1、MME E I I0中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所歡迎口試委員歡迎口試委員陳陳 正正 宗宗 博士博士呂呂 學學 育育 博士博士蒞蒞 臨臨 指指 導導MME E I I1中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所Free vibration analysis of circular plates with eccentric hole by direct boundary integration method 論文口試簡報邊界積分方程求解含多圓孔邊界積分方程求解含多圓孔圓板之自由振動分析圓板之自由振動分析 指指 導導 教教 授授: : 李為民李為民 博士博
2、士研研 究究 生生: : 許亞奎許亞奎MME E I I2中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所大大 綱綱4. 結論與未來展望結論與未來展望3. 模擬分析結果與討論模擬分析結果與討論2. 求解平板問題求解平板問題1. 緒緒 論論MME E I I3中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所4. 結論與未來展望結論與未來展望3. 模擬分析結果與討論模擬分析結果與討論2. 求解平板問題求解平板問題1. 緒緒 論論 MME E I I4中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所緒緒 論論n含多圓孔圓板常用於模擬實際工程結構，例如：飛彈、航空飛行器等.，其
3、作用是減少結構重量或增加視野。而結構上的圓孔不但會引起結構動態特性的改變同時也會降低結構強度。 n過去解析解的研究工作多集中在圓板與同心圓板的自由振動分析。針對偏心圓板的自由振動分析，由於幾何形狀複雜解析解不易求得，因此多考慮利用各種數值分析方法，如有限差分法(FDM)、有限元素法(FEM)與邊界元素法(BEM)。 MME E I I5中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所緒緒 論論( (續續) )n邊界元素法最主要的特點可將問題降一維，如此可簡化模型建立前處理的過程。n而使用邊界元素法或邊界積分方程時，會有奇異積分的問題，需計算CPV和HPV等主值，由於平板函數的核函數相當
4、複雜，造成邊界奇異積分主值計算困難。 n本文利用加法定理作場源點分離，將產生邊界奇異積的核函數展開成級數型式的退化(分離)核函數，避開奇異積分的問題。 MME E I I6中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所文獻回顧文獻回顧n最近，有部份學者嘗試解偏心圓板的問題，Cheng等人在做偏心圓板振動分析時遇到困難，這是由於偏心圓板數學式表示過於複雜所致，因此最後還是利用有限元素法求解。nLaura等人利用Rayleigh-Ritz法求解，由於所提試解函數值(trial solution function)未能滿足內圓的自然邊界條件(natural boundary conditi
5、on)，雖然最後分析結果大致良好，但經本文分析結果與ABAQUS結果比較，其準確性尚有不足之處。 MME E I I7中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所研究動機研究動機n本論文結合零場積分方程、退化核函數、張量轉換和傅立葉級數，以發展一套有系統、計算效率高、收斂速度快且分析結果準確的方法，來求解含多圓孔圓板之自然振頻與振模。n針對偏心圓板的問題，當場、源點位於不同的圓周上時，板的彎曲角度、彎曲力矩與等效剪力需透過適當的張量轉換處理。 MME E I I8中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所4. 結論與未來展望結論與未來展望3. 模擬分析結果與討論模擬分
6、析結果與討論2. 求解平板問題求解平板問題1. 前前 言言MME E I I9中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所平板問題平板問題44( )( ),u xu xx Governing Equation:u 側向位移側向位移 4 四階微分符號四階微分符號薄板的區域薄板的區域 頻率參數頻率參數u(x)1(12324hEDDh : 角角 頻頻 率率 : 體體 積積 密密 度度 D : 彎彎 曲曲 剛剛 性性 h : 平平 板板 厚厚 度度E : 楊楊 氏氏 係係 數數 : 蒲蒲 松松 氏氏 比比MME E I I10中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所平板問題
7、平板問題(續續)The eigenproblem of a circular plate with multiple circular holes MME E I I11中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所平板問題之邊界積分方程平板問題之邊界積分方程MME E I I12中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所 核核 函函 數數核函數 為基本解，其滿足下式MME E I I13中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所 核核 函函 數數(續續)slope moment effective shear MME E I I14中華技術學院機電光工程
8、研究所中華技術學院機電光工程研究所 核核 函函 數數(續續)In the polar coordinate of MME E I I15中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所邊邊 界界 積積 分分 方方 程程displacementslopewith respect to the field point x with respect to the field point x with respect to the field point x normal momenteffective shear forceAmong four equations, any two equa
9、tions can be adopted to solve the problem. MME E I I16中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所退化核函數退化核函數Degenerate kernel (separate form)Fourier series expansions of boundary dataMME E I I17中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所觀察系統中設置配置點與源點觀察系統中設置配置點與源點 MME E I I18中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所張量組成之轉換張量組成之轉換MME E I I19中華技
10、術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所張量組成之轉換張量組成之轉換(續續)MME E I I20中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所線性代數方程線性代數方程where L denotes the number of circular boundaries MME E I I21中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所MME E I I22中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所 SVD 補充式補充式 formulation formulation MME E I I23中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所4.
11、結論與未來展望結論與未來展望3. 模擬分析結果與討論模擬分析結果與討論2. 求解平板問題求解平板問題1. 前前 言言MME E I I24中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所含一偏心圓孔之圓板含一偏心圓孔之圓板 Geometric data:R1 =1mR2 =0.4me=0.00.5mthickness=0.002mBoundary condition:Inner circle : freeOuter circle : clampedMME E I I25中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所分析結果分析結果(e/R1 =0.0)同心圓板之自然頻率參數與
12、傅立葉級數同心圓板之自然頻率參數與傅立葉級數關係圖關係圖(e/R1=0.0, R2/R1=0.4, 邊界條件為邊界條件為固定固定自由自由) 同心圓板之第一與第二最小奇異值與頻率參數同心圓板之第一與第二最小奇異值與頻率參數關係圖關係圖 (e/R1=0.0, R2/R1=0.4, 邊界條件為固定邊界條件為固定自由自由) MME E I I26中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所同心圓板前七個自然頻率參數與振模同心圓板前七個自然頻率參數與振模( (e/R1=0.0, , R2/R1=0.4,邊界條件為固定邊界條件為固定自由自由) ) MME E I I27中華技術學院機電光工程研
13、究所中華技術學院機電光工程研究所分析結果分析結果 (e/R1 =0.2)偏心圓板之自然頻率參數與傅立葉級數偏心圓板之自然頻率參數與傅立葉級數關係圖關係圖(e/R1=0.2, R2/R1=0.4, 邊界條件為邊界條件為固定固定自由自由) 偏心圓板最小奇異值與頻率參數偏心圓板最小奇異值與頻率參數關係圖關係圖(e/R1=0.2, R2/R1=0.4, 邊界條件為固定邊界條件為固定自由自由) MME E I I28中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所偏心圓板前七個自然頻率參數與振模偏心圓板前七個自然頻率參數與振模(e/R1=0.2, R2/R1=0.4, 邊界條件為固定邊界條件為固
14、定自由自由) MME E I I29中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所分析結果分析結果 (e/R1=0.5)偏心圓板最小奇異值與頻率參數偏心圓板最小奇異值與頻率參數關係圖關係圖(e/R1=0.5, R2/R1=0.4, 邊界條件為固定邊界條件為固定自由自由) 偏心圓板之自然頻率參數與傅立葉級數偏心圓板之自然頻率參數與傅立葉級數關係圖關係圖(e/R1=0.5, R2/R1=0.4, 邊界條件為邊界條件為固定固定自由自由) MME E I I30中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所偏心圓板前七個自然頻率參數與振模偏心圓板前七個自然頻率參數與振模(e/R1=
15、0.5, R2/R1=0.4, 邊界條件為固定邊界條件為固定自由自由)MME E I I31中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所自然頻率與圓孔偏心距離之關係圖自然頻率與圓孔偏心距離之關係圖(e/R1=00.5, R2/R1=0.4, 邊界條件為固定邊界條件為固定自由自由) MME E I I32中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所The minimum singular value versus the frequency parameter formulationformulationMME E I I33中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光
16、工程研究所The minimum singular value versus the frequency parameter using the SVD technique of updating term Suppress the spurious eigenvalueMME E I I34中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所6.84956.85356.5264MME E I I35中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所MME E I I36中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所含兩孔之圓板含兩孔之圓板Geometric data:R1
17、=1mR2=0.4mR3=0.2mo1=(0.0,0.0)o2=(0.5,0.0)o3=(-0.5,0.0) Thickness=0.002mBoundary conditions:Inner circles: freeOuter circle: clamped MME E I I37中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所分析結果分析結果含兩孔之圓板最小奇異值與頻率參數含兩孔之圓板最小奇異值與頻率參數關係圖關係圖含兩孔之圓板最小奇異值與頻率參數含兩孔之圓板最小奇異值與頻率參數關係圖關係圖(已濾除假根特徵值已濾除假根特徵值)MME E I I38中華技術學院機電光工程研究所中華
18、技術學院機電光工程研究所含兩孔之圓板前七個自然頻率參數與振模含兩孔之圓板前七個自然頻率參數與振模MME E I I39中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所含三孔之圓板含三孔之圓板Geometric data:R1=1mR2=0.4mR3=0.2mR4=0.2mo1=(0.0,0.0)o2=(0.5,0.0)o3=(-0.3,0.4)o4=(-0.3,-0.4)thickness=0.002mBoundary conditions:Inner circles: freeOuter circle: clamped MME E I I40中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機
19、電光工程研究所分析結果分析結果含含三三孔之圓板最小奇異值與頻率參數孔之圓板最小奇異值與頻率參數關係圖關係圖含含三三孔之圓板最小奇異值與頻率參數孔之圓板最小奇異值與頻率參數關係圖關係圖(已濾除假根特徵值已濾除假根特徵值)MME E I I41中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所含三孔之圓板前七個自然頻率參數與振模含三孔之圓板前七個自然頻率參數與振模MME E I I42中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所4. 結論與未來展望結論與未來展望3. 模擬分析結果與討論模擬分析結果與討論2. 求解平板問題求解平板問題1. 前前 言言MME E I I43中華技術學
20、院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所結結 論論 本文結合零場積分方程、退化核函數、張量轉換與傅立葉級數，提出一本文結合零場積分方程、退化核函數、張量轉換與傅立葉級數，提出一“半解析法半解析法”求解含多圓孔之圓板自然頻率與振模。求解含多圓孔之圓板自然頻率與振模。 利用加法定理作場源點分離，將產生邊界奇異積分的核函數，分別於邊利用加法定理作場源點分離，將產生邊界奇異積分的核函數，分別於邊界兩側展開成級數型式的退化界兩側展開成級數型式的退化( (分離分離) )核函數，以分別描述內域及外域的核函數，以分別描述內域及外域的勢能，以避開奇異積分的問題。勢能，以避開奇異積分的問題。 為考慮偏心圓情
21、況，文中已透過向量及張量旋轉推導出彎曲角度與彎曲為考慮偏心圓情況，文中已透過向量及張量旋轉推導出彎曲角度與彎曲力矩包含旋轉角的核函數一般表示式。力矩包含旋轉角的核函數一般表示式。 自然頻率分析結果顯示，真根特徵值與內孔尺寸及位置、邊界條件有關，自然頻率分析結果顯示，真根特徵值與內孔尺寸及位置、邊界條件有關，但與所採用的邊界積分公式無關。但與所採用的邊界積分公式無關。 偏心圓板偏心程度影響自然頻率與振模的現象有完整的探討。偏心圓板偏心程度影響自然頻率與振模的現象有完整的探討。 1.2.3.4.5.MME E I I44中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所結結 論論( (續續)
22、 )針對使用邊界積分方程會產生假根特徵值的問題，利用針對使用邊界積分方程會產生假根特徵值的問題，利用SVD補充式可成補充式可成功地濾除。功地濾除。 分析結果與現有文獻比較，本文所提半解析法是目前為止準確度最佳的分析結果與現有文獻比較，本文所提半解析法是目前為止準確度最佳的方法。方法。 7.8.分析結果顯示假根特徵值僅與內孔尺寸和所採用的邊界積分公式有關，分析結果顯示假根特徵值僅與內孔尺寸和所採用的邊界積分公式有關，與邊界條件和內孔位置即偏心程度無關。與邊界條件和內孔位置即偏心程度無關。 6.MME E I I45中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所未來展望未來展望本文所提出
23、的方法，雖然具有計算效率高、收斂速度快且分析結果準確本文所提出的方法，雖然具有計算效率高、收斂速度快且分析結果準確的特點，但目前僅限於圓板上的應用，未來發展希望能夠突破這個限制，的特點，但目前僅限於圓板上的應用，未來發展希望能夠突破這個限制，可以處理任意形狀問題之自然振頻與振模分析。可以處理任意形狀問題之自然振頻與振模分析。 文中發現含多圓孔圓板之假根特徵值與圓孔對應尺寸的圓板真根有關，文中發現含多圓孔圓板之假根特徵值與圓孔對應尺寸的圓板真根有關，未來希望透過嚴謹的數學證明來說明此現象，並進一步闡明偏心圓板假未來希望透過嚴謹的數學證明來說明此現象，並進一步闡明偏心圓板假根特徵值產生的機制。根特
24、徵值產生的機制。 等效剪力核函數由於同時包含向量與二階張量，其包含旋轉角的核函數等效剪力核函數由於同時包含向量與二階張量，其包含旋轉角的核函數一般表示式有必要仔細的作進一步推導。一般表示式有必要仔細的作進一步推導。 本文所解的問題屬於雙霍姆荷茲方程內域問題，可利用本文處理問題的本文所解的問題屬於雙霍姆荷茲方程內域問題，可利用本文處理問題的架構推廣至外域問題如平板含多圓孔彈性波散射問題，以及孔附近動態架構推廣至外域問題如平板含多圓孔彈性波散射問題，以及孔附近動態應力集中現象的探討。應力集中現象的探討。 1.2.3.4.MME E I I46中華技術學院機電光工程研究所中華技術學院機電光工程研究所Thanks for your kind attentionThe End
