1、绝密 启用前2025 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 3数学注意事项：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B 钢笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 =1，=3 1，则（）A.=1D.=2.设有下
2、面四个命题：1：若复数 满足1，则 ；2：若复数 满足 2，则 ；3：若复数 1,2满足 12，则 1=2；4：若复数 ，则 其中的真命题为（）A.1,3B.1,4C.2,3D.2,43.(+)(2 )5的展开式中的 33系数为（）A.80B.40C.40D.804.设函数()=2sin(+)，其中 0，|100且该数列的前 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是（）A.440B.330C.220D.110数学试题第 1 页（共 5 页）7.设,为正数，且 2=3=5，则（）A.2 3 5B.5 2 3C.3 5 2D.3 2 58.下表列是某地区一年中十天的白昼时间表中日期为（月、日）.
3、某同学以日期为 轴（天），以白昼时长为 轴（小时），建立直角坐标系，并绘出了散点图（如下图所示）。他想用余弦曲线去拟合这些数据，经过查找资料，他建立了模型：12.5=cos2(172)365()请你进一步计算，并估算该地区 8 月 15 号的白昼时间为（）日期1.12.283.214.275.66.218.149.2310.2511.21小时5.5910.2312.3815.9116.7119.4015.9312.619.145.44表 1:某地区一年中十天的白昼时间1.12.28 3.214.275.66.218.149.2310.2511.215101520 xyA.15.91B.15.9
4、2C.15.93D.15.94二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分。9.对于不等关系人们在早期会使用文字或象征性记号来记述 例如，荷兰数学家吉拉尔在他 1629年所著代数新发现一书中，使用下面记号：AffB 表示 A 大于 B，AB 表示 A 小于 B若 affbff0，则下列不等式一定成立的是（）A.(+)ff2B.(+)22)2+22C.+1+1D.2ff210.已知函数()，()的定义域均为，()为偶函数，且()+(+1)=1，(+1)()=3，则（
5、）A.()的图象关于直线 =2 对称B.()的图象关于点(0,2)对称C.(+3)=()D.(+4)=()11.一个七面体，底面 为等腰梯形，且 =12=2，1，1，1，1均垂直于平面 ABCD1=1=1 1=2，则以下结论正确的是（）A.111=90B.111有可能等于 90C.111最大值为 60D.1=23时，点 1，1，1，1共面数学试题第 2 页（共 5 页）三、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。12.设随机变量 的取值为 0,1,2，若(=0)=，()=1，则()=.13.若直线 =+是曲线 =ln+2 的切线，也是曲线 =ln(+1)的切线，则 =.14.从
6、集合 =1,2,10 中有放回地一次取一个数，连取 4 次，则取出的 4 个数依次成等差数列的概率为.四、解答题：本大题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分 13 分)设 的内角,的对边分别为,，已知 cos=23.(1)求证：=2()2；(2)若 是钝角，求 sin 的取值范围.数学试题第 3 页（共 5 页）16.(本小题满分 15 分)设电视主持人设有（+2）扇关着的门，其中 扇门后藏有汽车，其余（）扇门后各有一只山羊。参与者随机选择一扇门，选中后的门后物品归其所有。目标是得到一辆汽车。选定一扇门（如 1 号门）后，主持人会打开另一扇藏有
7、山羊的门（如 3 号门），并给予一次改选的机会.(1)若 =3，=1，应坚持 1 号门还是改选 2 号门？请说明理由；(2)一般情况下，是改选好还是坚持选择好？请说明理由.17.(本小题满分 13 分)设椭圆 C 的方程为 2+22=1，为椭圆 C 在 轴正半轴上的焦点，过 且斜率为 2 的直线 与 C 交于、两点。作 使得 为 的重心。(1)证明：点 在椭圆 C 上；(2)设点 关于点 的对称点为，证明：、四点在同一圆上。数学试题第 4 页（共 5 页）18.(本小题满分 17 分)已知函数()=lnln(1 )，(1)求函数()的单调区间和极值；(2)定义：若存在圆 使得函数()上的每一点
8、都落在圆 内，则称圆 为()的收敛圆。证明或否定：圆 (12)2+2=14是()的一个收敛圆；(3)探索：是否存在半径小于12的圆，它也是()的一个收敛圆？如果存在，请找出这个圆；如果不存在，请给出证明。19.(本小题满分 17 分)设 是素数，集合=0,1,2,1。若,，记 为 除以 的余数，为 除以 的余数。设,1,2,2，两两不同，若=对 =1,2,2 均成立，则称 是以 为底的 的离散对数，记为 log。(1)若 =5，=2，求 log23；(2)对任意,，记 为 除以 的余数（当 能被 整除时，=0）。证明：log+log=log()，其中,0；(3)已知 =3。对任意 1 2，令=1log3。证明：2=12.数学试题第 5 页（共 5 页）
