1、第9章 一元非参数回归1参数回归与非参数回归的优缺点比较：参数回归与非参数回归的优缺点比较：参数回归：参数回归：优点：优点：(1).(1).模型形式简单明确，仅由一些参数表达模型形式简单明确，仅由一些参数表达 (2). (2).在经济中，模型的参数具有一般都具有明确的经济含义在经济中，模型的参数具有一般都具有明确的经济含义 (3).(3).当模型参数假设成立，统计推断的精度较高，能经受实际检验当模型参数假设成立，统计推断的精度较高，能经受实际检验 (4). (4).模型能够进行外推运算模型能够进行外推运算 (5). (5).模型可以用于小样本的统计推断模型可以用于小样本的统计推断缺点：缺点：(
2、1).(1).回归函数的形式预先假定回归函数的形式预先假定 (2).(2).模型限制较多：一般要求样本满足某种分布要求，随机误差满足模型限制较多：一般要求样本满足某种分布要求，随机误差满足 正态假设，解释变量间独立，解释变量与随机误差不相关，等正态假设，解释变量间独立，解释变量与随机误差不相关，等 (3) (3)需要对模型的参数进行严格的检验推断，步骤较多需要对模型的参数进行严格的检验推断，步骤较多 (4).(4).模型泛化能力弱，缺乏稳健性，当模型假设不成立，拟合效果模型泛化能力弱，缺乏稳健性，当模型假设不成立，拟合效果 不好，需要修正或者甚至更换模型不好，需要修正或者甚至更换模型非参数回归
3、：非参数回归：优点：优点：(1)(1)回归函数形式自由，受约束少，对数据的分布一般回归函数形式自由，受约束少，对数据的分布一般不做任何要求不做任何要求 (2) (2)适应能力强，稳健性高，回归模型完全由数据驱适应能力强，稳健性高，回归模型完全由数据驱动动 (3) (3)模型的精度高模型的精度高 ;(4);(4)对于非线性、非齐次问题，有非对于非线性、非齐次问题，有非常好的效果常好的效果缺点缺点：(1)(1)不能进行外推运算不能进行外推运算,(2),(2)估计的收敛速度慢估计的收敛速度慢 (3) (3)一般只有在大样本的情况下才能得到很好的效一般只有在大样本的情况下才能得到很好的效果，果， 而小
4、样本的效果较差而小样本的效果较差 (4) (4)高维诅咒高维诅咒, , 光滑参数的选取一般较复杂光滑参数的选取一般较复杂非参数回归方法样条光滑样条光滑正交回归正交回归核回归：核回归：N-WN-W估计、估计、P-CP-C估计、估计、G-MG-M估计估计（9.19.1） 局部多项式回归：线性、多项式局部多项式回归：线性、多项式（9.29.2） 光滑样条：光滑样条、光滑样条：光滑样条、B B样条样条近邻回归：近邻回归：k-NNk-NN、k k近邻核、对称近邻（近邻核、对称近邻（9.49.4） 正交级数光滑（正交级数光滑（9.59.5） 稳健回归：稳健回归：LOWESSLOWESS、L L光滑、光滑、
5、R R光滑、光滑、M M光滑光滑 -（9.39.3） 局部回归局部回归FourierFourier级数光滑级数光滑waveletwavelet光滑光滑处理高维的非参数方法：多元局部回归、薄片样条、处理高维的非参数方法：多元局部回归、薄片样条、 可加模型、投影寻踪、可加模型、投影寻踪、 回归树、张量积，等回归树、张量积，等4核函数核函数K K ：函数：函数K(.)K(.)满足满足: :( )0K x 22( )Kx Kx dx ( )0 xKx dx ( )1Kx dx (2)(3)(4 )2()KcKxdx 常见的核函数：常见的核函数：ParzenParzen 核：核：(1)GaussianG
6、aussian核：核：EpanechnikovEpanechnikov核：核：tricubetricube核：核：( ) 1/2 ( )K xI x2/ 2( )1/2xK xe2( )3/4(1) ( )K xxI x3 3( )70/81(1 | )( )K xxI x( )I x为示性函数为示性函数5回归模型：回归模型：()Ymx20,( )EVar(1)(1)模型为随机设计模型模型为随机设计模型, ,样本观测样本观测 (X (X i i, Yi), Yi)iidiid(2)(2)模型为固定设计模型模型为固定设计模型Xi 为为R中中n个试验点列个试验点列, , i=1,2,n( )(|)
7、m xE YXxYi为固定为固定Xi的的n次独立观测，次独立观测，i=1,2,nm(x)为为一未知函数，用一些方法来拟合为为一未知函数，用一些方法来拟合定义：线性光滑定义：线性光滑 (linear smoother)(linear smoother)( )( )iiim xlx Y6光滑参数的选取光滑参数的选取风险风险( (均方误差均方误差) ) (mean squared error , MSE)(mean squared error , MSE)211( )( )( )nhiiiR hEmxm xn 理想的情况是希望选择合适的光滑参数理想的情况是希望选择合适的光滑参数h，使得通过样本数，使
8、得通过样本数据拟合的回归曲线能够最好的逼近真实的回归曲线据拟合的回归曲线能够最好的逼近真实的回归曲线( (即达到风险即达到风险最小最小) )，这里真实回归函数，这里真实回归函数m(x)一般一般是未知的。是未知的。 可能会想到用平均残差平方和来估计风险可能会想到用平均残差平方和来估计风险R(h)211()nihiiYmxn但是这并不是一个好的估计，会导致过拟合（欠光滑），但是这并不是一个好的估计，会导致过拟合（欠光滑），原因在于两次利用了数据，一次估计函数，一次估计风险。原因在于两次利用了数据，一次估计函数，一次估计风险。我们选择的函数估计就是使得残差平方和达到最小，因此我们选择的函数估计就是使
9、得残差平方和达到最小，因此它倾向于低估了风险。它倾向于低估了风险。 是是 的估计，的估计，h是光滑参数，称为带宽或窗宽是光滑参数，称为带宽或窗宽 ( )hm x( )mx7光滑参数光滑参数的选取的选取缺一交叉验证方法缺一交叉验证方法(leave-one-out cross validation , CV)(leave-one-out cross validation , CV)2()11( )()nii hiiCVR hYmxn这里这里 是略去第是略去第i个数据点后得到的函数估计个数据点后得到的函数估计()( )i hmx交叉验证的直观意义：交叉验证的直观意义：22()( 1)( )( )(
10、)( )ii hiiiihiE YmxE Ym xm xmx22( 1)22( 1)22( )( ( )( )( ( )( )( ( )( )iiihiihiihiE Ym xE m xmxE m xmxE m xm x2( ( )E R hR预测风险因此：因此：8光滑参数光滑参数的选取的选取定理：若定理：若 那么缺一交叉验证得分那么缺一交叉验证得分 能够写成：能够写成：1 ( )( )nhjjjm xx Y( )R h21 ( )1( )1nihiiiiYmxR hhL这里这里 是光滑矩阵是光滑矩阵L的第的第i个对角线元素个对角线元素( )iiiiLx 广义交叉验证广义交叉验证(genera
11、lized cross-(generalized cross-validation,GCVvalidation,GCV) )21 ( )1( )1/nihiiYm xGCV hhn其中：其中： 为有效自由度为有效自由度11/niiinnL( )tr L9光滑参数光滑参数的选取的选取其他标准其他标准(1)(1)直接插入法直接插入法(Direct Plug-In , DPI) (Direct Plug-In , DPI) 相关文献可以参考：相关文献可以参考： Wolfgang Hrdle(1994)，Applied Nonparametric Regression，Berlin Jeffrey D
12、.Hart (1997), Nonparametric Smoothing and Lack-of-Fit Tests， Springer Series in Statistics 李竹渝、鲁万波、龚金国李竹渝、鲁万波、龚金国(2007)，经济、金融计量学中的非，经济、金融计量学中的非参数估计技术，科学出版社，北京参数估计技术，科学出版社，北京 吴喜之译吴喜之译(2008)，现代非参数统计，科学出版社，北京，现代非参数统计，科学出版社，北京 (2)(2)罚函数法罚函数法(penalizing function) (penalizing function) (3)(3)单边交叉验证单边交叉验证(
13、One Sided Cross Validation(One Sided Cross Validation，OSCV)OSCV)(4)(4)拇指规则拇指规则(Rule Of Thumb)(Rule Of Thumb)109.1.9.1.核回归（核光滑）模型核回归（核光滑）模型N-WN-W估计是一种简单的加权平均估计，可以写成线性光滑：估计是一种简单的加权平均估计，可以写成线性光滑：局部回归局部回归由由NadarayaNadaraya(1964) (1964) 和和 Watson(1964) Watson(1964)分别提出，分别提出，（1 1）N-WN-W估计估计形式：形式： 11()( )(
14、)nnnhiNWninihjjKxXmxYKxX .1( )( )nNWniiimxx Y1()( )()nnhiinhjjKxXxKxX( )( /) /hKKhh 其中：其中： , , 为核函数，为核函数， 为带宽或窗宽为带宽或窗宽()Knh01x11局部回归局部回归(2) (2) G-MG-M估计估计由由Gasser and Gasser and MllerMller(1979)(1979)提出，形式如下提出，形式如下: :11( )()inisnGMnihisnxumxYKduh其中其中010,() / 2,1,1,1iiinssxxins写成线性光滑的形式写成线性光滑的形式: :1(
15、 )( )nGMniiimxx Y1( )()inisihsnx uxKduh12局部回归局部回归核估计存在边界效应，边界点的估计偏差较大核估计存在边界效应，边界点的估计偏差较大, ,以以N-WN-W估计为例，如下图估计为例，如下图13局部回归局部回归一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取14局部回归局部回归一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取15局部回归局部回归一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取可以看到
16、：拟合曲线的光滑度受到光滑参数可以看到：拟合曲线的光滑度受到光滑参数h h变化的影响变化的影响16局部回归局部回归核估计的渐近方差核渐近偏差核估计的渐近方差核渐近偏差核估计渐近偏差渐近方差N-W估计G-M估计22()2Khm fmdf22Khm d2( )Kxcnhf23( )2Kxcnhf其中，其中，h h为光滑参数，为光滑参数，f f为为X X的密度函数，且的密度函数，且2( )Kdu K u du2( )KcK u du17局部回归局部回归 9.2.9.2.局部多项式回归局部多项式回归多项式的回归模型多项式的回归模型()Ym X2012( )ppm xxxx其中其中 可由最小二乘法估计可
17、由最小二乘法估计, , 即即 01(,)Tp21arg min()niiiYm X局部多项式回归：对局部多项式回归：对m(x)m(x)在在u u处进行处进行p p阶泰勒展开，略去阶泰勒展开，略去p p阶阶高阶无穷小量，得到高阶无穷小量，得到m(x)m(x)在在u u处的一个处的一个p p阶多项式近似，即阶多项式近似，即01( )( )( )()( )()ppm xuu xuu xu( )( )( )/ !,1,2,jjumujjp此时，此时，x x应该靠近应该靠近u u，且，且18局部回归局部回归通过最小二乘来估计系数通过最小二乘来估计系数01( )( ),( ),( )Tpuuuu注意：是在
18、注意：是在x x的一个邻域内进行多项式估计，因此，最小二乘应的一个邻域内进行多项式估计，因此，最小二乘应该与该与x x的邻域有关的邻域有关局部加权平方和：局部加权平方和：2011( )()() )(),nnpiiipihinxXYxxXxXKh使上述问题最小化，可以得到系数的局部多项式的最小二乘估计使上述问题最小化，可以得到系数的局部多项式的最小二乘估计可以很容易得到，取可以很容易得到，取p=0p=0时为局部常数估计，即时为局部常数估计，即N-WN-W核估计核估计取取p=1p=1，为局部线性估计，为局部线性估计19局部回归局部回归写成矩阵形式：写成矩阵形式：(-)(-)TxxxYXWYX使上式
19、最小化，可以得到系数的估计使上式最小化，可以得到系数的估计-1( )=()TTxxxxxxX W XX W Y其中其中1122()1!()1!()1!ppxpnnxxxxpxxxxXpxxxxp1()nixnhn nnxxWh diag Kh12nYYYY 20局部回归局部回归得到加权最小二乘估计得到加权最小二乘估计-1( )( )()LPETThxxxxxxxmxXxX X W XX WY当当p=1p=1时（局部线性估计）的渐近偏差和渐近方差时（局部线性估计）的渐近偏差和渐近方差2( )( ),2LPEhKhbias mxm x d2( )( )( )LPEhKxVar mxcnhf x其中
20、其中2( )Kdu K u du2( )KcKu du可以看到局部线性回归的渐近方差和可以看到局部线性回归的渐近方差和N-WN-W估计相同，估计相同，而渐近偏差却比而渐近偏差却比N-WN-W回归小，说明局部线性多项式回归小，说明局部线性多项式可以减少边界效应，局部线性估计由于可以减少边界效应，局部线性估计由于N-WN-W估计估计21局部回归局部回归局部多项式光滑可以很好的减少边界效应局部多项式光滑可以很好的减少边界效应22局部回归局部回归检验函数检验函数(Doppler(Doppler函数函数) )2.1( )(1)sin,010.05m xxxxx23局部回归局部回归使用使用GCVGCV选取
21、最优带宽选取最优带宽h=0.017h=0.017，权函数为，权函数为tricubetricube核函数核函数24局部回归局部回归使用使用GCVGCV选取最优带宽选取最优带宽h=0.017h=0.017，权函数为权函数为tricubetricube核函数核函数25局部回归局部回归9.4.9.4.近邻光滑近邻光滑(1) (1) k-NNk-NN回归回归(k-nearest neighbor regression)(k-nearest neighbor regression)1 ( , )( , )nniiimx kx k Y,1/( )0,x kik iIxotherwise其中其中 = = i
22、: : xi是离是离x最近的最近的k个观测值之一个观测值之一 , x kIK-NNK-NN估计的渐近偏差和渐近方差：估计的渐近偏差和渐近方差：231( , )( , )( )(2)( )( / )24( )nnbias m x kEm x km xm fm fxk nfx2( )( , )nxVar mx kk对于随机设计模型，近邻估计写成线性光滑器的形式对于随机设计模型，近邻估计写成线性光滑器的形式权函数：权函数：26局部回归局部回归(1) (1) k-NNk-NN回归回归(k-nearest neighbor regression)(k-nearest neighbor regressio
23、n)27局部回归局部回归(1) (1) k-NNk-NN回归回归(k-nearest neighbor regression)(k-nearest neighbor regression)28局部回归局部回归(2)(2)k- k-近邻核回归近邻核回归K K近邻核估计的权重近邻核估计的权重1()( , )()RiinRiiKxxx kKxx其中其中R为为xi 中中离离x最近的第最近的第k k个距离，个距离，K K为核函数为核函数()() /) /RiiKxxKxxRR渐近偏差和渐近方差：渐近偏差和渐近方差：232 ( , )( , )( ) ( )( )8nnKkm fm fbias m x k
24、Em x km xx dnf22( )( , )nKxVar m x kck29局部回归局部回归(2)(2)k- k-近邻核回归近邻核回归30局部回归局部回归(2)(2)k- k-近邻核回归近邻核回归31局部回归局部回归9.3. 9.3. 稳健光滑稳健光滑(1)(1)局部加权描点光滑局部加权描点光滑(Locally Weighted Scatter plot Smoothing, LOWESS)(Locally Weighted Scatter plot Smoothing, LOWESS)Step1Step1: :在在x x的邻域内，用一个多项式进行拟合，求出系数的邻域内，用一个多项式进行拟
25、合，求出系数 j 21111(,)argmin( , )nnTipiijijnx kYx其中其中w wi(x,k) 为为k-NN权权Step2Step2: :根据残差根据残差 计算尺度估计计算尺度估计 ， i|imedian定义稳健权重定义稳健权重(/(6 )iiK2 2( )(15/16)(1)(| 1)K uuI uStep3Step3: :用新的权重用新的权重 重复重复Step1Step1、Step2Step2，直到第，直到第N N次结束次结束( )ikiWx32(1)(1)局部加权描点光滑局部加权描点光滑( LOWESS)( LOWESS)局部回归局部回归33(1)(1)局部加权描点光
26、滑局部加权描点光滑( LOWESS)( LOWESS)局部回归局部回归349.59.5正交光滑正交光滑1. 1.正交多项式回归正交多项式回归回归函数回归函数0( )( )jjjm xx 其中其中 是正交基函数，如是正交基函数，如Laguerre, Legendre正交多项式正交多项式0 ( )jjx正交基满足正交基满足110,( )( )1,jkikxx dxik系数系数11110( )( )( )( )jkkjjkxx dxm xx dx 系数估计系数估计111( )( )( )injjijAim xx dxYx dx1 1,1,niiA ,ikAAik如如(1),( )iiiAxx35正交
27、光滑正交光滑回归函数估计回归函数估计( )0( )( )N nNjjjmxx 写成线性光滑器：写成线性光滑器：( )011 ( )( )( )( )iN nnnNijjNiiAjiimxYu duxWx Y ()0( )( )( )iN nNijjAjWxu dux 36LegendreLegendre正交多项式正交多项式正交光滑正交光滑0( )1/2P x 1( )/2/3P xx2122( )(31)/2/5P xx3132( )(53 )/2/7P xxx42148( )(35303)/ 2/9P xxx53158( )(637015 )/2/11P xxxx11(1)( )(21)(
28、)( )mmmmPxmxP xmPx379.69.6罚最小二乘法罚最小二乘法在普通最小二乘法中，求最小二乘法中，求达到最小，有无穷解。达到最小，有无穷解。为排除误差项产生的噪声，使解具有光滑为排除误差项产生的噪声，使解具有光滑性（二阶导数连续），性（二阶导数连续），二阶罚方法二阶罚方法是一个是一个很好的选择。很好的选择。3812()niiiYmX二阶罚二阶罚最小二乘最小二乘3912012( )()niiim xdxYm X罚罚最小二乘法是，使最小二乘法是，使达到最小，解为达到最小，解为 。 为平滑参数。为平滑参数。 这里解唯一。这里解唯一。 时，通过观察点的曲线解无意义。时，通过观察点的曲线解无意义。 时，直线解也没意义。时，直线解也没意义。选取方法一样是选取方法一样是GCVGCV法。法。,()0nm0
