1、、绝对值、绝对值不等式的绝对值不等式绝对值不等式三角不等式解法1 12 21 1、绝对值三角不等式在数轴上，a的几何意义表示点A A到原点的距离a?b的几何意义 表示数轴上A,BA,B两点之间的距离a?b的几何意义表示数轴上A,-BA,-B两点之间的距离a0Aaxa?b-B-B-bAaa?bObBx探 究设a, ba, b为实数， 你能比较a?b与a?b之间的大小关系吗？ab0ab0时，a?b?a?bab0abk|x+1|+|x-2|k恒成立，则k的取值范围是4.若变为不等式|x-1|+|x-3|k|x-1|+|x-3|01.绝对值的定义：绝对值的定义：|a|=0 ,a=0a ,a02.绝对值
2、的几何意义：绝对值的几何意义：实数实数a绝对值绝对值|a|表示表示|a|数轴上坐标为数轴上坐标为A的点的点A到原点的距离到原点的距离.0a|ab|AaBb实数实数a,b之差的绝对值之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上表示它们在数轴上对应的对应的A,B之间的距离之间的距离.3.3.绝对值的运算性质：绝对值的运算性质：a? ?a ,2a|a|ab? ?a b，|? ?b|b|提出问题提出问题: : 你能看出下面两个不等式的解集吗你能看出下面两个不等式的解集吗? ? x? ?1 x? ?1 主要方法有主要方法有: :法一法一: :利用绝对值的几何意义观察；利用绝对值的几何意义观察；法二法二: :
3、利用绝对值的定义去掉绝对值符号利用绝对值的定义去掉绝对值符号 , ,需要分类讨论需要分类讨论; ;法三法三: :两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号 ; ;法四法四: :利用函数图象观察利用函数图象观察 . .这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路 . .探索：不等式探索：不等式| |x x|1|1的解集的解集. .方法一：方法一：利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察不等式不等式| |x x|1|1的解集表示到原点的距离小于的解集表示到原点的距离小于 1 1的点的集合的点的集合. .-101不等式不等式| |x x|1|1的
4、解集为的解集为 x x|-1|-1x x11方法二方法二: :利用绝对值的定义去掉绝对值符号利用绝对值的定义去掉绝对值符号 , ,需要分类讨论需要分类讨论当当x x00时，原不等式可化为x x1,1, 0 0 x x1 1当当x x0 0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x x1 1，即，即x x1 1 1 1x x0 0综合得，原不等式的解集为综合得，原不等式的解集为 x x| |11x x11探索：不等式探索：不等式| |x x|1|1的解集的解集. .方法三：方法三：两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号 . .对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得 x x2 21,1
5、, 即即(x+1)(x-1)0(x+1)(x-1)01x1不等式| |x x|1|1的解集为的解集为 x x|-1|-1x x1.1.利用函数图象观察利用函数图象观察从函数观点看从函数观点看, ,不等式不等式| |x x|1|1的解集的解集, ,是函是函数数y=|x|y=|x|的图象位于函数的图象位于函数y=1y=1的图象下方的部的图象下方的部分对应的分对应的x x的取值范围的取值范围. .y不等式|x|1|x|1的解集为的解集为1y=1x|-1x1x|-1x11 o1x方法四：方法四：一般结论一般结论: :形如形如|x|a|x|a (a0)|x|a (a0)的不等式的解集的不等式的解集: :
6、不等式不等式|x|a|x|a的解集为的解集为x|-axax|-axa|x|a的解集为的解集为x|x-ax|xa xa - -a0a想一想想一想: :如果如果a 0, ,以上不等式的解集是什么？以上不等式的解集是什么？ 例例1.1.解不等式|3?2x|?7.解解: :原不等式?2x?3?7?2x?3? ?7或2x?3?x? ?2或x?5? 原不等式的解集为x|x? ?2或x?5.变式式练习: : 解不等式|3x?2|?1答案答案: :(?,0)?(1 ,?)7例例2.2.解不等式|x?5x|?62?x?5x? ?62解解: :原不等式 ?6?x?5x?6?2?x?5x?6?x?2 或x?3?x?
7、5x?6?0?2?1?x?6?x?5x?6?022?1?x?2或3?x?6,? 原不等式的解集为(?1 ,2)? (3,6).变式式练习: : 解不等式1?|3x?4|?61052答案答案: :?,?)?(?1, 333解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式绝对值符号的不等式 ( (组组),),常见的类型有：常见的类型有： (1)f? ?x? ? ?a(a? ?0)? ?f? ?x? ? ?a或或f? ?x? ? ? ? ?a(2) f? ?x? ? ?a(a? ?0)? ? ?a? ?f? ?x? ? ?a(3) f? ?x? ? ?g
8、(x)? ?f? ?x? ? ?g(x)或或f? ?x? ? ? ? ?g(x)(4) f? ?x? ? ?g(x)? ? ?g(x)? ?f? ?x? ? ?g(x)? ? ? ?(5) f? ?x? ? ?g? ?x? ? ? ?fx? ?g x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22例例3.3.解不等式|x?3x?4|?x?1.?x?3 x?4?0?x?3 x?4?0解解1:1:原不等式 ?2或?2?x?3 x?4?x?1?(x?3 x?4)?x?1?x?4 或x? ?1?1?x?4?或?1?x?3x?5 或x? ?1?222?x? ?1 ,或x?5，或?1?x?3,? 原不等式的
9、解集为x|x? ?1,或?1?x?3,或x?5.例例3.3.解不等式|x?3x?4|?x?1.解解2:2:原不等式 ?x?3x?4? ?(x?1) 或x?3x?4?x?1222?x?2x?3?0或x?4x?5?0?(x?1)( x?3)?0,或(x?1)( x?5)?022?1?x?3,或x? ?1 ,或x?5,? 原不等式的解集为x|x? ?1,或?1?x?3,或x?5.解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式绝对值符号的不等式 ( (组组),),常见的类型有：常见的类型有： (1)f? ?x? ? ?a(a? ?0)? ?f? ?x?
10、? ?a或或f? ?x? ? ? ? ?a(2) f? ?x? ? ?a(a? ?0)? ? ?a? ?f? ?x? ? ?a(3) f? ?x? ? ?g(x)? ?f? ?x? ? ?g(x)或或f? ?x? ? ? ? ?g(x)(4) f? ?x? ? ?g(x)? ? ?g(x)? ?f? ?x? ? ?g(x)? ? ? ?(5) f? ?x? ? ?g? ?x? ? ? ?fx? ?g x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22绝对值不等式的解法（二）2017年12月18日星期一例例1.1. 解不等式解不等式|x-|x-1|+|x+2|51|+|x+2|5方法一方法一:利用
11、绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义解解: :如图如图, ,数轴上数轴上-2,1-2,1对应的点分别为对应的点分别为A,BA,B，-3,2-3,2对应的点分别为对应的点分别为A A1 1,B,B1 1，A A1 1A AB BB B1 1-3-3 -2-2-1-10 01 12 2这种方法体现了这种方法体现了数形结合的思想数形结合的思想|A|A1 1A|+|AA|+|A1 1B|=5,B|=5,|B|B1 1A|+|BA|+|B1 1B|=5,B|=5,数轴上, ,点点A A1 1和和B B1 1之间的任何一点之间的任何一点, ,到点到点A,BA,B的距离之和都小于的距离之和都小于 5,5,而
12、而A A1 1的左边或的左边或B B1 1的右边的任何一点的右边的任何一点 , ,到点到点A,BA,B的距离之和都大于的距离之和都大于 5,5,原不等式的解集为x|xx|x -3 -3 或或 x2.x2.例例1.1. 解不等式解不等式|x-|x-1|+|x+2|51|+|x+2|5方法二方法二: :利用利用|x-1|=0,|x+2|=0|x-1|=0,|x+2|=0的零点的零点, ,分段讨论去绝对值分段讨论去绝对值解解: :(1)当x? ?2时,这种解法体现了分类讨论的思想这种解法体现了分类讨论的思想x? ?2?x? ?2?x? ?3.原不等式 ?(1?x)?(x?2)?5?x? ?3?(2)
13、当?2? x?1时,(3)当x?1时,?x?1?x?1原不等式 ?x?2?(x?1)?(x?2)?5?x?2原不等式的解集为x|xx|x -3 -3 或或 x2.x2.?2?x?1?2?x?1?x?.原不等式 ?3?5(1?x)?(x?2)?5?例例1.1. 解不等式解不等式|x-|x-1|+|x+2|51|+|x+2|5方法三：方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解通过构造函数，利用函数的图象求解解解: :原不等式化为|x?1|?|x?2|?5?0,构造函数y?|x?1|?|x?2|,化简得?(1?x)?(x?2) ，x? ?2?y?(1?x)?(x?2) ， ?2?x?1?(x?1)?(
14、x?2) ，x?1?2x?6,x? ?2?即 y?2 ，?2?x?1?2x?4 ，x?1?例例1.1. 解不等式解不等式|x-|x-1|+|x+2|51|+|x+2|5?2x?6,x? ?2?y?2 ，?2?x?1?2x?4 ，x?1?y-2-2-3-31 1-2-22 2x如图,作出函数的图象,函数的零点是-3,2.由图象可知,当x? ?3或x?2时,y?0,原不等式的解集为x|xx|x -3 -3 或或 x2.x2.这种方法体现了函数与方程的思想这种方法体现了函数与方程的思想例例1.1. 解不等式解不等式|x-|x-1|+|x+2|51|+|x+2|5思考一：由以上解法可知，|x-1|+|
15、x+2|x-1|+|x+2|有最 小x?2 ， 1?值 3 此时，x的取值范围是思考二：若变为|x-1|+|x+2|x-1|+|x+2|kk恒成立，则k的取值范围是k?3思考三：若变为存在x，使|x-1|+|x+2|k|x-1|+|x+2|k成立，成立，则则k的取值范围是k ? 3思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|k|x-1|+|x+2|k|x+1|-|x-2|k恒成立，则恒成立，则k k的取值范围是的取值范围是（B B）(A)k3 (B)k-(A)k3 (B)k-3 (C)k3 (D)k3 (C)k3 (D)k -3-32.2.若不等式若不等式|x-1|+|x-3|x-1|+|x-3
16、|a a的解集为空集的解集为空集, ,则则a a的的(?,2取值范围是取值范围是-3.3.解不等式解不等式1|21|2x x+1|3.+1|8.|x+3|+|x-3|8. 答案答案: : x|x-4x|x4.x4.5.5.解不等式：解不等式：|x-1|x-3|.|x-1|x-3|. 答案答案: : x|x2.x|x2.6.6.解不等式解不等式|5|5x-x-6|6-x.6|6-x.答案答案: :(0,2)(0,2)课堂小结课堂小结: : 1.1.解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。转化为一般不等式来处理。 2.2.主要方法有：主要方法有： 同解变形法同解变形法: :运用解法公式直接转化；运用解法公式直接转化； 分类讨论去绝对值符号；分类讨论去绝对值符号； 数形结合数形结合( (运用绝对值的几何意义运用绝对值的几何意义); ); 利用函数图象来分析利用函数图象来分析. .
