离散付里叶变换课件.ppt

1、第八节DFT的应用引言 DFT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。 归 结 起 来, 有两个大方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换 的近似. FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的 一 种高速算法，虽实际 中广泛使用的是 FFT, 但 其应用的理论基础仍是 DFT. 通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅里叶逼近这两种DFT应用,就可以说我们建立了一 般 FFT 应用的基本理论基础.应用方面 一、采 用 DFT 办 法 求 解 线 性 卷 积。二、采 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶

2、 变 换 (级 数) 一、采用DFT办法求解线性卷积（1）引入 ？：若做卷积的两序列都是有限长序列,能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢?即圆周卷积与线性卷积的关系是什么?线性时不变系统h(n)y(n)=x(n)*h(n)x(n)（2）定理 设 有 限 长 序 列x1(n) 0nN1-1, x2(n) 0nN2-1 我 们 把x1(n)、 x2(n)补零点 至 N 点, N max(N1, N2).12121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Lx nx ny nx nx nx nx nynx nx n c与的圆卷积:与的线卷积:(注 意: yc(n)

3、 是 N 点 序 列, yL(n)是L=N1+N2-1点序列)只要经过简单的推导当N L,就会得到yc(n)与yL(n)的关系定理()()()cLLrynynrNRn 1212( )( )( )( )( )( )Lcy nx nx nx nx ny n （3）圆卷积代替线卷积的实现方法 设 x(n) 是 激 励, 是0nN1-1 的 有 限 长 序 列;h(n)是线性时不变系统的系统函数(冲激响应),是0nN2-1的有限长序列; y(n)是激励通过系统后的响应,即 y(n)=x(n)* h(n). 选好圆卷积点数L（L N1+N2-1）圆卷积L点圆周延拓，再取主值线性卷积 设L为圆卷积点数:

4、上图依据的是圆周卷积定理,做的是圆周卷积.然而由于L选取符合条件, 因而结果是与 线性卷积结果一致的. L点DFTh(n)L点DFTL点IDFTx(n)y(n) 取L N1+N2-1情况下,圆周卷积代替线性 卷积的实 际 实 现 的 框 图 如 下二、用DFT逼近连续时间信号的付里叶变换（级数） 我 们 知 道 DFT 的 最 初 引 入 就 是 为 了 使 数 字 计 算 机 能 够 帮 助 分 析 连 续 时 间 信 号 的 频 谱 DFT 的 快 速 算 法 - 快 速 傅 里 叶 变 换 (FFT) 的 出 现 使 得DFT这种分析 方 法具有实用价值和重要性. 我 们 这 里 将 简

5、 单 的 讨 论 逼 近 的 方 法 和 同 时 产 生 的 问 题.讨论内容 1、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换。 2、用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数。 3、用DFT逼近有限长信号的傅里叶变换。 4、用DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的 问 题。1、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换 在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 是连续非周期性的频谱函数， 数 字 计 算 机难 于 处 理 的, 因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近.（1）分析 设:对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔 为 T

6、 (时域);对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样,频域抽样间隔为 F(频域). 又因时域抽样时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽样的频率值,即频域周期频域周期Fp = 1/ T=fs; 从频域抽样频域抽样理论可知：频域抽样后对应时域时域按频域抽样间隔的倒数周期延拓周期延拓, 即时域周期 Tp = 1/F. 对无限长的信号计算机是不能处理的,必须对时域与 频域做截断,若时域取N点,则频域至少也要取N点. (参见频域抽样不失真条件). 我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示:连续时间非周期信号的付里叶变换对 连续时间非周期信号x(t)的付里叶变换为dtejXtxdtetxjXtjt

7、j)(21)()()(（2)时域的抽样与截断nnTtnTtnTxtxnTxnx)()()()()(其频谱为：时域抽样：nnTjTenTxjx)()(nTdtnTTndtTdtnTt) 1(10()()NjnTnXjx nT eT 再进行时域截断：截断后序列的长度内包含有N个抽样点。其频谱为：10)()()(NnnTtnTxnx可见：时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域限带信号，则有可能不产生混叠，成为连续周期频谱序列，其频域周期为Fp=fs=1/T.(3)频域的抽样与截断NTNfFs10频域也进行抽样，在频域的一个周期fs内中也抽N个样点0NFfFsp其

8、中F0为频域抽样间隔第k个抽样点频率为：002 Fkk则NT20 100000)1(Nkdkkd截断00100210( )()()()( ) ( )NjknTkkNjknNkX kX jkX jx nT eTTx n eT DFT x n 频域抽样,截断：1020010000)(2)(21)(21)()(0NknkNjNknTjksnTjejkXejkXdejXnTxnx同时，由于频域抽样、截断，导致时域周期延拓.)(1)()(1)(001020010200jkXIDFTTjkXIDFTfejkXNNFejkXFsNknkNjNknkNj)(1)()()()()()(000jkXIDFTTtx

9、nxnxDFTTjXjkXkXnTtk结论：（4）由对连续非周期信号进行频域抽样就推出DFT变换式 把 后 两 式 进 行 从 连 续 域 到 离 散 域 的 必 要 的 处 理, 如 令 T=1 等, 就 得 到 了 我 们 熟 悉 的 DFT 变 换 对 定 义 式. 102102)(1)()()(NknkNjNknkNjDFTekXNnxDFTenxkX的反变换）（的正变换）（5）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论1 从 以 上 分 析, 特 别 是 最 后 得 出 的 两 式, 不 难 看 出 ： 如 果 用 DFT 定 义 式 去 计 算 一

10、个非 周 期 的 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 则 频 谱 的 正 常 电 平 幅 度 与 用 DFT 算 得 的 频 谱 幅 度 相 差 一 个 加 权 - T. 102)()()(NknkNjnxDFTTenTxjX即：（6）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论2 同 理, 用 IDFT 定 义 式 去 计 算 一 个 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 反 变 换, 则 需 再 加 权 一 个 N * F0 = fs. 由 于 fs = 1 / T, 所 以 一 个 时 间 信 号 从 时 域 到 频 域 再 到 时 域 的 整 个 变 换 过

11、程 中, 电 平 幅 度 并 未 受 到 影 响.（7）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换注意点 用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 过 程 中 除 了 对 幅 度 的 线 性 加 权 外, 由 于 用 到 了 抽 样 与 截 断 的 方 法, 因 此 也 会 带 来 一 些 可可 能能 产产 生生 的的 问问 题题 (如如 : 混混 叠叠 效效 应应, 频频 谱谱 泄泄 漏漏, 栅栅 栏栏 效效 应应 等等). 2、用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数 在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 周 期 信

12、号 的 傅 里 叶 级 数 是 数 字 计 算 机 所 难 于 处 理 的, 因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近.（1）用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的分析 连 续 周 期 信 号 的 时 域 是 连 续 的, 频 域 是 离 散 的. 若 用 DFT 逼 近, 则 先 要 对 时 域 抽 样 (抽 样 间 隔 为 T), 然 后 截 断 取 N 点 序 列 (类 似 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 傅 里 叶 变 换 中 的 抽 样 与 截 断, 下 同) . 这 将 导 致 频 域 周 期 延 拓。复习：连续周期时间信号的

13、付里叶级数对 其中T0为连续周期时间信号的周期。0002/2/0002)()()(1)()()(0000TejkXtxdtetxTjkXjkXtxktjkTTtjk条件：正变换：反变换：（2）对连续周期信号进行时域抽样时域抽样DFTN110201001000)(1)()()(1)()(00NknkNjNnnTjkNnnTjkenxNkXNTTenTxTTTenTxTjkXkX0010,)1(,)()()(TNnnTtTdtTnTTndtnTttxnTxnx设一个周期内的采样点数为N点，则)(1nxDFTN（3）对连续周期信号频域频域进行截断截断 然 后 再 对 频 域 进 行 截 断, 若 截

14、 断 后 有 限 长 序 列 长 度 正 好 是 一 个 周 期 (或 是 其 整 数 倍), 则10020100()(1)()()(0NkknNjNknTjkjkXIDFTNejkXNNejkXnTxnx（4）用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的结论 从 上 面 得 到 的 公 式 可 以 看 出, 利 用 DFT 去 求 一 个 连 续 周 期 信 号 的 DFS与 正 常 级 数 之 间 相 差 加 权 1/N. 同 理, 以 IDFT 计 算 的 傅 里 叶 级 数 反 变 换 与 正 常 值 相 差 加 权 N. 所 以 一 个 时 间 信 号 从 时

15、 域 到 频 域 再 到 时 域 的 整 个 变 换 过 程 中, 电 平 幅 度 并 未 受 到 影 响.)()()()(102kXIDFTNekXnTxtxNknkNjnTt)(1)(1)(1020nxDFTNenxNjkXNknkNj（5）用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的注意点 逼近值除了加权差别外,还有如下特别注意处: DFT逼近周期信号的DFS中,曾设频域的截断长度为曾设频域的截断长度为其周期的整数倍其周期的整数倍. 如果截断长度不等于周期的整数倍,则会造成离散和连续傅里叶变换之间出现显著差异,而不 是只相差一个加权因子. 另外当长度不是周期 的整

16、数倍时,时域会表现为有间断点的周期函数,频域表现为频谱泄漏成分增大. 由于DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 过 程 中 用 到 抽 样 与 截 断, 因 此 还 会 带 来 一 些 可 能 产 生 的 问 题 (如: 混 叠 效 应, 频 谱 泄 漏, 栅 栏 效 应 等). 3、用 DFT 逼 近 有 限 长 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 对 于 有 限 长 的 时 域 信 号, 其 傅 里 叶 变 换 的 频 域 必 然 是 无 限 带 宽 的. 因 而 这 种 信 号 抽 样 后 频 域 的 混 叠 是 不 可 避 免 的. 混 叠 的 大 小 由 频 谱 高 频 分 量

17、 衰 减 的 速 度 决 定: 衰 减 越 快 混 叠 越 小. 如 果 选 择 N 小 于 长 度 有 限 的 函 数 的 样 本 点 数, 则 误 差 仅 由 混 叠 效 应 造 成. 选 抽 样 间 隔 T 足 够 小, 可 减 少 这 种 效 应 所 引 起 的 误 差. 在 这 种 情 况 下, DFT 变 换 的 计 算 值 和 连 续 傅 里 叶 变 换 的 样 本 值 将 很 好 的 一 致 (相 差 一 个 系 数).4、用 DFT 做 傅 里 叶 变 换 (级 数) 的逼 近 时 所 产 生 的 问 题 为 了 能 在 数 字 计 算 机 上 分 析 连 续 信 号 的 频

18、 谱, 常 常 用 DFT 来 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 但 同 时 也 产 生 以 下 问 题: （1）混 叠 现 象 （2）频 谱 泄 漏 （3）栅 栏 效 应（1）混 叠 现 象 利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ,为 避 免 混混 叠叠 失失 真真, 要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则奈奎斯特准则： fs2fh 其中fs为抽 样 频 率 , fh 为信号最高频率.但此条件只规定出fs的下限为fh , 其上限要受抽样间隔 F0的约束. 抽抽 样样 间间 隔隔 F0 即 频频 率率 分分 辨辨 力力, 它是 记记 录录 长

19、长 度度的 倒 数, 即 T0 = 1 / F0 若 抽 样 点 数 为 N, 则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系 为 F0 = fs / N 2fh /N混 叠 现 象的结论 由F0 = fs / N 2fh /N 看出： 在 N 给 定 时, 为 避 免混 叠 失 真 而 一 味 提 高 抽 样 频 率 fs , 必 然 导 致 F0增 加, 即 频 率 分 辨 力 下 降; 反 之, 若 要 提 高 频 率 分 辨 力 即 减 小 F0, 则 导 致 减 小fs, 最 终 必 须 减 小 信 号 的 高 频 容 量. 以 上 两 点 结 论 都 是 在记录长度内抽样点数 N 给 定

20、 的 条 件 下 得 到 的. 所 以 在 高 频 容 量 fh 与 频 率 分 辨 力 F0参 数 中, 保 持 其 中 一 个 不 变 而 使 另 一 个 性 能 得 以 提 高 的 唯 一 办 法, 就 是 增 加 记 录 长 度 内 的 点 数 N, 即 fh 和 F0都 给 定 时, 则 N 必 须 满 足 N 2fh /F0 这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算法所必须满足条件。例子 有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力10Hz (2) 信号的最高频率4kHz试确定以

21、下参量：（1）最小记录长度T0；（2）抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数N。 解：（1）由分辨力的要求确定最小记录长度T0.T0=1/F0=1/10=0.1(s)故最小记录长度为0.1秒。（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T. fs2fh, T=1/fs 1/2fh=0.125*10-3 (s)(3)最小记录点数N，它应满足N2fh /F0=800该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。（因为N=29=512点不够）作业第134页，13、14题。（2）频 谱 泄 漏 在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔之内，即采取截断数据的过程。 时域的截

22、断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数,使原连续时间函数成为两端突然截断,中间为原信号与窗函数相乘的结果. 时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积.由于窗函数不可能取无限宽,即其频谱不可能为一冲激函数,信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象.造成 频谱泄漏. 所 以 在 截 取 (即 在 窗 函 数 的 选 取) 时, 应 尽 量 选 择 适 当 形 状 的 窗 函 数 对时域信号进行截断, 使频谱泄漏最小. 频 谱 泄 漏注 意 点 由于我们无法取无数个点，所以在DFT时，时域的截断是必然的，因而泄漏也是必然存在的。 为了减少频率泄漏可采用： （1）适当加大窗口宽度，增加M值； （2

23、）采用适当形状的窗函数截断 指出：泄漏是不能与混叠完全分开的。例子 设信号为x(n)=1/（2）,经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数前后的频谱函数。 解：设信号经过矩形窗函数后的信号为x1(n),矩形窗函数为W(n),其频谱函数为X1(ejw) x1(n)=x(n)W(n) 时域相乘 X1(ejw)=X(ejw)*W (ejw) 频域卷积很明显： X1(ejw) X(ejw) 相当于X(ejw)失真，这种失真是由于X(ejw)的频谱泄漏引起，其现象为“拖尾”（扩展现象），称之频谱泄漏。因为X(ejw)=(w),矩形窗函数2sin2sin)()21(wMweeWMjwjw处。处“泄漏”到其

24、他频率即频谱成分从形状的连续频谱。（变成了为中心的一根谱线是以（看出这样由02sin2sin)0),()(*)(2sin2sin| )(|1wwMweXwweXeWeXwMweWjwjwjwjwjwwX(ejw)X1(ejw)w产生泄漏（3）栅 栏 效 应 利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 其 频 谱 将 不 再 是 连 续 函 数 而 是 基 频 F0 的 整 数 倍。 用 DFT 计 算 频 谱, 就 如 通 过 一 个 栅栏观 看 一 个 景 色, 只 能 在 离 散 点 的 地 方 看 到 真 实 的 景 象, 从 而 产 生 栅 栏 效 应.

25、如 果 在 两 离 散 的 谱 线 间 频 谱 有 很 大 变 化, 不 作 特 殊 处 理, 则 无 法 将 其 检 测 出 来.减 小 栅 栏 效 应方 法 减 小 栅 栏 效 应 的 一 个 方 法 是 在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点, 使 一 个 周 期 内 点 数 增 加, 但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据. 这种方法 等 效 于 加 长 了 周 期 T0 . 因 公 式 F0 = 1/ T0 (F0是 抽 样 间 隔). T0 增 加, 抽 样 间 隔 变 小, 从 而 能 保 持 原 来 频 谱 形 式 不 变 的 情 况 下 使 谱 线 变

26、 密, 也 就 使 频 谱 抽 样 点 数 增 加. 这 样, 原 来 看 不 到 的 频 谱 分 量 就 有 可 能 看 到 了.补零加长使谱线细化 在DFT与Z变换的关系一节中,我们也曾从另一角度阐明时域补加零值点后对频域的影响。下图从 该角度解释这一现象的.补零加长谱线细化减 小 栅 栏 效 应 注 意 点 补 加 零 点 以 改 变 周 期 时, 所 用 窗 函 数 宽 度 却 不 能 变, 亦 即 必 须 按 数 据 记 录 原 长 来 选 择 窗 函 数, 而 不 能 按 补 了 零 值 点 后 的 长 度 来 选 择 窗 函 数. 通 俗 地 说, 就 是 应 先先 加加 窗窗,

27、 再再 补补 零零.例子 画出x(n)=1, 0 n 3, x(n)=0, 其它n时的4点DFT，8点DFT，16点DFT图形。（4）频率分辨力 一般来说，信号长度Tp越长，即N越大，则分辨力越好，但是这个长度Tp是指真正实际的信号长度，抽样点数抽样点数N也是指这个长度上的抽样点数，而不是补零后的长度或抽样点数。11spfFNNTT Tp是信号长度（真正信号的长度），所以说频率分辨力与信号实际长度成反比，信号越长（Tp越大），其分辨力（F0越小）。0设原数据长度T01，抽样点数N1，补零后的数据长度T02，抽样点数N2，则011011TNfFs022021TNfFs例子看出：N2N1, 故F0

28、2F01。故认为补零后，频率分辨力提高了，这是错误的。因为：补零不能增加数据的有效长度，上面实际数据的有效长度仍为T01（有效抽样点数为N1），因而补零是不能提高频率分辨力的。补零的好处（1）可使X(ejw)的抽样更密，即对X(k)取中间的插值，可克服栅栏效应；（2）使N为2的整数幂值，便于FFT计算。作业参看程佩青的光盘中第三章的由连续付里叶变换引出DFT的测验题第九节序列的抽取与插值引言 前面抽样频率fs为固定的抽样频率。 现讨论抽样频率的变换问题，系统工作在“多抽样率多抽样率”情况下。 例如：多种媒体如语言、视频、数据的传输等，它们的频率很不相同，抽样率自然不同，必须实行抽样率的转换；

29、又如：为了减少抽样率太高造成的数据冗余，有时需要降低抽样率； 再如：两数字系统的时钟频率不同，信号要在此系统中传输时，为了便于信号的处理、编码、传输和存储，则要求根据时钟频率对信号的抽样率加以转换，等等。 上面的各种应用都要求转换抽样率，或者要求系统工作在多抽样率状态。 “多抽样率数字信号处理”的重要性逐渐显现出来，使它成为数字信号处理的一个重要内容。实现抽样率转换的方法 以往把离散时间信号(序列)x(n)经过D/A变换器变成模拟信号x(t),再经A/D变换器对x(t)以另一种抽样率抽样。但是，经过D/A和A/D变换器都会产生量化误差，影响精度。 我们采用直接在数字域对抽样信号直接在数字域对抽

30、样信号x(n)作作抽样频率的变换抽样频率的变换，以得到新的抽样信号新的抽样信号。抽取、插值概念 减少抽样率的过程称为信号的“抽取抽取” 也称为“抽样率压缩抽样率压缩”。 增加抽样率增加抽样率的过程称为信号的“插值插值”，亦称为“抽样率扩张抽样率扩张”。 二者即为信号时间尺度变换时间尺度变换。 抽取和插值有时是整数倍整数倍，有时是有理有理分数倍分数倍的。抽取和插值是多抽样率数字信号处理的基本环节基本环节。复习1、连续时间信号的尺度变换其付里叶变换)(1)()()(ajXaatxjXtxFTFT 2、连续时间信号付里叶变换与抽样后信号的付里叶变换的关系 kkkksFTFTTjkjXTjkjXTnT

31、xjXtx）频域周期延拓时域抽样2(1(1)()()(一、序列的抽取 当信号的抽样数据量太大时，可以在每D个抽样中取出一个，或说每隔每隔D-1个抽样个抽样取出一个取出一个，以便减小数据量，D是整数是整数，称为抽样因子抽样因子，这样的抽取，称为整数称为整数倍抽取。倍抽取。例子 模拟信号xa(t),序列为x(n),其抽样时间间隔为T1，抽样频率为：111Tfs 再进行整数倍（D）抽取，抽取后的序列是xd(n),其抽样时间间隔为T2，抽样频率为fs2,由于是D个抽样取一个，所以有：DffDTTss1212t)(txan)(nxn)(nxd123TT原信号采样后的信号x(n)=xa(t)|t=nT抽取

32、后的信号xd(n) (D=T2/T1=3)1、抽取过程对频域产生的影响用连续信号抽样的概念来直观地讨论抽取过程对频域所产生的影响.如果令序列x(n),xd(n)所对应的模拟信号为xa(t),它们各自满足以下的付里叶变换关系；）jweXnx()()()(jXtxaa）jwddeXnx()(可得序列的付里叶变换与连续信号付里叶变换的关系：TjkjXTkTjjXTeXeXksakaTjjw)(1)2(1)(11111）)2(1(11kajwkTwjXTeX）)2(1)2(1)(11222kakaTjjwdkDTjXDTkTjXTeXeX）)( jXaxa(t)信号的频谱0 x(n)信号的频谱0 xd

33、(n)信号频谱hhTwhh011T2211DTwhw2)(jweX)(jwdeXhhDwhhDww2、抽取器框图其中 D表示抽样率降低为原来的1/D，即表示抽取器。抽取器D)(nxd)(nxD)(nxd)(nx等效于从图看出： 时域抽取得愈大，即D愈大，或抽样率愈低，则频域周期延拓的间隔愈近，因而有可能产生频率响应的混叠失真。 所以，对x(n)不能随意抽取，只有在抽取之后的抽样率仍满足抽样定理满足抽样定理要求时，才不会产生混叠失真，才能恢复出原来的信号，否则必须采取另外的措施。例子 例如，在抽取器之前加上防混叠的滤波器。即：把序列x(n)先通过数字低通滤波器H(ejw)，使信号的频带限制在：以

34、下，得到Y(ejw).然后进行抽取得到Xd(ejw).22sh(n)H(ejw)(nxd)(nx抽样)(txD)(ny)( jX)(jweX)(jweY)(jwdeX抽取过程框图hh)( jXahwhw22wwcwcwcwcw0000ww222cDwcDw)(jweX)(jweY)(jwdeX)(jweH3、序列域的直接抽取-其频谱间的关系（2）然后 去掉零值点 得到抽取抽取序列xd(n)。如图所示。（3）（1）将x(n)序列 进行脉冲抽样 得到xp(n)）jweXnx()(）jwddeXnx()(已知：求：）关系jwdjweXeX( )(npn)(nxn)(nxp0n)(nxd序列x(n)抽

35、样序列p(n)已抽样序列)(nxp抽取序列)(nxd（1）直接抽取过程 直接抽取：即序列的脉冲串抽样序列的脉冲串抽样问题。)(nx)(nxp)(np（2）脉冲串脉冲串p(n)的时频表示的时频表示）（1)()(kkDnnp即：每D个抽样中取一个抽样。)2()()(10)2(DnknDjenpkPP(n)其为离散周期序列(周期为D个点），其频域为付里叶级数表示：)3()(1)(10)2(DkknDjekPDnp即： 1)()()(10)2(10)2( DnknDjDnknDjkenekDnkP(2)式中，用(1)式和(3)代入 1)()()( DFSkDFSkDnkPnp 再研究p(n)的付里叶变

36、换的付里叶变换P(ejw). 把周期序列表示成频域中的冲激周期序列表示成频域中的冲激，那么周期序列p(n)也可以付里叶变换表达式。 p(n)的付里叶变换P(ejw)为：1010)(2)2()(2)(DksDkjwkwwDDkwkPDeP 一个周期序列的付里叶变换P(ejw)，可以直接从它的离散付里叶级数系数P(k)得到。式中是ws=2/D抽样频率.( ),0,1,2,.1()( )0px nnkD kDDxnn 亦为整数其他（3）抽样后的序列xp(n)时频表示20)()()(21)(deXePeXwjjjwp即：抽样过程在时域上就是相乘，即kpkDnkDxnpnxnx)()()()()(在频域

37、就是卷积关系为（5）抽样后序列xp(n)的频谱代入式中可得抽样后序列xp(n)的频谱Xp(ejw)为将上面求得的式子10)(2)(DksjwkwwDeP10)()(1)()(21)(DkkwwjjwjwjwpseXDePeXeX（6）X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的关系 为了确定抽取后在频域的效果，求xd(n)的付里叶变换Xd(ejw)和X(ejw)之间的关系.xp(n)和x(n)在D的整数倍上的值都是相等的，可等效为由下图可知：)()(Dnxnxd)()(Dnxnxpd)(npn)(nxn)(nxp0n)(nxd序列x(n)抽样序列p(n)已抽样序列)(nxp抽取序列)(nxd

38、Xd(ejw)表示为:kjwkpkjwkdjwdeDkxekxeX)()()(令n=Dk或k=n/D,就可得的整数倍为DnDnjwpjwdenxeX)()(Xd(ejw)表示为:()wjjwDdpXeXe （当n不为D的整数倍时)()()(DwjpnDnjwpjwdeXenxeX又因为0)(nxp10)()(1)()(21)(DkkwwjjwjwjwpseXDePeXeX)(jweX原信号的频谱0）jweP(ww0)(1jwpeXhww22hwhw22hw11Dswsw0wsw 22sw11Dsw2sw2)(2jwpeX)(jwdeXwhw22hw看出: (1)已抽样序列xp(n)和抽取序列x

39、d(n)的频谱差别频谱差别在频率尺度频率尺度上不同。 (2)原来的频谱X(ejw)限带，则Xp(ejw)中不存在频率响应的混叠失真。抽取的效果使原序列的频谱带宽扩展。 （3）为避免在抽取过程中发生频率响应的混叠失真，原序列x(n)的频谱X(ejw)就不能占满整个频带(0). （4）减抽样：减抽样：如果序列能够抽取而又不产生频率响应的混叠失真，其原来的连续时间信号是过抽样，使原抽样率可以减小而不发生混叠，此抽取的过程称之减抽样减抽样。二、序列的插值 将x(n)的抽样频率fs增加I倍，即为I倍插值结果。 最简单的整数倍插值方法：在已知的相邻抽样点之间插入(I-1)个抽样值，但由于这(I-1)个抽样

40、值并不是已知的，所以这个问题比整数倍抽取看起来要复杂一些。理论上说，和抽取时一样。（1）将序列: x(n)=xa(nT1)进行D/A变换得到原来的连续时间信号xa(t)。（2）再对xa(t)作较高抽样率的抽样得到 x1(n)=xa(nT2), T1=IT2 式中I是大于1的整数，称为插值因子插值因子。但是这样做是不经济的，因此，我们都是在离散时域进行插值。1、整数倍（I倍）插值的方法 整数倍（I倍）插值的方法：（1）在已知抽样序列x(n)的相邻两抽样点之间等间隔地插入(I-1)个零值点零值点（2）然后进行数字低通滤波，即可求得I倍插值的结果。2、整数倍（I倍）插值的框图图中I表示在x(n)的相

41、邻抽样点间补（I-1）个零值点，也就是它表示零值插值，称为零值插值零值插值器器.x(n)经零值插值器后得到xp(n),再经数字低通滤波(抗镜像滤波器）得到I倍插值的结果x1(n).I)(nx)(nxp)(1nx)(nh3、插值过程=抽取过程的逆过程 插值过程可以看成抽取过程的逆过程。(0,2 ,( )0pnxnIIxnIn ）为其他值 由下图可知，通过插值和数字低通滤波器后，这些插值的零点将不再是零，从而得到插值后的输出x1(n)。(a)原信号x(n)及其频谱X(ejw)(jweX原信号的频谱wn)(nx原信号x(n)000)(jwpeXw插入零值后信号的频谱0)(nxpn插值后信号频谱(b)

42、插入零值点后的信号及其频谱0( )bx nn插值后信号0)(jwbeXw插值后信号频谱(c)插值后的信号及其频谱三、比值为有理数的抽样率转换给定信号给定信号x(n)，若将抽样率转变为若将抽样率转变为I/D倍倍.例如:原来的抽样率为1KHz的序列，要变成抽样率为1.4kHz的序列.解：（1）思路：先将序列经过I=7倍的插值转换为的抽样率为7kHz的序列，然后再进行D=5倍的抽取，得到抽样率为1.4kHz的序列。(2)作法：先做I倍的插值，再做D倍的抽样实现抽样率的有理数转换。或先抽取、后插值。但先抽取使x(n)的数据点减少，会产生信息丢失，并可能产生频率响应的混叠失真。1、插值和抽取的级联实现合

43、理的方法：先对信号插值，然后再抽取。Ih1(n)(nxsf)(nxp)(1nxsIIff )(2nhD)(1nxdDIffsId/插值Ih(n)D)(nx)(1nxd（a)使用两个低通滤波器（b)使用一个低通滤波器2、抽取和插值的级联的频率响应图(a)中:(1)h1(n)是插值所必须的抗镜像低通滤波器(2)h2(n)是抽取前级联的防混叠低通滤波器(3)抽样信号的抽样率是Ifs(4)可合并成一个滤波器h(n),图(b)所示.(5)h(n)的频率响应为wIDwDeHjw其他0),min(0)(3、结论可知： 无论是抽取或是插值，其输无论是抽取或是插值，其输入到输出的变换都相当于经过一入到输出的变换

44、都相当于经过一个个线性移变线性移变（时变）系统。（时变）系统。4、例子用一例子说明：(1)比值为有理数(I/D)抽样率的转换。即如何将插值与抽取结合，以便对序列进行抽样变化而又不会带来混叠失真。(2)抽样率减小到使序列频谱在一个周期内的非零部分已经扩展到-到的整个频带内，就不能再减小抽样率。（1）题目求将序列的付里叶变换扩展到0全频段，所需的抽取与插值。)(jweX原信号的频谱w722272712716712716 某序列x(n)的付里叶变换为X(ejw),如图所示。 解： （1）将此序列降低抽样率，若此序列只采用整数抽取（即脉冲抽样），则其D最大取3，此时数字频率为 即每3个抽样值抽取一次。

45、这样就得到序列xd(n)(注意，抽取后序列抽取值之间的零值已被摒弃）它的频谱如下图所示。2(2,)33ssffwff 即显然，不产生混叠.然而在6/7|w| 这段频带内频谱还是零.可进一步减抽样。)(jwdeXw07676782278 将频率尺度扩大7/2倍，所得到的频谱的非零值就占满了整个- 到的频率范围。 7/2是有理数，（1）可先进行I=2的插值，即将x(n)以2来增抽样增抽样，得到序列xI(n),其频谱为XI(ejw)。（2）再进行D=7的抽取，即x(n)再以7来减抽样减抽样得到xId(n),其频谱XId(ejw)。)(jwIeXw722272712716712716)(jwIdeXw

46、07676782278 抽取和插值联合作用的结果是： （1）x(n)以一个非整数的有理数7/2进行减抽样。 （2）如果x(n)代表一个连续时间信号xa(t)的无混叠抽样序列，则这个经过插值(I=2)和抽取(D=7)的序列xId(n)就代表了xa(t)的最大无混叠的减抽样序列。 抽取和插值的概念应用于很多重要的信号处理中，其中包括通信系统、数字高频、高分辨率电视以及其他很多应用领域。作业 P136 页 23，24，25，26题小结 本章主要讲几个问题： （1）付里叶变换的四种形式 （2）离散付里叶级数 （3）离散付里叶变换 （4）离散付里叶变换的有关性质 （5）频率抽样理论 （6）离散付里叶变换

47、的应用 （7）DFT逼近连续时间信号产生的问题 （8）序列的抽取与插值四种不同付里叶变换对 傅 里 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 连 续 傅 里 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换. 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT):离 散 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换傅 里 叶 级 数(FS) 周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。 周期为Tp的周期性连续时间函数 x(t)

48、可展成傅里叶级数X(jk0) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为:FSDFT 正变换 反变换 X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFTkX10102)()(1)()(NknkNNknkNjWkxekXNkXIDFTnxDFT性质一览表1DFT性质一览表2频率抽样理论 （1）频域抽样不失真条件:长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件： 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M, 即满足NM.此时可得到 （2）频域内插公式)()()()()()(nxnRrNnxnRnxnxNrNNN

49、)2()()10kNwkXeXNkjw（wNjkewwNNw)21()2sin()2sin(1)(DFT的应用 （1）用DFT计算线性卷积 （2）用DFT去逼近连续信号 （3）用DFT进行谱分析 DFT 做 傅 里 叶 变 换 (级 数) 的逼 近 时 所 产 生 的 问 题 混 叠 现 象: 频 谱 泄 漏 栅 栏 效 应一、序列的抽取 当信号的抽样数据量太大时，可以在每D个抽样中取出一个，或说每隔D-1个抽样取出一个，以便减小数据量，D是整数，称为抽样因子抽样因子，这样的抽取，称为整数称为整数倍抽取。倍抽取。1、抽取器框图其中 D表示抽样率降低为原来的1/D，即表示抽取器。抽取器D)(nx

50、d)(nxD)(nxd)(nx等效于2、序列域的直接抽取-频谱间的关系（2）然后 去掉零值点 得到抽取序列xd(n)。如图所示。（1）将x(n)序列 进行脉冲抽样 得到xp(n)3、抽样后序列xp(n)的频谱抽样后序列xp(n)的频谱Xp(ejw)为10)(2)(DksjwkwwDeP10)()(1)()(21)(DkkwwjjwjwjwpseXDePeXeX4、X(ejw)、Xp(ejw)、Xd(ejw)的关系)()(Dnxnxd)()(Dnxnxpd的整数倍为DnDnjwpjwdenxeX)()( (1)已抽样序列xp(n)和抽取序列xd(n)的频谱差别频谱差别在频率尺度频率尺度上不同。