1、益阳市 2020 年上期高三复学摸底考试 理 科 数 学 试 题 卷 注意事项： 1本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4 页，时量 120 分钟，满分 150 分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置，并认真核对答题卡 条形码上的姓名、考号和科目。 3选择题和非选择题均须按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。 4考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的
2、。 1.已知集合 1 |1, |11, MxNx x x =+则 MN = ( ) A. B.( 2,0) C.( 2,1) D.(0,1) 2.设i为虚数单位，若复数 17 () 4 aaR i 是纯虚数，则实数a的值为( ) A.4 B.1 C.1 D.4 3.已知 0.1 32 23 (tan) , log 2, log (cos) 57 abc =，则( ) A.abc B.bac C.cab D.acb 4.函数 f(x)x|x|sin2x 的大致图象是( ) 5.设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 457 2, 14aSS+=， 则公差d的值为( ) A.4 B.2
3、C. 2 D.4 6.若 24 (1)(2)axx+的展开式中 3 x的系数为 8，则实数a的值为( ) A. 1 2 B. 1 2 C.1 D.1 7.两个非零向量, a b满足2ababb+=，则向量ab+与a的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 8.执行如右图所示的程序框图，在可行域内任取一有序数对( , )x y，那么该数对能 被 输出的概率为( ) A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 姓名 考号 （第 8 题图） 9.将函数cos(2)yx=+的图像向右平移 3 个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 5
4、 6 10.双曲线 22 1 916 xy =的右焦点为 F，P 是双曲线上一点，点 M 满足=1, 0MFMF MP=, 则MP的最小 值为( ) A.3 B.2 C.3 D.2 11.在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 11 AD的中点，若三棱锥PABC的四个顶点都在 球O的球面上，则球O的表面积为( ) A12 B10 C 41 4 D 21 2 12.已知函数 2 2,02 ( ), ( )2 2 (2),2 xxx f xg xkx f xx =+ ，若函数( )( )( )F xf xg x=在0, )+ 上 有且仅有两个不同的零点，则实数 k 的取值不可
5、能为( ) A. 2 3 B. 1 2 C. 3 4 D.1 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题： （本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分） 13.设曲线xxayln)1(=在点(1, 0)处的切线方程为33 = xy，则 a= . 14.函数 f(x)6sinx 2cos x 28cos 2x 2(xR)的最大值等于 . 15.设等比数列 n a 满足10,20 4231 =+=+aaaa，则 n aaaa 321 的最大值为 . 16.已知直线2(0)ykxk=与抛物线 C：yx8 2 =相交于 A, B 两点，F 为 C 的焦点， 若FBFA2=,则 k = .
6、 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知2(cos)3 ,caBb= (1)求角 A； (2)若 a=2,求ABC 面积的取值范围. 18(本小题满分 12 分) 如图，三棱柱 111 CBAABC中，CCBBAOOCBBCBBBC 11111 ,平面=. (1)求证： 1 ;ABB C (2)若=60 1BC B，直线CCBBBA 1111
7、 与平面所成的角为30，求二面角 111 ABCA 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 某景点共有999级台阶，寓意长长久久游客甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个 台阶，无其它可能。若甲每步上一个台阶的概率为 1 2 ，每步上两个台阶的概率也为 1 2 为了简便描述问 题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第 n个台阶的概率为 n P，其中 * nN，且999n (1)甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望； (2)证明：当 * nN，且998n 时，数列 1 nn PP + 是等比数列，并求甲登上第 100 级
8、台阶的概率 100 P 20.(本小题满分 12 分) 已知 A, B 分别在 x 轴，y 轴上运动，3=AB，点 P 在线段 AB 上，且PABP2=。 (1)求点 P 的轨迹的方程 (2)直线 l 与交于 M,N 两点，() 0,-1Q ,若直线 QM, QN 的斜率之和为 2，直线 l 是否恒过定点？ 若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数已知函数 2 ( )(1) x f xexa x=+ (1)当当0a =时，求时，求( )f x在点在点(1, (1)f处的切线方程；处的切线方程； (2)若函数若函数 f(x)在在 R 上单调递增，求实数
9、上单调递增，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (3)证明：当证明：当0x 时，不等式时，不等式 2 (42 )1 lnln21 2 x ee x x x + +成立成立. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.【选修44 坐标系与参数方程】(10 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 = = sin3 cos2 y x （为参数） ， 直线 l 的参数方程为 2 t 1 xmt yt = = + （ 为参数） (1)若 m=1，求曲线 C 与直线 l 的两个交点之间的距离； (2)若曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为52，求 m 的值. 23.【选修45 不等式选讲】 （10 分） 已知函数( )21 +=xtxxf，Rt. (1)当 t=1 时，解不等式( )2f x ； (2)若不等式( )20f xt 恒成立，求实数 t 的取值范围.
