1、 3.6 冲量与动量冲量与动量 质点的动量定理质点的动量定理 3.7 系统的动量定理系统的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 碰撞碰撞 * 3.8 质心质心 质心运动定理质心运动定理 3.9 力矩与角动量力矩与角动量 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 第第 3 章章 力学中的守恒定律力学中的守恒定律 3.1 功功 功率功率 3.2 动能动能 质点的动能定理质点的动能定理 3.3 系统系统 系统的动能定理系统的动能定理 3.4 保守力的功保守力的功 系统的势能系统的势能 3.5 系统的功能原理系统的功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 1、功、功 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了
2、力的功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力的空间积累作用。空间积累作用。Fr 0900900901800AAAtcos|AFrFrFr 单位：单位：J（即：（即：N m）（1）恒力的功）恒力的功恒力的功等于力在位移方向上的分量乘以位移的大小恒力的功等于力在位移方向上的分量乘以位移的大小功是标量功是标量在恒力在恒力 的作用下，质点发生了位移的作用下，质点发生了位移Fr功是力功是力 与位移与位移 的点乘（标积）：的点乘（标积）：Fr 3.1 功功 功率功率dr FbaddcosdAFrFsdAA（3）合力的功）合力的功12ddbbnaaAFrFFFr12dddbbbnaaaFrFrFr12nAA
3、A合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的代数和代数和。质点沿曲线从质点沿曲线从a 运动到运动到 b，力，力 对它所做的功：对它所做的功：F（2）变力的功）变力的功(ddd )xyzFxFyFziFdbaFrdbaAFr质点做微小位移质点做微小位移 时，力时，力 做的做的元功元功 dA： drFcos dbaFs总功：总功：例例1：设作用力的方向沿：设作用力的方向沿ox轴轴, 其大小与其大小与x的关系如图，的关系如图， 物体在此力作用下沿物体在此力作用下沿ox轴运动。求物体从轴运动。求物体从x=0运动到运动到x=2m的过程中，此作用力做的功。的过程中，此作用
4、力做的功。解解1: 求三角形面积求三角形面积12 11 J2A 先写出先写出 F(x) , 再根据功的定义式再根据功的定义式 dbaAF xo21x (m)F (N)F解解2:1( )2F xx201d2x x22011J4x2、功率功率功率: 单位时间内所作的功。它反映了作功的快慢程度。单位时间内所作的功。它反映了作功的快慢程度。单位：单位：W（即：（即：J/s）（1）（）（t 时间）平均功率：时间）平均功率：APt（2）（）（t 时刻）瞬时功率：时刻）瞬时功率：0ddlimtAAPtt ddddAFrPtt或：功率等于力在速度方向上的分量乘以速率。功率等于力在速度方向上的分量乘以速率。21
5、dttAP t功还可以表示为：功还可以表示为：tcosFFFvvv例例2：设作用在质量：设作用在质量m = 2kg的物体上的力的物体上的力F = 6t（N）。）。如果物体由如果物体由静止静止出发沿直线运动，在头出发沿直线运动，在头2s 内这力作了内这力作了多少功？多少功？解：解：ttmFa326ddAF xFtv232tv得：得：22230036d9 d36(J)2ttttt03 dtt tP75 例例3.200dta tvv1、动能、动能2k12Emv 单位：单位：JddAFr 设质点设质点m 在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a 点移动到点移动到b 点。点。 质点发生微小位移质点发生
6、微小位移 时，力时，力 对质点所作的对质点所作的元功元功 dA ：drF2、质点的动能定理、质点的动能定理合力对质点作了功，表现为质点的动能发生了变化。合力对质点作了功，表现为质点的动能发生了变化。质量为质量为m 的质点以速度的质点以速度 运动，则该质点具有运动，则该质点具有动能：动能：v1v2vFbadr 21ddAAmvvv v质点从质点从a 到到b 的全过程，力对质点所作的的全过程，力对质点所作的总功总功：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。质点的动能定理质点的动能定理合力对质点作正功，质点的动能增加；合力对质点作正功，质点的动能增加；合力对质
7、点作负功，合力对质点作负功，质点的质点的动能减少。动能减少。ddAFr22211122mmvv22k2k1211122AEEmmvv1v2vFbadr dddmttvvdmvvdmv v动能是标量，是状态量动能是标量，是状态量 v的单值函数，的单值函数，动能是状态量；动能是状态量；功是能量变化的量度。功是能量变化的量度。功是过程量；功是过程量；动能定理由牛顿第二定律导出动能定理由牛顿第二定律导出, 只适用于惯性参考系。只适用于惯性参考系。动能的值与参考系有关。动能的值与参考系有关。22k2k1211122AEEmmvvdbaAFr222221111,() ,(2222mumum um uvv)
8、例：一质量为例：一质量为m = 0.3kg 的石子，自高出地面的石子，自高出地面h = 10m处，处，以以v0 = 15 m/s 速率斜上抛出，落地速率为速率斜上抛出，落地速率为v = 16 m/s，求，求空气阻力所作的功？空气阻力所作的功？解：由动能定理，外力作功解：由动能定理，外力作功 （重力和阻力）等于质点（重力和阻力）等于质点 动能的增加。动能的增加。mghAAf2201122fAmmmghvvv0vh2201122mmvvJ75.241、系统、系统外力：外力：系统以外的物体对系统内质点的作用力系统以外的物体对系统内质点的作用力内力：内力： 系统内各质点间的相互作用力系统内各质点间的相
9、互作用力 质点系：质点系： 有相互作用的若干个质点组成的系统有相互作用的若干个质点组成的系统设质点设质点a从位置从位置A1运动到运动到A2，质点质点b从位置从位置B1运动到运动到B2 系统的内力总是成对出现的（作用力与反作用力），系统的内力总是成对出现的（作用力与反作用力），如何计算这一对内力的功？如何计算这一对内力的功？2211ABaabbABddAFrFr内*2、系统内力的功系统内力的功aF1A2A1B2BbFab 在在dt 时间内，二者发生的时间内，二者发生的 位移分别为位移分别为abd , drr 一对内力一对内力 和和 做的做的元功之和元功之和：aFbFaabbdddAFrFrbba
10、(dd)Frr从初位置到末位置这对从初位置到末位置这对内力作功之和内力作功之和：babaabba,rrrrr是质点 相对于质点 的位矢 与，无关2bba1dAFr内2aab1dAFr内或：braraFbdradr1A2A1B2BbFbbad()FrrbbadFrbrarbarababoo等于其中一个质点（如等于其中一个质点（如b）受的力沿着该质点相对于另一）受的力沿着该质点相对于另一质点（质点（a）所移动的路径所做的功。）所移动的路径所做的功。2211ABaabbABddAFrFr内2bba1dFr 计算时可认为一质点（如计算时可认为一质点（如a）静止，并以它所在的位置）静止，并以它所在的位置
11、作为坐标原点，来计算另一质点（如作为坐标原点，来计算另一质点（如b）在此坐标系中运动）在此坐标系中运动时所受的力（如时所受的力（如 ）所做的功。）所做的功。 bFbrarbarP80 问题问题3-4 质量为质量为m的物体自高度为的物体自高度为h处自由落下。处自由落下。将物体与地球作为系统，一对内力所做的功：将物体与地球作为系统，一对内力所做的功： mgh结论：结论：一对作用力和反作用力作功一对作用力和反作用力作功之和之和仅与两质点的相对仅与两质点的相对位置有关。位置有关。abobFaFafA1vA2v质量质量 外力外力 内力内力 初速率初速率 末速率末速率1maFbfB1vB2v2mbF221
12、1AA221aaaa1A21A1AA11dd22mFrfrmm对质点：vv由质点的动能定理：由质点的动能定理：2211BB222bbbb2B22B1BB11dd22mFrfrmm对质点：vv两式相加得：两式相加得：1k2kEEAA内外3、系统的动能定理、系统的动能定理 先讨论两个质点组成的系统先讨论两个质点组成的系统afbdradra1Ab2A1B2Bbf质点系的动能定理质点系的动能定理为系统初状态的总动能为系统初状态的总动能2kE为系统末状态的总动能为系统末状态的总动能1kE推广到多个质点的情形，得：推广到多个质点的情形，得：12kkEEAA内外 系统的内力作功可以不为零系统的内力作功可以不
13、为零, 内力能改变系统的总动能内力能改变系统的总动能bFaFafbdradra1Ab2A1B2Bbf 作用于系统的总功包括所有外力的功作用于系统的总功包括所有外力的功 A外外 和所有内力和所有内力 的功的功 A内内 P81 例例3-5：光滑水平桌面上放一质量为光滑水平桌面上放一质量为m0=1kg 的厚木块，的厚木块，一质量为一质量为 m=20g 的子弹以的子弹以v1=200 m/s的速度水平地射入的速度水平地射入木块，穿出木块后的速度木块，穿出木块后的速度v2=100 m/s，并使木块获得，并使木块获得u2=2m/s的速度。求子弹穿透木块过程中阻力所做的功。的速度。求子弹穿透木块过程中阻力所做
14、的功。解：解： 系统（子弹、木块）系统（子弹、木块） 初动能：初动能：末动能：末动能：2k11102Emv102 J400 J由系统的动能定理由系统的动能定理0A 外即：一对阻力做功即：一对阻力做功102400298 J -22k22021122Emm uvk2k1AAEE阻内 习题习题 P121 17， 18d(ddd )bxyzaAFrFxFyFz 3.4 保守力的功保守力的功 系统的势能系统的势能 21dhhAmgy 结论：结论：重力作功只与质点的始末重力作功只与质点的始末位置有关，与经过的路径无关。位置有关，与经过的路径无关。 物体下降时重力作正功。物体下降时重力作正功。rdgmh1h
15、2abmyxddAFrdmg y 物体物体m和地球组成的系统，重力和地球组成的系统，重力(内力内力)所做的功：所做的功：12mghmghAmgh2bba1dAFr内ox1x2xabmFx由胡克定律：由胡克定律：kxF弹性力的功：弹性力的功：21ddxxAF xkx x22212121kxkx 结论：结论： 弹性力作功只与质点的始末位置有关，与弹性弹性力作功只与质点的始末位置有关，与弹性变形的过程无关。变形的过程无关。 形变变小时弹性力作正功。形变变小时弹性力作正功。物体物体m和轻弹簧组成的系统，弹力和轻弹簧组成的系统，弹力(内力内力)所做的功：所做的功：22212121kxkxA02m mFG
16、rdd|d |cosAFrFrdAA结论：结论：万有引力的功仅由物体的始、末位置决定，与物万有引力的功仅由物体的始、末位置决定，与物体运动的路径无关。体运动的路径无关。两物体靠近时万有引力作正功。两物体靠近时万有引力作正功。drF质量为质量为m0 和和m的质点组成系统，万有引力的质点组成系统，万有引力(内力内力)所做的功：所做的功：0012m mm mAGGrr drddAF r r2r1abmm021021drrGm mrr d|d |sin(90 )|d |cosrrr 设设m0 质点固定质点固定, m质点相对于质点相对于m0 从从 a 点运动到点运动到b 点点02dm mGrr （3-1
17、3）r摩擦力作功摩擦力作功fmgdddAfrmgsddbbaaAAmgs s 是物体实际走过的路程是物体实际走过的路程结论：结论： 摩擦力作功与过程有关。摩擦力作功与过程有关。FNmgss 重力、弹性力和万有引力等做功都与路径无关重力、弹性力和万有引力等做功都与路径无关, 仅与仅与始、末相对位置有关，这样的力称为始、末相对位置有关，这样的力称为保守力。保守力。保守力沿任意闭合路径保守力沿任意闭合路径 l 的线积分为零：的线积分为零：保守力包括保守力包括: 重力、弹性力、万有引力、静电力等重力、弹性力、万有引力、静电力等非保守力包括非保守力包括: 摩擦力、爆炸力等耗散力摩擦力、爆炸力等耗散力d0
18、lFAFr若 为保守力，则：P87 例例3-6 ：求小球在：求小球在P点的速度和绳子的拉力点的速度和绳子的拉力解：解： （1）质点）质点m从从B点到点到P点，拉力不做功，点，拉力不做功， 只有重力做功只有重力做功(1cos )Amgl 由质点动能定理：由质点动能定理：22011(1 cos )22mglmmvv202(1cos )glvv（2） 牛顿第二定律法向分量式牛顿第二定律法向分量式 2TcosFmgmlv20T(3cos2)Fmmglv注：注： 小球在最高点小球在最高点刚好能做圆周运动刚好能做圆周运动的最小速度为的最小速度为 : 2,mgmlvglv例例3-7解：解： 弹簧系统，从弹簧
19、系统，从A（原长处）到（原长处）到B（最大位移（最大位移 s 处）处）重力做功重力做功弹力做功弹力做功1Amgs2212Aks 由动能定理：由动能定理：22011022mgsksmv220()mgmgkmsk v 势能是由物体的相对位置决定的，与保守力作功势能是由物体的相对位置决定的，与保守力作功有关，势能是有关，势能是状态量。状态量。 由物体的相对位置所确定的系统能量称为由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（势能（Ep） 定义：定义：质点由质点由a点移动到点移动到b过程中保守力所做的功过程中保守力所做的功 A 等于等于 a、b 两点的势能两点的势能 Ep1与与 Ep2之差之差babp1p
20、2padAFrEEE 保守力做功在数值上等于系统势能的减少（增量的负值）保守力做功在数值上等于系统势能的减少（增量的负值）讨论讨论:（1） 势能是属于系统的势能是属于系统的势能的大小只有相对的意义势能的大小只有相对的意义（2）（3） 势能的零点可以任意选取势能的零点可以任意选取(1) 重力势能：重力势能：mghE p（设地面（设地面 h2=0为势能零点）为势能零点）(2) 弹性势能：弹性势能：2p21kxE （设自由端（设自由端x2=0为势能零点）为势能零点）(3) 引力势能：引力势能：0pm mEGr （设无限远处（设无限远处r2= 为势能零点）为势能零点）pEh重力势能曲线重力势能曲线pE
21、x弹性势能曲线弹性势能曲线pEr 引力势能曲线引力势能曲线12Amghmgh22212121kxkxA0012m mm mAGGrr 由系统的动能定理，所有外力和内力对系统所由系统的动能定理，所有外力和内力对系统所作的功之和等于总动能的增量：作的功之和等于总动能的增量：即：即：保守内力作功与势能的关系：保守内力作功与势能的关系：k2k1AAAEE外保内非保内p1p2AEE保内p1p2k2k1AEEAEE外非保内质点系的功能关系：质点系的功能关系： 质点系在运动过程中，所有外力的功和系统内非质点系在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。保守内力的功的总和等于系
22、统机械能的增量。12EEAA非保内外k2p2k1p1()()AAEEEE外非保内kpEEE机械能3.5 系统的功能原理系统的功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 k2k1AAEE外内21EE2100AAEE外非保内当，时 如果一系统的所有外力和非保守内力都不做功，则如果一系统的所有外力和非保守内力都不做功，则系统的机械能不变。系统的机械能不变。 但系统中的动能和势能可以彼此转换。但系统中的动能和势能可以彼此转换。12EEAA非保内外kpEEE机械能 在一个封闭系统中，非保守内力作正功时，机械能增加；在一个封闭系统中，非保守内力作正功时，机械能增加；非保守内力作负功时，机械能减少。非保守内力作
23、负功时，机械能减少。大量实验证明：在封闭系统中，机械能的增加（减少）大量实验证明：在封闭系统中，机械能的增加（减少）就有就有等量的等量的非机械能的减少（增加），从而保持总能量非机械能的减少（增加），从而保持总能量不变。这一事实称为不变。这一事实称为能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律。它是自然界。它是自然界最基本、最普遍的规律之一。最基本、最普遍的规律之一。 地雷爆炸：地雷爆炸：机械能增加，由化学能转变而来；机械能增加，由化学能转变而来； 有摩擦存在时：有摩擦存在时：机械能减少，转变成了热能或电磁能。机械能减少，转变成了热能或电磁能。是系统内部的机械能与非机械能是系统内部的机械能与非机械能（热
24、的、电磁的、化学的、（热的、电磁的、化学的、生物的等等）生物的等等）之间交换能量。之间交换能量。按功能关系，要改变一个系统的机械能按功能关系，要改变一个系统的机械能： （1）可以通过外力对系统作功；）可以通过外力对系统作功； （2）可以利用系统内的非保守内力作功。）可以利用系统内的非保守内力作功。如如12EEAA非保内外是系统和外界交换能量是系统和外界交换能量步骤：步骤：（1）按题意和需求）按题意和需求, 选定系统；选定系统； （2）分析系统内各物体的受力情况）分析系统内各物体的受力情况, 分清外力和分清外力和 内力（区分保守内力和非保守内力）；内力（区分保守内力和非保守内力）；（3）考察外力
25、和非保守内力是否做功；）考察外力和非保守内力是否做功；（4）根据满足的条件，用机械能守恒定律或功能）根据满足的条件，用机械能守恒定律或功能原理（动能定理）求解。原理（动能定理）求解。3、应用功、能关系求解动力学问题、应用功、能关系求解动力学问题解：以物体解：以物体A、B及地球作为系统及地球作为系统 （1）系统的机械能守恒）系统的机械能守恒22121()2m ghmmv2122m ghmmvABhm2m1例例1: 一轻绳跨过一个定滑轮一轻绳跨过一个定滑轮, 两端分别拴有质量为两端分别拴有质量为m1及及m2 的物体的物体, m2 离地面的高度为离地面的高度为h。若不计滑轮质量和摩。若不计滑轮质量和
26、摩擦，开始时两物体均为擦，开始时两物体均为静止静止。若。若（1）物体物体A与桌面无与桌面无摩擦；摩擦；（2）物体物体A与桌面间摩擦系数为与桌面间摩擦系数为 。求求m2 落到地落到地面时的速度面时的速度v。功能原理：功能原理：211221()2m ghmmm ghv21122 mmghmmv（2）系统的机械能不守恒）系统的机械能不守恒或动能定理：或动能定理：212121()02m ghm ghmmv例例2：计算第一宇宙速度：计算第一宇宙速度已知地球半径为已知地球半径为R，质量为，质量为M，卫，卫星质量为星质量为m。要使卫星在距地面。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其高度绕地球作匀速
27、圆周运动，求其发射速度。发射速度。解：解： 设发射速度为设发射速度为v1绕地球的运动速度为绕地球的运动速度为v由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：22(1)MmGmRhRhvGMRh得：vRmMhv1v地球和卫星作为系统，并假设无外力（如阻力）作用。地球和卫星作为系统，并假设无外力（如阻力）作用。 系统的机械能守恒：系统的机械能守恒：22111(2)22MmMmmGmGRhRvv12GMGMRRh得：vGMR）（Rh 317.9 10 m/svm1037. 6kg1098. 5624RM，RmMhv1v宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射
28、速度v2 解：解：(1) 脱离地球引力处脱离地球引力处, 飞船的动能必须飞船的动能必须 Ek 0 由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：22102MmmGRv解得：解得：32211.2 10 m /sGMRv(2) 脱离地球引力处脱离地球引力处, 飞船的引力势能飞船的引力势能 Ep = 0例例3：计算第二宇宙速度：计算第二宇宙速度P 92 例例3-9解：解： （1）AB段，小球和弹簧系统，机械能守恒：段，小球和弹簧系统，机械能守恒：22B1122kxmv （2）BD段，小球和地球系统，机械能守恒：段，小球和地球系统，机械能守恒：22BD1122mmmgHvv （3）D点，小球，牛顿第二定律：点，
29、小球，牛顿第二定律：, 0NF2DcosmgmRv（1） （2） （3） m106. 0)3(kRHmgxcosHRR 习题习题 P122 20，23, 24, 27第 3 章tddcos ddAFrFsF sdAAdddxyzFxFyFzdcosdbbaaFrFs12Amghmgh（2）弹性力的功）弹性力的功22121122Akxkx（3）万有引力作功）万有引力作功1211AGMmrr 1、功的定义、功的定义（1）重力的功）重力的功（1）重力势能）重力势能pEmgh（2）弹性势能）弹性势能2p12Ekx（3）引力势能）引力势能 p( )MmE rGr 5、机械能守恒定律、机械能守恒定律,=0
30、0abAAEE外内 非保当，时4、势能、势能p1p2pdbaAFrEEE 3、质点系的动能定理、质点系的动能定理k2k1AAEE外内2221k2k11122AmmEEvv2、质点的动能定理、质点的动能定理例例2：劲度系数为：劲度系数为k的轻弹簧，一端固定，另一端系的轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为一质量为m的小球，放在水平桌面上，此时弹簧为原的小球，放在水平桌面上，此时弹簧为原长，小球具有水平向右速度长，小球具有水平向右速度v0，球与桌面间摩擦系，球与桌面间摩擦系数为数为 ，求小球运动的最大位移。，求小球运动的最大位移。oxv0解：解：2201122mgxkxmv202211kmgxkmgv22011022Amgxkxm v选取弹簧、小球、桌子为系统，最大伸长量为选取弹簧、小球、桌子为系统，最大伸长量为x，由功能原理：由功能原理：或动能定理：或动能定理：得：得：
