1、西南财经大学经济数学学院 刘刘 丽丽 模糊分析方法及其应用模糊分析方法及其应用参考资料：参考资料：1 杨纶标、高英仪，模糊数学原理及其杨纶标、高英仪，模糊数学原理及其应用，华南理工大学出版社应用，华南理工大学出版社2 谢季坚、刘承平，模糊数学方法及其谢季坚、刘承平，模糊数学方法及其应用，华中科技大学出版社。应用，华中科技大学出版社。教材：教师自编讲义教材：教师自编讲义本课程的教学目标是使学生掌握模糊分析本课程的教学目标是使学生掌握模糊分析的主要方法，培养学生应用模糊分析方法的主要方法，培养学生应用模糊分析方法研究不确定性的复杂系统的能力。研究不确定性的复杂系统的能力。 第一章第一章 绪论绪论1
2、.1 模糊现象模糊现象确定性现象随机现象不确定性模糊现象一、一、 模糊性现象模糊性现象现象本身不确定，具有模糊性。它是由概念的模糊性产生的。例如：胖子，瘦子，例如：胖子，瘦子， 高山，大河，高山，大河， 富裕，贫困，富裕，贫困， 健康，不健康，健康，不健康， 年轻，年老，年轻，年老， 产品质量好，质量不好产品质量好，质量不好.模糊与清晰是相悖的：模糊与清晰是相悖的：凡在类属问题上判断凡在类属问题上判断“是是”与与“非非”的属清晰。的属清晰。 如：地球是如：地球是“行星行星”吗？是。吗？是。 鸡蛋呢？非。鸡蛋呢？非。 凡在类属问题上可用程度，等级区别的，凡在类属问题上可用程度，等级区别的，属模糊
3、。属模糊。 如：如：“高山高山”，青城山：高？不高？，青城山：高？不高？ （相比较而言）（相比较而言） 成都市的空气质量：好？不好？成都市的空气质量：好？不好？ （以等级划分）（以等级划分）二、二、 模糊数学的诞生与发展模糊数学的诞生与发展 在较长时间里，精确数学及随机数学在描述在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总现代科技所面对的
4、系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。是伴随着复杂性出现。 在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远。这些概念是不可以简单地用是、。这些概念是不可以简单地用是、非或数字来表示的。非或数字来表示的。 精确数学方法：精确数学方法：1.精确的定义精确的定义2.在精确定义的基础上进一步推理在精确定义的基础上进一步推理3.得出正确的，合乎常理的结论得出正确的，合乎
5、常理的结论模糊性现象无法采用精确数学方法模糊性现象无法采用精确数学方法解决解决例1 著名问题：著名问题：“秃头悖论秃头悖论” _古希腊学者发现古希腊学者发现秃头定义：秃头定义：n根头发者为秃头根头发者为秃头1n承认精确方法:不秃，于常理不合 承认常理: n+1根头发者为秃头 根呢 n+2根头发者为秃头 n+k根头发者为秃头v这样，这样，k可以取很大可以取很大v当当k很大时，结论很大时，结论:“头发很多者为头发很多者为秃头秃头”v这是一个不合常理的，荒谬的结论这是一个不合常理的，荒谬的结论例例2 2 .“找人找人”定义要找的人：定义要找的人：如果恰逢头发掉了一根，就找不到此人了。如果恰逢头发掉了
6、一根，就找不到此人了。太精确了，未必是好事太精确了，未必是好事!精确年龄，身高输入计算机胡子，头发的根数与长度眼镜的边框的厘米数，黑色的程度v但如果要你某日上午但如果要你某日上午10点在校门口接一个点在校门口接一个“大胡子，高个子，长头发，戴宽边黑色眼大胡子，高个子，长头发，戴宽边黑色眼镜的中年男人镜的中年男人”v这里只有一个精确信息这里只有一个精确信息男人男人v其余其余模糊的概念模糊的概念v经综合分析判断，就可以找到此人。经综合分析判断，就可以找到此人。v模糊，未必不好！模糊，未必不好！ 例例3. 有人曾经精确定义有人曾经精确定义:“GDP连续减少连续减少6个月则为个月则为经济衰退经济衰退”
7、 若从若从1月月1日起日起GDP连续减少，那到连续减少，那到6月月30日就是日就是6个个月，则月，则7月月1日就是经济衰退，而日就是经济衰退，而6月月30日则算是经日则算是经济繁荣。济繁荣。 这就有些不合常理。这就有些不合常理。 结论：精确数学不适用于解决模糊性问题于是，模糊数学诞生了。1.模糊数学的诞生模糊数学的诞生v模糊数学诞生于模糊数学诞生于1965年。年。v1965年，美国年，美国California大学的大学的L.A.Zadeh教教授发表了论文：授发表了论文：“fuzzy sets”，模糊数学便，模糊数学便作为一门独立的数学学科而诞生了。作为一门独立的数学学科而诞生了。Zadeh教授
8、这篇文章被公认为模糊数学诞生的标志。教授这篇文章被公认为模糊数学诞生的标志。 模糊数学的其它命名：模糊分析、模糊数学的其它命名：模糊分析、模糊学，模糊论。模糊学，模糊论。 2. 模糊数学的发展模糊数学的发展 Zadeh教授具有创新精神，又具有务实态度，教授具有创新精神，又具有务实态度，他的研究（隶属度，隶属数，模糊集合等）他的研究（隶属度，隶属数，模糊集合等）为模糊数学作为一门独立的学科建立了必要为模糊数学作为一门独立的学科建立了必要的基础。更为可贵的是的基础。更为可贵的是Zadeh的研究与解决的研究与解决现代科学技术的实际问题紧密地联系在一起。现代科学技术的实际问题紧密地联系在一起。这一新兴
9、的学科吸引了众多国内外科技工作这一新兴的学科吸引了众多国内外科技工作者的浓厚兴趣。因此，模糊数学理论和应用者的浓厚兴趣。因此，模糊数学理论和应用方面都呈现出朝气蓬勃的景象。方面都呈现出朝气蓬勃的景象。 模糊数学从诞生到现在已经四十多模糊数学从诞生到现在已经四十多年了，现在在自然科学，工程技术，年了，现在在自然科学，工程技术，社会、经济、农业科学各领域都有社会、经济、农业科学各领域都有广泛的应用。广泛的应用。 经典的集合论明确地规定：每一个集合都必经典的集合论明确地规定：每一个集合都必须由确定的元素所构成，元素对集合的隶属须由确定的元素所构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对
10、于关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论那些外延不分明的概念和事物，经典集合论没办法对模糊概念处理，运算就产生了模糊没办法对模糊概念处理，运算就产生了模糊集合论。集合论。 1965 年美国控制论学者年美国控制论学者L.A.扎德发表论文扎德发表论文模糊集模糊集合合，标志着这门新学科的诞生。在模糊集合中，标志着这门新学科的诞生。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是是”或或“否否”两种情况，而是用介于两种情况，而是用介于0和和1之间的实数来之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如表示隶属程度，还
11、存在中间过渡状态。比如“老人老人”是个模糊概念，是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程岁的肯定属于老人，它的从属程度是度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，按照查德给出的公式，55岁属于岁属于“老老”的程度为的程度为0.5，即，即“半老半老”，60岁属于岁属于“老老”的程度的程度0.8。 扎德认为，指明各个元素的隶属集扎德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶合，就等于指定了一个集合。当隶属于属于0和和1之间值时，就是模糊集合。之间值时，就是模糊集合。 模糊数学发展的主流是在它的应用方面。由模糊数学
12、发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。述。 例如模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊决策、例如模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊决策、模糊控制等。这些方法构成了一种模糊系统理模糊控制等。这些方法构成了一种模糊系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、
13、生物、农业、林业、化工、语言、控制、境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。 模糊数学的研究内容模糊数学的研究内容 模糊性数学自身的理论研究进展迅速。我国模糊性模糊性数学自身的理论研究进展迅速。我国模糊性数学自身的理论研究仍占模糊性数学及其应用学科数学自身的理论研究仍占模糊性数学及其应用学科的主导地位，所取得的研究成果在的主导地位，所取得的研究成果在模糊性数学模糊性数学、模糊系统与数学模糊系统与数学等数十种学术期刊和全国高校等数十种学术期刊和全国高校学报中经常可见，模糊聚类分析理论、模糊神经网学报中经常可见，模
14、糊聚类分析理论、模糊神经网络理论和各种新的模糊定理及算法不断取得进展。络理论和各种新的模糊定理及算法不断取得进展。 一、研究模糊性数学的理论一、研究模糊性数学的理论二、研究模糊语言学和模糊逻辑。二、研究模糊语言学和模糊逻辑。 人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以的思想的句子，
15、就可以用以0到到1之间的连续数来表之间的连续数来表征它从属于征它从属于“正确句子正确句子”的隶属程度。这样，就把的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。入研究。 三、研究模糊数学的应用。三、研究模糊数学的应用。 更多的学者和专家是搞应用的。主要的应用方面是：更多的学者和专家是搞应用的。主要的应用方面是： 模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，所涉及的技术复杂繁多，从微观到宏
16、观、的应用，所涉及的技术复杂繁多，从微观到宏观、从地下到太空无所不有，在机器人实时控制、电磁从地下到太空无所不有，在机器人实时控制、电磁元件自适应控制、各种物理及力学参数反馈控制、元件自适应控制、各种物理及力学参数反馈控制、逻辑控制等高新技术中均成功地应用了模糊性数学逻辑控制等高新技术中均成功地应用了模糊性数学理论和方法。理论和方法。 模糊性数学在计算机仿真技术、多媒体辨识模糊性数学在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展，如图像和文等领域的应用取得突破性进展，如图像和文字的自动辨识、自动学习机、人工智能、音字的自动辨识、自动学习机、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊
17、性数频信号辨识与处理等领域均借助了模糊性数学的基本原理和方法。学的基本原理和方法。 模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学、安全与劳动保护等领应用于经济管理、环境科学、安全与劳动保护等领域，如房地价格、期货交易、股市情报、资产评估、域，如房地价格、期货交易、股市情报、资产评估、工程质量分析、产品质量管理、可行性研究、人机工程质量分析、产品质量管理、可行性研究、人机工程设计、环境质量评价、资源综合评价、各种危工程设计、环境质量评价、资源综合评价、各种危险性预测与评价、灾害探测等均成功地应用了模糊险性预测与评价、灾害探测等均
18、成功地应用了模糊性数学的原理和方法。性数学的原理和方法。 地矿、冶金、建筑等传统行业在处理复杂不确定性地矿、冶金、建筑等传统行业在处理复杂不确定性问题中也成功地应用了模糊性数学的原理和方法，问题中也成功地应用了模糊性数学的原理和方法，从而使过去凭经验和类比法等处理工程问题的传统从而使过去凭经验和类比法等处理工程问题的传统做法转向数学化、科学化，如矿床预测、矿体边界做法转向数学化、科学化，如矿床预测、矿体边界确定、油水气层的识别、采矿方法设计参数选择、确定、油水气层的识别、采矿方法设计参数选择、冶炼工艺自动控制与优化、建筑物结构设计等都有冶炼工艺自动控制与优化、建筑物结构设计等都有应用模糊性数学
19、的成功实践。应用模糊性数学的成功实践。 我国医药、生物、农业、文化教育、体育等我国医药、生物、农业、文化教育、体育等过去看似与数学无缘的学科也开始应用模糊过去看似与数学无缘的学科也开始应用模糊性数学的原理和方法，如计算机模糊综合诊性数学的原理和方法，如计算机模糊综合诊断、传染病控制与评估、人体心理及生理特断、传染病控制与评估、人体心理及生理特点分析、家禽孵养、农作物品种选择与种植、点分析、家禽孵养、农作物品种选择与种植、教学质量评估、语言词义查找、翻译辨识等教学质量评估、语言词义查找、翻译辨识等均有一些应用模糊性数学的实践，并取得很均有一些应用模糊性数学的实践，并取得很好效果。好效果。 目前，
20、世界上发达国家正积极研究、试制具目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是度是1000万次万次/秒。秒。1988年，我国汪培庄教年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机机分立元件样机，它的推理速度为分立元件样机，它的推理速度为1500万次万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。关方面迈出了重要的一步。 经济：经济发展水平的评判，富裕，
21、小康，温饱，贫困分类，经济：经济发展水平的评判，富裕，小康，温饱，贫困分类，市场划分，产品质量评判市场划分，产品质量评判 工程技术：洗衣机，电冰箱，洗碗机，空调，腕式血压计工程技术：洗衣机，电冰箱，洗碗机，空调，腕式血压计广泛采用了模糊控制技术广泛采用了模糊控制技术 自然科学：自然灾害，环境的综合评判，计算机图像识别自然科学：自然灾害，环境的综合评判，计算机图像识别 医学：癌细胞识别，血白球识别与分类，计算机医疗诊断医学：癌细胞识别，血白球识别与分类，计算机医疗诊断 气象：天气预报，气候模拟试验，气象资料分析与决策气象：天气预报，气候模拟试验，气象资料分析与决策 农业：土壤分类，小麦样本识别农
22、业：土壤分类，小麦样本识别第二章第二章 模糊集合模糊集合2.1 2.1 经典集合概述经典集合概述一、一、 集合的基本概念集合的基本概念1 集合：具有某种特性的事物的全体。用集合：具有某种特性的事物的全体。用A，B等记等记2 论域：讨论集合时给出的研究对象的全体，用论域：讨论集合时给出的研究对象的全体，用U记。记。 注：论域本身是一种特殊的集合；注：论域本身是一种特殊的集合； 论域的选取一般不唯一。论域的选取一般不唯一。 如：讨论正整数集合时，论域可取为自然数如：讨论正整数集合时，论域可取为自然数 集合；集合；也可以取为整数集合，预先取定即可。也可以取为整数集合，预先取定即可。 v在讨论的论域中
23、取出一个元素在讨论的论域中取出一个元素a，同时给出一，同时给出一个集合个集合A， v 两者必居其一。两者必居其一。经典集合论的基本要求经典集合论的基本要求aAaA则或3、集合的分类有限集 集合的分类 无限集空集4 集合的表示法集合的表示法v枚举法枚举法v描述法描述法二、二、 集合的特征函数集合的特征函数定义定义2.1 设设A是论域是论域U中的集合，下述函数称为中的集合，下述函数称为集合集合A的特征函数的特征函数1,( )0,AxAxxA注：特征函数是布尔函数（取值为注：特征函数是布尔函数（取值为0，1的函的函数）数）三、三、 集合的幂集集合的幂集 定义定义2.2 设设U是一个集合，由是一个集合
24、，由U的所有子集作的所有子集作为元素构成的集合称为为元素构成的集合称为U的幂集，记作的幂集，记作J(U).四四 、集合的直积（笛卡儿积）、集合的直积（笛卡儿积）定义定义2.3 设设A与与B是两个集合，称是两个集合，称为为A与与B的直积，也称为的直积，也称为A与与B的笛卡儿积。的笛卡儿积。例如：例如： ( , ),A Ba b aA bB(1, ),(1,),(2, ),(2,) .A B则1,2 ,AB 五、五、 集合的关系集合的关系 包含：若包含：若 AB ABAB相等：若且aAaB则称则称A是是B的子集或的子集或B称包含称包含A.记作记作则称则称A与与B相等相等,记作记作A=B六、六、 集
25、合的运算及其性质集合的运算及其性质1.运算运算. AB并：AB交：cA补：AB差：2.性质(1)交换律交换律: , ,( ),A B CJ U U设是论域,ABBAABBA()()ABCABC()()ABCABC(2)结合律结合律:(3)分配律分配律: ()()()ABCACBCAAA()()()ABCACBCAAA(4)幂等律幂等律: (5)吸收律吸收律:()AABA()AABAAUUAA A AUA(6)01律律:(7)还原律还原律:()ccAA()()ccccccABABABABcAAUcAA (8)对偶律对偶律:(9)排中排中(互补互补)律律:七、七、 映射映射定义定义2.4 设设X，
26、Y是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对若存在一个对应规则应规则f yY,xX :( )fXYxf xy 有唯一元素有唯一元素则称则称f为由为由X到到Y的映射，记作：的映射，记作：与之对应，与之对应，2.2 模糊集合的概念模糊集合的概念一一 、模糊集合的定义、模糊集合的定义( )0.5Aux AAu( )AuxAu: 0,1 ( )0,1 AAuUxuxxU A则称映射则称映射确定了确定了U上的一个模糊集上的一个模糊集称为该模糊集的隶属函数称为该模糊集的隶属函数.为为x对模糊集对模糊集 的隶属度的隶属度.的点的点x称为过渡点称为过渡点.该点最具模糊性该点最具模糊性. 定义定义2.5 设设U
27、是论域，根据一个模糊概念，在是论域，根据一个模糊概念，在U上给定了一个映射上给定了一个映射F集的实质是二要素：模糊概念，映射.,( )0,1.AxUux 通常先有一个模糊概念，然后确定映射 ( )( )( )AAAuuxA xux与看作是相同的。为简便记，约定用代注：今后将； ( )AA x若映射的值域为0，1时， 就是经典集合，就是它的特征函数。由此可见，经典集合是模糊集合的特例。 例1. 由于人种，地理环境的不同，人们对“高个子”的理解也不同.设论域 123456(140),(150),(160),(170),(180),(190)Uxxxxxx“” “” “” .ABCU表示人的身高，那
28、么， 高个子， 中个子，矮个子，就是上的三个模糊集下面是用下面是用100人打分的方法确定的隶属度人打分的方法确定的隶属度.112233445566:( )0()0.1()0.3()0.5()0.8()1AxA xxA xxA xxA xxA xxA x112233445566:( )0.1()0.3()0.6()1()0.6()0.1BxB xxB xxB xxB xxB xxB x112233445566:()0.9()0.7()0.6()0.4()0.2()0CxC xxC xxC xxC xxC xxC x 例2 .设U（单位：岁）表示人的年龄.Zadeh给出“年轻”（Y）与“年老”（O
29、）两个模糊集合的隶属函数分别为： 21211,025( )251 () ,2520050,050( )501 () ,502005xY xxxxO xxx213025(30)1 () 0.55(30)0YO21216025(60)1() 0.0256050(60)1() 0.85YO1234 , Ux x x xA34例设为四种商品，：（质量好）用打分的方法得到 种商品属于的隶属度：112233441()0.82()0.53()0()xA xxA xxA xxA x 二二 、模糊集合的表示法、模糊集合的表示法12. , 12nUUx xxAUA xin1论域 为有限集设为上的一个模糊集，（ ）
30、为隶属函数。（， ， ， ）（1）Zadeh表示法注：上述表示法只有符号意义 12112( )()()( )nniiniA xA xA xA xAxxxx ( )( ).iiiixA xxAA x表示： 点 对模糊集 的隶属度是（2）序偶表示法）序偶表示法 （3）向量表示法）向量表示法 1122( , ( ),( , ( ),( , ( )nnAx A xx A xx A x12 (), (),()nAA xA xA x()A例1的高个子 ：12345600.10.30.50.81Axxxxxx123456( ,0),(,0.1),(,0.3),(,0.5),(,0.8),(,1)Axxxxx
31、x或：0,0.1,0.3,0.5,0.8,1A 或( )x UA xAx2. 论域论域U为无限集为无限集符号法：符号法：2 ()Y例 中年轻 可表示为：210,25(25,200210,50(50,200251 () 15501 () 05xxxxxYxxxOxx21101001(10) xxxAxx10A：比大得多的实数例例4 设设Uk（实数集），（实数集），5A：接近 的整数211(5) x UxAx例例4 设设U整数集，整数集， 由上式可得：由上式可得： 21211(1)1 (1 5) 0.06171(4)1 (45) 0.52x Ux UAA2.3 模糊集的运算模糊集的运算一一. 模糊
32、幂集模糊幂集在给定的论域上可以有多个模糊集在给定的论域上可以有多个模糊集.定义定义2.6 记论域记论域U上的上的F集的全体为集的全体为F（U）.称称F（U）为为U的模糊幂集即的模糊幂集即 注：注：F（U）是普通集合，它的元素为）是普通集合，它的元素为U上的上的F集集( ):0,1F UA A U二二. F集的关系与运算集的关系与运算 1. 包含与相等包含与相等定义定义2.7 设设 ,( ),( )( )A BF UxU B xA x ABABBA则称包含，记作或ABBA若且，.ABAB则称与相等，记作2. 并，交，补并，交，补2.8,(),cA BF UAB ABABAA定义设，称为与的并与交
33、， 为 的补集。其隶属函数为：其隶属函数为： ()( )( )( )max( ( ), ( )()( )( )( )min( ( ), ( )( )1( )cAB xA xB xA x B xAB xA xB xA x B xA xA x （1）有限论域：121111 ,( )( ),( )( )( )( )nnniiiiiiniiiiniiiiUx xxA xB xABxxA xB xABxA xB xABx A BF集 ，的并,交,补的计算方式：（2）无限论域）无限论域 ()(),()()()()1()UUUUcUAxBxABxxAxBxABxAxBxABxAxAx例例1 设论域（设论域（
34、5人集）人集）125,Uxxx12345123450.800.5500.301.0.100.210.860.600.AxxxxxBxxxxx“高个子”“胖子”求模糊集求模糊集 ,.cAAB AB解：解：123450.80.550.860.61ABxxxxx123450.10.2500.30ABxxxxx123450.20.4510.70cAxxxxxO “年老”，211,025( )251 () ,252005xY xxxY “年轻”其隶属函数分别为：其隶属函数分别为：例例2 设设U0,200（年龄集）（年龄集） 210,050( )501() ,502005xO xxx.cYO YO Y求，
35、 解：先求两直线的交点解：先求两直线的交点.7550 5125由由21212225501 () 1 () 552550()()55xxxx255550 xx*:51.x 解得因底大于因底大于0，故两边开方，得：，故两边开方，得：因因2102525200251() 15xxxYxx 2105050200501() 05xxxOxx 如图：当如图：当025,x时( )( ),Y xO x()( )1YO x 2551x当时,( )( ) ,Y xO x2125( )1() 5xYO x51200,x当时2150 ( )( ),( )1() 5xY xO xYO x21210252551512002
36、5501 () 1 () 155xxxxxYOxxx 如图可得：如图可得：212105050515120050251() 1() 055xxxxxYOxxx 2102525200251 () 05cxxxYxx 模糊集的运算律：模糊集的运算律：（1）幂等律：）幂等律： ,AAA AAA,ABBA ABBA()()ABCABC()()ABCABC（2）交换律：）交换律：（3）结合律：）结合律：（4）分配律：）分配律： ()()()ABCA CBC()()()ABCA CBC（5）吸收律：）吸收律： ()AABA()AABA（6）01律：律： AA A A UUA UA0;1.x =UU x =其
37、中， 的隶属函数 （ ）的隶属函数 （ ）（7）还原律：）还原律：()ccAA()cccABAB()cccABAB（8）对偶律：）对偶律：2.4 隶属函数的确定隶属函数的确定 对于应用问题，首先要建立对于应用问题，首先要建立F集的隶属函集的隶属函数数.应用模糊数学的关键在于建立符合实际的应用模糊数学的关键在于建立符合实际的隶属函数，这是至今尚未充分解决的问题隶属函数，这是至今尚未充分解决的问题.不不过现在已有一些较为有效的方法过现在已有一些较为有效的方法.本节介绍确本节介绍确定隶属度和隶属函数的常用方法定隶属度和隶属函数的常用方法.一、确定隶属度和隶属函数的方法一、确定隶属度和隶属函数的方法1
38、.模糊统计法模糊统计法. 此方法源于此方法源于1976年，它是根据模糊统计年，它是根据模糊统计试验得出隶属频率，再根据隶属频率的稳试验得出隶属频率，再根据隶属频率的稳定性确定隶属度定性确定隶属度. 模糊统计试验的基本方法与原理：模糊统计试验的基本方法与原理：设设A是论域是论域U中的模糊集合，中的模糊集合，0,uU造一个可变的可移动的普通集合造一个可变的可移动的普通集合S,S中可含有中可含有0u也可不含也可不含0u定义定义2.12 设进行了设进行了n次模糊统计试验构成次模糊统计试验构成S，0uA mfn称0uA其中有其中有m次出现次出现为为对对的隶属频率的隶属频率.随着随着n的增大（继续造的增大
39、（继续造S）则隶属频率趋于稳定的常数，则隶属频率趋于稳定的常数，0u该常数即为该常数即为A对对的隶属度的隶属度. 例例1 设论域设论域U（人的年龄）（人的年龄）.为在为在U中建中建立模糊集合立模糊集合“青年人青年人”的隶属度的隶属度. 张南纶张南纶等等1981.（1）.武汉建材学院学报）进行武汉建材学院学报）进行了一次较大规模的模糊统计试验，他们了一次较大规模的模糊统计试验，他们在武汉建材学院进行抽样调查，要求被在武汉建材学院进行抽样调查，要求被调查的大学生在独立认真思考调查的大学生在独立认真思考“青年人青年人”的含义后，给出的含义后，给出“青年人青年人”的年龄区间的年龄区间.他们随机抽取了他
40、们随机抽取了129人，相应收到了人，相应收到了129个个“青年人青年人”的年龄区间的年龄区间样本：样本：1825 1730 1728 1825 1635 1425 1830 1835 1835 1525 1530 1835 1730 1825 1835 2030 1830 1626 2035 1830 0( );uA127确定 岁属于“青年人”的隶属度( )( )AA x2 作出“青年人” 的隶属函数。 解：（解：（1）对）对129个数据作出如下的统计处理个数据作出如下的统计处理.构成构成S的次数的次数 n: 10 20 120 129S中含中含27的次数的次数 m: 6 14 95 101
41、f : 0.6 0.7 0.79 0.78统计结果表示隶属频率稳定在统计结果表示隶属频率稳定在0.78附近附近. 因因此，年龄为此，年龄为27岁的隶属度为岁的隶属度为(27)0.78A( ). .A x12913 536 513 5 36 5123为求，采用“直方图法”由个数据知最小数据为最大数据为取区间，以 为长度，将其分为个小区间v小区间序号 年龄组 频数（m） 相对频率（m/129）v 1 13.514.5 2 0.0115v 2 14.515.5 27 0.2093v 3 15.516.5 51 0.3953v 4 16.517.5 67 0.5194v 5 17.518.5 124
42、0.9612v 6 18.519.5 125 0.9690v 7 19.520.5 129 1v 8 20.521.5 129 1v 9 21.522.5 129 1v 10 22.523.5 129 1v 11 23.524.5 129 1v 12 24.525.5 128 0.9922v 13 25.526.5 103 0.7984v 14 26.527.5 101 0.7829v 15 27.528.5 99 0.7674v 16 28.529.5 80 0.6202v 17 29.530.5 77 0.5969v 18 30.531.5 27 0.2093v 19 31.532.5 2
43、7 0.2093v 20 32.533.5 26 0.2016v 21 33.534.5 26 0.2016v 22 34.535.5 26 0.2016v 23 35.536.5 1 0.007815.525.535.50.20.40.60.8 ( ) .A x以年龄为横坐标，相对频率为纵坐标，给出直方图，沿边描出的曲线 注：注： (1) 对模糊概念进行模糊统计试验时，应对模糊概念进行模糊统计试验时，应要求被调查者熟悉该模糊概念，并能对其量化要求被调查者熟悉该模糊概念，并能对其量化. (2) 对模糊概念还可以采用对模糊概念还可以采用“专家打分专家打分”等办法作统计等办法作统计. 例如产品质量
44、评判，环境评例如产品质量评判，环境评判判等等.（今后小论文可作这些问题）（今后小论文可作这些问题） (3) 统计者对获得的数据应当首先进行筛统计者对获得的数据应当首先进行筛选，删除质量不合乎逻辑的数据，然后再进行选，删除质量不合乎逻辑的数据，然后再进行隶属频率的计算隶属频率的计算.（例如（例如“青年人青年人”调查中，调查中，512，5080这些数据都是不符合逻辑的数这些数据都是不符合逻辑的数据）据）2. 指派法（模糊分布法）指派法（模糊分布法） 指派法：根据问题的性质意义套用现成的某指派法：根据问题的性质意义套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据（或些形式的模糊分布，然后根据测量数据（
45、或经验数据）确定分布的参数经验数据）确定分布的参数. 指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主观指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主观的方法，在使用这种方法的时候可以把实践的方法，在使用这种方法的时候可以把实践经验考虑进去经验考虑进去.1.矩形分布矩形分布v偏小型偏小型 中间型中间型 偏大型偏大型 1,( )0,xaA xxa0,( )1,xaxbA xaxb或0,( )1,xaA xxa 0 a10 a10 a b1常用的模糊分布常用的模糊分布2. 梯形分布1,( ),0,xabxA xaxbbaxb0,( )1,0,xaxaaxbbaA xbxcdxcxddcxd0,( ),1,xaxaA x
46、axbbaxb0 a b10 a b c d0 a b1偏小型偏小型中间型中间型偏大型偏大型3. k次抛物型次抛物型1,( )() ,0,kxabxA xaxbbaxb0,() ,( )1,() ,0,kkxaxaaxbbaA xbxcdxcxddcxd0,( )() ,1,kxaxaA xaxbbaxb 0 a b1 0 a b c d 0 a b1偏小型偏小型中间型中间型偏大型偏大型4. 型型()1,( ),(0)k xaxaA xexak()(),( )1,(0)k x ak x bexaA xaxbexbk()0,( )1,(0)k x axaA xexak 0 a1 0 a b 0
47、a1偏小偏小型型中间型中间型偏大型偏大型5. 正态型正态型2()1,( ),x aaxaA xexa2()( )x aaA xe2()0,( )1,x aaxaA xexa 0 a1 0 a1 0 a1偏小型偏小型中间型中间型偏大型偏大型6. 柯西型柯西型1,( )1,1()(0)xaA xxaxa1( )1()(0,A xxa为正偶数）0,( )1,1()0 xaA xxaxa（） 0 a1 0 a1 0 a1偏小型偏小型中间型中间型偏大型偏大型例例1 评价学生成绩评价学生成绩0,100 () “” “” “” “” 85,95)UABCDab设论域 分数 ， 优 ， 良 ， 中 ， 差由实
48、际意义，从表中选派梯形分布：（参数取为0,( ),1,xaxaA xaxbbaxb 0 85 951于是有于是有0, 08585( ),8595101, 95100 ( ) xxA xxx优 偏大型0,07070,708010( )1,80()8595,8595100,95 1 0 0 xxxB xxxxx良 中间型0,06060, 607010( )1,708090,8090100 ,90 xxxC xxxxx中（中间型）1,05060( ),5060100,60100 xxD xxx差（偏小型） 注：注： 使用时：使用时： 偏小型适合描述：偏小型适合描述：“小小”，“冷冷”，“青年青年”，
49、颜色颜色“淡淡” 偏大型适合描述：偏大型适合描述：“大大”，“热热”，“老年老年”，“浓浓” 中间型适合描述：中间型适合描述：“中中”，“暖和暖和”，“中年中年” 确定出的隶属函数都是近似的，需不断加以确定出的隶属函数都是近似的，需不断加以修改（即对参数的调整），使之趋于完善修改（即对参数的调整），使之趋于完善.例例2 建立建立“年轻人年轻人”的隶属函数的隶属函数.AA1根据统计资料，作出“年轻人 ”隶属函数的大致曲线，发现与柯西分布接近于是，选派柯西分布作为隶属函数：1,( )(0,0)1,1()xaA xxaxa 2 确定参数确定参数 ）将不足）将不足25岁的人看作真正的岁的人看作真正的“
50、年轻人年轻人”，故选，故选a25. ）大于）大于25岁的人属于年轻人的程度应随年龄的增加而减岁的人属于年轻人的程度应随年龄的增加而减少少.这个衰减显然不是线性的，为计算方便，取这个衰减显然不是线性的，为计算方便，取2 ）认为）认为30岁作为岁作为“年轻人年轻人”应是最模糊的概念应是最模糊的概念,即此时即此时 1(30)2A2111.1(3025)221于是：即1+251.25解之得： 221111( ),1251(25)1255xaA xxaxx，（）故3. 借用已有的“客观”尺度 “” UAEngel在经济管理，社会科学中，可直接借用已有的尺度（指标）作为模糊集的隶属度.例如：在论域 （家庭
