1、3.3.1两条直线直线的交为点坐标的交为点坐标序号方程名称确定条件方程形式限制条件(1)点斜式点斜式(2)斜截式斜截式(3)两点式两点式已知两点(x1,y1),(x2,y2)(4)截距式截距式已知横横 、纵纵截距a 、b2121xxyy且1byax0, 0 ba121121xxxxyyyy已知斜率k ,过点（x0,y0)y-y0=k(x-x0)斜率斜率k存在存在已知斜率k ,纵截距by=kx+b斜率k存在存在1.直线方程有直线方程有哪五哪五种形式种形式? 它们的条件及应用范围它们的条件及应用范围如何如何?一、一、复习复习: Ax+By+C=0 (5)一般式：一般式： （其中（其中A、B不同时不
2、同时为为0）(1)(1)x x的系数为正的系数为正; ;(2)(2)x,yx,y的系数及常数项一般不出现分数的系数及常数项一般不出现分数; ;(3)(3)一般按含一般按含x x项，含项，含y y项、常数项顺序排列项、常数项顺序排列. .3. 对于直线方程的一般式，一般对于直线方程的一般式，一般有哪些有哪些约定约定?直线方程的一般式，直线方程的一般式，适用于适用于所有的所有的直线直线2. 直线方程的一般式，直线方程的一般式，适用于哪些直线适用于哪些直线?引入：引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一唯一解，无解解，无解, ,无穷多解无穷多解），同时在直角坐
3、标系中两），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，相交，平行，重合重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。 ?,0 : 0: :22221111的坐标如何求这两条直线交点相交已知两条直线思考CyBxAlCyBxAl1.两条直线的交点：两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组 的解；反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐
4、标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0二二、新课新课:重合平行相交无穷多解无解唯一解解方程组直线21212121,llllllll问题问题1 1：方程组解的情况与方程组所表示的两条方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？直线的位置关系有何对应关系？0:),(:,21CByAxlbaAAlllAlA代数表示的交点是与直线上在直线点直线点几何元素并填空看下表0CBbAa11122100Aa Bb CAa Bb C1112220,0.A x B y
5、CA x B y CA即点 的坐标是方程组的解2.利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系关系已知方程组已知方程组A1x+B1y+C1=0 （1）A2x+B2y+C2=0 （2）当当A1，A2，B1，B2全不为零时全不为零时(1)B2(2)B1得得(A1B2A2B1)x=B1C2B2C1讨论：讨论：当当A1B2A2B10时，方程组有时，方程组有唯一解唯一解:x = B1C2B2C1A1B2A2B1y= A1B2A2B1C1A2C2A1当当A1B2A2B1=0， B1C2B2C10 时，方程组时，方程组无解无解;当当A1B2A2B1=0，
6、B1C2B2C10 时，方程组有时，方程组有无无 穷多解穷多解。问题问题2 2：如何根据两直线的方程系数之间的关系来如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？判定两直线的位置关系？0 : 0: 22221111CyBxAlCyBxAl )2(212121CCBBAA若 ) 1 (2121BBAA若平行与21ll相交与21ll,0,222时均不为当CBA )3(212121CCBBAA若重合与21ll归纳归纳: 两条直线的位置关系：平行、相交、重合两条直线的位置关系：平行、相交、重合0,0A:0A:222222222111111均不为或或CBACyBxbxkylCyBxbxkyl
7、(1)、212121212121AAb/CCBBbkkll或且(2)、21212121BBAAkkll或相交与(3)、212121212121CCBBAAbbkkll或且重合与 （注：如果（注：如果A2，B2 , C2中有一个为中有一个为0，另行讨论），另行讨论）例例1 1. .求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y 3x+4y - 2=02=0；l l2 2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.例例2 2. .求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程方程:l:l1 1：x x - 2y+2=02y+2=0，l l2 2
8、：2x 2x - y y - 2=0.2=0.解：解方程组解：解方程组3x+4y - 2 =02x+y+2 = 0l1与与l2的交点是的交点是M（- 2，2）解：解方程组解：解方程组x - 2y+2=02x - y - 2=0l1与与l2的交点是（的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为设经过原点的直线方程为y=k x把（把（2，2）代入方程，得）代入方程，得k=1，所求方程为，所求方程为y= xx= - 2y=2得得x= 2y=2得得?0)22(243 ,图形有何特点表示什么图形方程变化时当yxyx得交点解方程组解0220243:yxyx)2 , 2(A的直线系经过定点图形的特点是不包括直线
9、表示的图形是一条直线方程变化时故当)2 , 2(:);022(0)22(243 ,Ayxyxyx例例3 3. .求直线求直线3x+2y3x+2y1=01=0和和2x2x3y3y5=05=0的交点的交点M M的的坐标，并证明方程坐标，并证明方程3x+2y3x+2y1+1+( (2x2x3y3y5 5）=0=0（为任意常数）表示过为任意常数）表示过M M点的所有直线（不包点的所有直线（不包括直线括直线2x2x3y3y5=05=0）。）。证明：联立方程证明：联立方程3x+2y1=02x3y5=0oxy(1, - 1)M解得：解得：x=1y= - 1代入：代入：x+2y1+（2x3y5）= 0得得 0
10、+0=0M点在直线上点在直线上A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+( (A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2）=0=0是过直是过直线线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的的交点的直线系方程。直线系方程。M（1，- 1）即即例例4 4. .判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：交点的坐标：（1 1）l l1 1:x-y=0, l:x-y=0, l2 2:3x+3y-10=0;:3x+3y-10=0;（2 2）l l1 1:3x
11、-y+4=0, l:3x-y+4=0, l2 2:6x-2y=0;:6x-2y=0;（3 3）l l1 1:3x+4y-5=0, l:3x+4y-5=0, l2 2:6x+8y-10=0;:6x+8y-10=0;参见书参见书P103例例2(1), )5 5相交于点M(3 312(2) /ll12(3)ll与 重合例例5 5. .求经过两条直线求经过两条直线x+2yx+2y1=01=0和和2x2xy y7=07=0的交点，的交点，且垂直于直线且垂直于直线x+3yx+3y5=05=0的直线方程。的直线方程。解法一：解法一：解方程组解方程组x+2y1=0，2xy7=0得得x=3y= 1这两条直线的交
12、点坐标为（这两条直线的交点坐标为（3，-1）又又直线直线x+2y5=0的斜率是的斜率是1/3所求直线的斜率是所求直线的斜率是3所求直线方程为所求直线方程为y+1=3（x3）即）即 3xy10=0解法二：解法二：所求直线在直线系所求直线在直线系2xy7+(x+2y1)=0中中经整理，可得（经整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =3 2+ 21解得解得 = 1/7因此，所求直线方程为因此，所求直线方程为3xy10=0练习：练习：1 1、不论、不论m m为何实数，直线为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点恒过定点 。 2 2、过两直线、过两直线2x-y
13、+4=02x-y+4=0和和x-y+5=0 x-y+5=0的交点，且与直线的交点，且与直线y=xy=x垂直的直线的方程是垂直的直线的方程是 。3 3、当、当a a为何值时，三条直线为何值时，三条直线: : x+y-2=0,x-y=0,x+ay-3=0 x+y-2=0,x-y=0,x+ay-3=0才能构成一个三角形才能构成一个三角形? ?x+y-7=0a1且且a2(-2,3)课堂练习：课堂练习：P104练习练习1,22121 方程组方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 有唯一解有唯一解两直线相交两直线相交(有一个交点有一个交点)小结小结：1、两条直线相交的判定、两条直线相交
14、的判定 方程组方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 无解无解两直线平行两直线平行(没有交点没有交点)212121CC小结小结：2、两条直线平行的判定、两条直线平行的判定 方程组方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 有无穷多解有无穷多解两直线重合两直线重合212121CC小结小结：3、两条直线重合的判定、两条直线重合的判定小结：小结：4、三种位置关系、直线系方程、三种位置关系、直线系方程（1 1）在同一平面内两条直线有在同一平面内两条直线有三种三种位置关系：位置关系：相交相交、平行平行、重合重合相应的由直线组成的二元一相应的由直线组成的二元一次方程组有
15、次方程组有唯一解唯一解、无解无解、无穷多个解无穷多个解. .（2 2）直线方程）直线方程A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+ + （A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2）=0 =0 ( ( R)R)是过是过A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0交点的交点的直线系直线系方程。方程。21212121,llllllll 方程组的解的各种情况分别对应的两条直线方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系的位置关系如下如下: :当当 时，两条直线时，两条直线相交相交，交点坐标为，交点坐标为A1A2
16、B1B2当当 = 时，两直线时，两直线平行平行；A1 B1 C1A2 B2 C2当当 = = 时，两条直线时，两条直线重合重合。A1 B1 C1A2 B2 C2A1B2A2B1（ , ）B1C2B2C1A1B2A2B1C1A2C2A1两条直线的位置关系：平行、相交、重合两条直线的位置关系：平行、相交、重合0,0A:0A:222222222111111均不为或或CBACyBxbxkylCyBxbxkyl(1)、212121212121AAb/CCBBbkkll或且(2)、21212121BBAAkkll或相交与(3)、212121212121CCBBAAbbkkll或且重合与 （注：如果（注：如
17、果A2，B2 , C2中有一个为中有一个为0，另行讨论），另行讨论）作业作业:必做作业必做作业:试卷试卷:(选择题选择题和和填空题填空题也要有也要有说明理由说明理由或或主要的步骤主要的步骤)例例1.1.求经过原点及两直线求经过原点及两直线3x-y-2=03x-y-2=0与与2x+y+4=02x+y+4=0交点交点的直线方程。的直线方程。51652042023yxyxyx解法一解法一： 解方程组解方程组两直线的交点为：两直线的交点为：所求直线方程为：所求直线方程为：即：即：y=8xy=8x51652,52516xy应用：应用：1、求交点或求过交点的直线方程：、求交点或求过交点的直线方程：解法二解
18、法二：因为所求直线过两直线：因为所求直线过两直线3x-y-2=03x-y-2=0与与2x+y+4=02x+y+4=0交点，交点，可设此直线为：可设此直线为：3x-y-2+m(2x+y+4)=03x-y-2+m(2x+y+4)=0又直线过点（又直线过点（0 0，0 0），），将将x=0,y=0 x=0,y=0代入上式解得：代入上式解得：m=1/2m=1/2所求直线方程为：所求直线方程为：3x-y-2+1/2(2x+y+4)=03x-y-2+1/2(2x+y+4)=0即：即：8x-y=08x-y=0注注：直线方程：直线方程A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+ + （A A2 2x+B
19、x+B2 2y+Cy+C2 2）=0 =0 ( ( R)R)是过是过A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0交点的交点的直线系直线系方程。方程。例例2 2. . 已知两条直线已知两条直线L L1 1:x+my+6=0 :x+my+6=0 L L2 2: (m-2)x+3y+2m=0: (m-2)x+3y+2m=0当当m m为何值时，两直线会相交；平行；重合为何值时，两直线会相交；平行；重合分析分析：只须看各系数是否对应成比例。：只须看各系数是否对应成比例。326213, 132121212121mmmCCAAmmmmB
20、BAA应用：应用：2、由一般式方程研究两直线的位置关系：、由一般式方程研究两直线的位置关系：故：故：m-1m-1且且m3m3两直线相交，两直线相交， m=-1m=-1两直线平行两直线平行m=3m=3两直线重合两直线重合应用：应用：3 3、过定点的讨论：、过定点的讨论：例例3 3. .已知直线方程为已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0。求证：无论。求证：无论a a为何实数值，为何实数值，直线必过定点直线必过定点. .证法一证法一：令：令a=0a=0，直线方程为：，直线方程为：x-2y+5=0,x-2y+5=0,令令a=1a=1
21、，直线方程为：，直线方程为：3x-y-13=03x-y-13=0联立联立将将x=3,y=4x=3,y=4代入方程代入方程(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0 (2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0 ，左边左边=3(2a+1)+4(3a-2)-18a+5=0=3(2a+1)+4(3a-2)-18a+5=0=右边右边。 x=3,y=4x=3,y=4满足方程，故无论满足方程，故无论a a为何实数值，直线为何实数值，直线(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0必过定点必过定点(3,4)(3,4)430133052yxyxyx，得证法
22、二：证法二：证明直线证明直线恒过定点恒过定点，将直线写成关于，将直线写成关于a a的函的函数式，由数式，由系数为零系数为零，得出关于，得出关于x,yx,y的值，即为定值。的值，即为定值。证明证明:将(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0化为: x-2y+5+a(2x+3y-18)=0.aR, x-2y+5=0且2x+3y-18=0方程是过两定直线x-2y+5=0, 2x+3y-18=0交点(3,4)的直线方程。故无论a为何实数值，直线(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0必过定点(3,4)应用：应用：4、求字母的取值：、求字母的取值：例例4. 已知点已知点P P（-2-2，1
23、1）和点）和点Q Q（3 3，2 2），若直），若直线线L L：ax+y+2=0ax+y+2=0与线段与线段PQPQ相交，求相交，求a a的取值范围。的取值范围。解：直线解：直线PQPQ方程为（方程为（y-1)/(2-1)=(x+2)/(3+2),y-1)/(2-1)=(x+2)/(3+2),即即x-5y+7=0 x-5y+7=0与与ax+y+2=0ax+y+2=0联立方程组解得直线联立方程组解得直线L L与与线段线段PQPQ的交点的交点纵坐标纵坐标为为 y=(7a-2)/(5a+1)y=(7a-2)/(5a+1)所以，所以，1(7a-2)/(5a+1)21(7a-2)/(5a+1)2，解得：
24、解得： a 4/3a 4/3或或a -3/2a -3/2练习练习1、两条直线两条直线x+my+12=0 x+my+12=0和和2x+3y+m=02x+3y+m=0的交点在的交点在y y轴上，则轴上，则m m的值是的值是( )( ) （A A）0 0 （B B）24 24 （C C）6 6 （D D）以上都不）以上都不对对练习练习2、若直线若直线kxkxy+1=0y+1=0和和x xky= 0ky= 0相交，且交点相交，且交点在第二象限，则在第二象限，则k k的取值范围是的取值范围是( )( ) （A A）（）（- 1- 1，0 0） （B B）（）（0 0，1 1 （C C）（）（0 0，1
25、1） （D D）（）（1 1，）练习练习3、若两直线若两直线( (3 3a a) )x+4y=4+3ax+4y=4+3a 与与2x+2x+( (5 5a a) )y=7y=7平行，则平行，则a a的值是的值是( )( )（A A）1 1或或7 7 （B B）7 7 （C C）1 1 （D D）以上都错）以上都错CAB练习练习4、直线直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0重合，重合，则必有则必有( )( )（A A）A A1 1=A=A2 2，B B1 1=B=B2 2，C C1 1=C=C2 2 （B B
26、）（C C）两条直线的斜率相等截距也相等）两条直线的斜率相等截距也相等（D D）A A1 1=mA=mA2 2，B B1 1=mB=mB2 2，C C1 1=mC=mC2 2，（，（mRmR，且，且m0m0）2 21 12 21 12 21 1C CC CB BB BA AA AD两直线方程组成两直线方程组成的方程组的的方程组的解解（个数）（个数）两直线的两直线的交点交点（个数）（个数）一一对应一一对应唯 一 解无 穷 多 解无 解121212,llllll相 交重 合平 行练习练习5 5、一元一次方程、一元一次方程ax=bax=b的解的情况是：的解的情况是：当当a0a0时，时， ; ;当当a=0,b0a=0,b0时，时， ; ;当当a=0,b=0a=0,b=0时，时， . .有唯一解有唯一解无解无解有无数解有无数解1、两直线的位置关系、两直线的位置关系相交相交：平行：平行：重合：重合：垂直相交垂直相交斜交斜交有无穷多个交点有无穷多个交点没有交点没有交点只有一个交点只有一个交点00222111CyBxACyBxA2、一个二元一次方程组、一个二元一次方程组的解情况是怎样的？的解情况是怎样的？方程组有唯一解。两直线相交方程组有无数多个解；两直线重合方程组无解；两直线平行0BABA) 3(00)2(00) 1 (12211221122112211221CBCBBABACBCBBABA
