所成角的大小，就是异面直线所成角的大小相交直线a,b所成的角？异面直线
5、所成的角？异面直线所成的角的范围？0090四、异面直线的夹角 已知两条异面直线已知两条异面直线a、b，经过空间任一，经过空间任一点点O作直线作直线a/a，b/b，由于，由于a和和b所成的角所成的角的大小与点的大小与点O的选择无关，我们把的选择无关，我们把a与与b所成所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）（注意：两条异面直线夹角（或夹角）（注意：两条异面直线夹角的的范围是范围是090）一般来说，一般来说，O O点要取在其中一条异点要取在其中一条异面直线上，或是题目条件中某一直面直线上，或是题目条件中某一直线上的一些特殊点，如中点。线上的一些特殊
6、点，如中点。 OO点的取法：点的取法：a ab ba ab ba1O O返回 A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 判断每对异面直线所成的角是多少？判断每对异面直线所成的角是多少？1。 A1B与与D1C12。 A1B与与C1C3。 A1B与与CD4。 A1B与与C1D6。 B1B与与AD7。 A1B与与B1C5。 A1B与与B1D1 45454590609060帮助解答五、两条异面直线互相垂直如果两条异面直线所成角是直角，则称两如果两条异面直线所成角是直角，则称两条异面直线互相垂直。条异面直线互相垂直。ACBBAABCa ab bb b1 1a a1
7、1O O若若a a1 1,b,b1 1所成的角为直角，也就是说异面所成的角为直角，也就是说异面直线所成的角等于直线所成的角等于9090时，称：时，称：两异面直线互相垂直两异面直线互相垂直思 考1、和一直线垂直的直线有几条？返回2 、互相垂直的直线一定相交吗?3、垂直于同一直线的两直线平行吗？ 若若abab，bcbc，则，则a a，c c的位置关系是什么？这样的的位置关系是什么？这样的b b有几条？请同学们合作，用笔有几条？请同学们合作，用笔比量一下。比量一下。 若若a,ca,c是异面直线，是异面直线，abab，bcbc，b b与与a,ca,c都相交，都相交，这样的这样的b b又能有几条？请同学
8、又能有几条？请同学们试一下。们试一下。 a,c可以平行、相交或异面，满可以平行、相交或异面，满足条件的足条件的b有无数条。有无数条。例题如图，在正方体例题如图，在正方体AC中，问：中，问：哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BA是异面是异面直线？直线？求直线求直线BA与与CC的夹角的度数；的夹角的度数；哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA垂直？垂直？DCBADABC课堂练习：课堂练习：1. 异面直线是指（）异面直线是指（）A.空间中两条不相交的直线空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的直线分别位于两个不同平面内的直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线平面内的一条直线
9、与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线2.两条异面直线所成的角指的是（）两条异面直线所成的角指的是（）两条相交直线所成的角；过空间任一两条相交直线所成的角；过空间任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角；过其中一条上的一点所成的锐角或直角；过其中一条上的一点作与另一条平行的直线，这两条相交直线所作与另一条平行的直线，这两条相交直线所成的锐角或直角；两条直线既不相交也不成的锐角或直角；两条直线既不相交也不平行，无法成角平行，无法成角 A.B.C.D.3.若直线若直线a/b，c与与a所成的角为所成的
10、角为，则，则c与与b所成的所成的角为（）角为（） A.B.C.不是不是D.不是不是4.若若a、b是异面直线，是异面直线，b、c也是异面直线，也是异面直线，则则a、c的位置关系是（）的位置关系是（）A.相交、平行或异面相交、平行或异面B.相交或平行相交或平行C.异面异面D.平行或异面平行或异面5. 如图，在长方体如图，在长方体ABCDABCD中：中：哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA成异面直线成异面直线且互相垂直？且互相垂直？已知已知AB 3，AA1，求异面直线，求异面直线BA与与CC所成角的度数。所成角的度数。DCBDABCA6.已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长的棱长为为1
11、，求异面直线，求异面直线BD与与BC所成的角所成的角.DCBADABC7.已知正方体已知正方体ABCDABCD的棱长的棱长为为a，E、F分别为分别为BB、CC的中点，求的中点，求AE与与BF所成角的余弦值。所成角的余弦值。FEDDCBAABC已知空间四边形已知空间四边形ABCD两对角线两对角线互相垂直，且互相垂直，且AC=6，BD=8，E、G分别是分别是AB、CD上的中点，求线上的中点，求线段段EG的长度。的长度。A AB BC CE EG GD DF F练习如何体现两对角线互相垂直？如何体现两对角线互相垂直？思路思路：两对角线互相垂直，即他们所成两对角线互相垂直，即他们所成的角为直角，应把这
12、个角作出的角为直角，应把这个角作出又又E E、G G是是ABAB、CDCD的中点，考的中点，考虑作虑作ADAD的中点的中点F F，利用中位线，利用中位线EFEF、GFGF组成三角形组成三角形EFGEFG进行计进行计算。算。解：取解：取ADAD中点中点F F，连结，连结EFEF，FGFG，则，则EFEF是是 ABDABD的中位线，的中位线，FGFG是是 ADCADC的中位的中位线。线。A AB BC CE EG GD DF F EFBD FGAC EFBD FGAC， EFGEFG为异面直线为异面直线ACAC、BDBD所所成的角。成的角。BD=8,AC=6 EF= 4, FG=3 BD=8,AC=6 EF= 4, FG=3 又又ACAC垂直垂直BD BD EFG=90EFG=90 在在RtRtEFGEFG中，中，5432222FGEFEG解解答答课堂小结：1. 异面直线的概念。异面直线的概念。2. 异面直线的判定定理：连结平面内一点与异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。此点的直线是异面直线。3. 异面直线夹角的概念。异面直线夹角的概念。4. 异面直线垂直的概念。异面直线垂直的概念。
