1、第六章狭义相对论内内 容容 概概 要要 1. 1. 四维电流密度矢量四维电流密度矢量 2. 2. 四维势矢量四维势矢量 3. 3. 电磁场张量电磁场张量 4. 4. 电磁场的不变量电磁场的不变量6.5 6.5 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的. 在在不同惯性系中不同惯性系中, 物理规律应该可以表为相同形式物理规律应该可以表为相同形式. 如果如果表示物理规律的方程是协变的话表示物理规律的方程是协变的话, 它就满足相对性原它就满足相对性原理的要求理的要求. 因此因此, 用四维形式可以很方便地把相对性原用四维形
2、式可以很方便地把相对性原理的要求表达出来理的要求表达出来. 只要我们知道某方程中各物理量只要我们知道某方程中各物理量的变换性质的变换性质, 就可以看出它是否具有协变性就可以看出它是否具有协变性. 四维矢量在参考系变换下有四维矢量在参考系变换下有GF GGaFaF在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性. 相对性原理相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的要求一切惯性参考系都是等价的. 1. 四维电流密度矢量四维电流密度矢量体元有体元有洛伦兹收缩洛伦兹收缩不变量VQd022d)(1dVcuV电荷密度增大电荷密度增大电荷电荷Q是一个洛伦兹标量是一个洛伦兹标
3、量0220)(1ucu电流密度电流密度uuJu0引入电流密度的第四分量引入电流密度的第四分量 cJi4ctxxi ,四维空间矢量四维空间矢量电流密度四维矢量电流密度四维矢量cJJi ,四维矢量四维矢量UJ00tJ电荷守恒定律电荷守恒定律四维形式表为四维形式表为0 xJ还有哪些物理还有哪些物理量之间有量之间有统一性？统一性？)i ,(ctrxckki ,cJJi ,cAAi, 电流密度电流密度 和电荷密度和电荷密度 合为四维矢量显示出这两合为四维矢量显示出这两物理量的物理量的统一性统一性. 和和 是一个统一的物理量的不同方是一个统一的物理量的不同方面面, 当参考系变换时当参考系变换时, 它们有确
4、定的变换关系它们有确定的变换关系. JJ022220222211tcJtAcA洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件012tcA2. 四维势矢量四维势矢量达达朗朗贝贝尔尔方方程程四维微商算符四维微商算符tcxi1,200cJA洛伦兹标量算符洛伦兹标量算符( (达朗贝尔算符达朗贝尔算符): ): xxtc22221cAAi,四维势矢量四维势矢量200cJAJA0012tcA0 xAAaA )(2xzzyyxxvAAAAAcvAA电磁场方程的协变形式电磁场方程的协变形式电磁场运动方程：电磁场运动方程：022220222211tcJtAcA012tcA0tJ电磁场方程在洛伦兹变换下是协变的，符合相对论原理电磁
5、场方程在洛伦兹变换下是协变的，符合相对论原理.cAAi ,cJJi ,JA00 xA0 xJ0321AAA例例1 求运动电荷产生的电磁势求运动电荷产生的电磁势. 解解在电荷静止的惯性系在电荷静止的惯性系S中，电荷产生的电磁势为中，电荷产生的电磁势为rqciciA044电荷运动的惯性系电荷运动的惯性系S中（设电荷沿中（设电荷沿x轴方向运动）：轴方向运动）：)(1Av rq0412/12/20)(41rrq2/12/220)(41rrq032 AA211cvAA22cvcv或写成普通的矢势、标势：或写成普通的矢势、标势：2cvA2/12/2220)1 (41rcvrqtAEAB,i,4114132
6、231xAxAcExAxAB3. 电磁场张量电磁场张量电磁场电磁场 用势表出为用势表出为BE和由四维电磁矢势，可以构造出一个反对称张量：由四维电磁矢势，可以构造出一个反对称张量：xAxAF321122112BxAxAFF231133113BxAxAFF132233223BxAxAFF1114114ii1EctAcxcFF2224224ii1EctAcxcFF3334334ii1EctAcxcFF电磁场张量电磁场张量0iiii0i0i0321312213123EcEcEcEcBBEcBBEcBBF麦克斯韦方程的四维形式麦克斯韦方程的四维形式xAxAxxFAxAxJ00iiii0i0i032131
7、2213123cEcEcEcEBBcEBBcEBBFJtEcB0213 , 2 , 104ExFxFxFxAxAxxAxAxxAxAx0)(0 恒等式xFxF0)3 , 2 , 1 (),(B0)4 , 3 , 2(),4 , 3 , 1 (),4 , 2 , 1 (),(tBE0 xA电磁场变换电磁场变换aFaFaaF00i01000010i000iiii0i0i000i01000010i00321312213123cEcEcEcEBBcEBBcEBB00i01000010i00)(i)(iii0i0i)()(123321312213132231cEcBcEcBcEcEcEBBcEBBcEc
8、EBcEBcE0)(i)(ii)(i0)()(i0)(i)()(023321231323212313223cBcEcBcEcEcBcEBcEBcBcEBcEBcEcEBcEB导出电磁场的变换关系导出电磁场的变换关系2233232211cvEBBcvEBBBB23332211vBEEvBEEEE矢量形式：矢量形式：BvEEEE ,/2/ ,cEvBBBB当当vc c时时, ,非相对论电磁场变换式非相对论电磁场变换式BvEE2cEvBB 矢势和标势统一为四维矢量以及电场和矢势和标势统一为四维矢量以及电场和磁场统一为四维张量磁场统一为四维张量, ,反映出电磁场的统一反映出电磁场的统一性和相对性性和相
9、对性. . 电场和磁场是一种物质的两个电场和磁场是一种物质的两个方面方面. . 在给定参考系中在给定参考系中, ,电场和磁场表现出电场和磁场表现出不同性质不同性质, , 但是当参考系变换时但是当参考系变换时, , 他们可以他们可以互相转换互相转换. . 0 ,430BrreE解解 选参考系选参考系固定在粒子上固定在粒子上. 在在上观察时上观察时, 粒子静止粒子静止, 只有只有静电场静电场, 其电磁场强度为其电磁场强度为3023030230304 ,44 ,40 ,4ryecvBrzeErzecvBryeEBrxeEzzyyxx例例2 求以匀速求以匀速 运动的带电荷运动的带电荷e 的粒子的电磁场
10、的粒子的电磁场. v设在参考系设在参考系上观察上观察, 粒子以速度粒子以速度 沿沿x轴方向运动轴方向运动. 由变换式的由变换式的反变换反变换(v改为改为 v)得得vzzyyxx , ,把上式用把上式用 系的距离表出系的距离表出. 设粒子经过设粒子经过 系原点的时刻为系原点的时刻为t = 0, 并且在同一时刻观察各点上的场值并且在同一时刻观察各点上的场值. 由洛伦兹变换式得由洛伦兹变换式得2/1222222)()(zyxzyxr2/322220)()(41zyxreE2/322222201 141crvrcvrcve2/32222222201 141xcvrcvrcveEcvB230024 rr
11、veEcvB由毕奥由毕奥-萨伐萨伐尔定律尔定律dVrrvdVrr xJB30304)(4（1）当）当vc时时, 略去略去(v/c)2级项级项0304ErreE讨论：讨论：2/322222201 141crvrcvrcveEEcvB2静电场静电场对于运动电荷对于运动电荷304 rrveB0rvvrrv022302/32222220141 141EcvrrecrvrcvrcveE030222/3222222220411 141ErrecvrcvrcvrcveE（2）当）当vc时时, 在与在与 垂直垂直的方向上观测电场的方向上观测电场v（3）当当vc时时, 在与在与 平行平行的方向上观测电场的方向上
12、观测电场v)(20vEEEvHES0rrSvwvES20EecBx21构造另一个洛伦兹不变量构造另一个洛伦兹不变量. . 引入四维全反对称张量引入四维全反对称张量 , ,定义为定义为: : =+1, =+1, 若若可以经过偶次置换变为可以经过偶次置换变为1234;1234; =-1, =-1, 若若可以经过奇次置换变为可以经过奇次置换变为1234;1234; =0, =0, 若若有任意两个指标相同有任意两个指标相同. . 用指标收缩用指标收缩, ,可以由电磁场张量可以由电磁场张量F构成洛伦兹不构成洛伦兹不变量变量222121EcBFF全反对称张量在参考系变换下不变全反对称张量在参考系变换下不变
13、, , 因为由张量变换因为由张量变换性质性质4. 电磁场的不变量电磁场的不变量标标量量et daaaaa利用全反对称张量利用全反对称张量, 可以由电磁场张量构成另一不变量可以由电磁场张量构成另一不变量: EBcFF18i若在某一惯性参考系中若在某一惯性参考系中 cEB ) ,(夹角为和EBEB则在任何惯性系中将同样有则在任何惯性系中将同样有 cEB ) ,(夹角为和EBEB 电场和磁场在很大程度上可以相互电场和磁场在很大程度上可以相互“转换转换”，但，但有两个变换不变量：有两个变换不变量：22222211EcBEcBEBEB 的性质与参考系无关，即在某惯性的性质与参考系无关，即在某惯性系成立，则任何惯性系均成立系成立，则任何惯性系均成立. .0,222cEB 电场与磁场的夹角是锐角、直角，还是钝角的特电场与磁场的夹角是锐角、直角，还是钝角的特性与参考系无关性与参考系无关. . 总能找到一个惯性系，使得某给定点电磁场平行总能找到一个惯性系，使得某给定点电磁场平行或反平行或反平行( (两者垂直情况除外两者垂直情况除外).). 若在某参考系中电场或磁场为零，则在其他参考若在某参考系中电场或磁场为零，则在其他参考系中它们一定垂直或为零系中它们一定垂直或为零. .
