1、连续小波变换连续小波变换 小波及连续小波变换小波及连续小波变换 常用的基本小波常用的基本小波 时频分析时频分析 连续小波变换的计算连续小波变换的计算 小波变换的分类小波变换的分类 小波及连续小波变换小波及连续小波变换 12( )( )tL RL R设函数设函数 ，并且，并且 (0)0，即 ( )0t dt，则称，则称 ( ) t为一个为一个基本小波或母小波基本小波或母小波。 ,1( )()a btbtaa, a bR0a (连续连续)小波函数小波函数a和和b的意义的意义,22( )( )a btt,1( , )( )(),fa btbWTa bf tdtfaa 1/21( , )( )()af
2、tbWTa bf tdtafbaa 性质性质： 线性性质线性性质 平移不变性平移不变性 .小波及连续小波变换小波及连续小波变换 12( )( )tL RL R设函数设函数 则称则称 ( ) t为一个为一个允许小波允许小波。 , 若若2( )cd 允许条件与允许条件与 (0)0几乎是等价条件几乎是等价条件. ,211( )( , )( )fa bf tWT a bt dadbca常用的基本小波常用的基本小波 1. Haar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 常用的基本小波常用的基本小波 2. Daubechies小波小波D4尺度函数与小波尺度函数与小波
3、 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函数与小波尺度函数与小波 常用的基本小波常用的基本小波 3、双正交小波、双正交小波双正交双正交B样条小波样条小波（5-3）、）、 （9-7）小波滤波器）小波滤波器bior2.2, bior4.4（7-5）小波滤波器）小波滤波器: 11 1 3 1 1,8 2 4 2 82h2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281 212qpqqqpqqpqqqpqqqq 13355533,164 16 2 164 162h常
4、用于图形学中。其中尺度函数是一常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次个三次B样条。样条。常用的基本小波常用的基本小波 4. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e Morlet小波不存在尺度函数小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morlet小波1,5常用的基本小波常用的基本小波 5. 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这是高斯函数
5、的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。主要应用于阶梯型边界的提取。 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0轴反对称。轴反对称。常用的基本小波常用的基本小波 6. Marr小波小波( ) 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。边缘的提取。 22/22( )(1)3ttte242/22 2( )3e （也叫墨西哥草帽
6、小波） 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0轴对称。轴对称。 t常用的基本小波常用的基本小波 7. Meyer小波小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下： 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttttt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 常用的基本小波常用的基本小波 8. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/2tttt /21, 20, ie 其它在时域，
7、在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。带限函数，具有好的局部化特性。 t常用的基本小波常用的基本小波 9. Battle-Lemarie样条小波样条小波 224222412sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形线性样条小波及其频域函数的图形 t时频分析时频分析 1. Four
8、ier分析简介分析简介 Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力分析缺乏信号的局部化分析能力 。 2. 短时短时Fourier变换变换短时短时Fourier变换的基本思想是变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，：把信号划分成许多小的时间间隔，用用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱
9、信息。谱信息。 非平凡函数非平凡函数 2( )wL R称为称为窗函数窗函数， 如果如果 2tw tL R1101( )0tN t 其它值101/2( )11/210Httt 其它 012 20 tttt对对1其它241( )2taag tea2( )N t0a 2221( )tt w tdtw1/22221()( )wttw tdtw 窗口Fourier变换 2ww通常我们用通常我们用作为窗函数作为窗函数的宽度的度量。的宽度的度量。 ,i tfSbf t gtb edt窗口窗口Fourier变换：变换： 大致反映了大致反映了 f t在时刻在时刻 b、频率为、频率为 的的信号成分信号成分的相对含
10、量。的相对含量。 窗口Fourier变换 *,fbbSbf Wf t Wt dt ,()i tbWte g tb,fSb给出了给出了 f t在 ,bW的时间窗 *,ggtbtb 内的局部化信息。内的局部化信息。 短时Fourier变换 g t g若若及其及其Fourier变换变换都是窗口函数都是窗口函数 ，则称，则称 ,fSb为为短时短时Fourier变换变换。 ,fSb同时给出了同时给出了 f t在时间窗在时间窗 *,ggtbtb 内的局部化信息。内的局部化信息。 特别地，当窗口函数取特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，函数时，相应的短时相应的短时Fourier变换称为变换称为Gab
11、or变换变换。和频率窗和频率窗 *,g* g 时间时间-频率窗频率窗*,ggtbtb *,g的特性的特性：不变的宽度：不变的宽度* g 和固定的窗面积和固定的窗面积 2g4gg 测不准原理测不准原理：12gg 应用上的局限性应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。：不太适合分析非平稳信号。 小波时频分析 小波分析能够提供一个随频率改变的时间小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。频率窗口。 假设假设 是任一基本小波，并且是任一基本小波，并且 与与都是窗函数，都是窗函数， 与半径分别为与半径分别为 它们的中心它们的中心t，和和。 不妨设不妨设和尺度和尺度 a都是正数。都是正数。1( ,
12、)( )()b atafb atatbWTa bf tdtaa 给出了给出了 f t在时间窗在时间窗 ( , )fWTa b内的局部化信息。内的局部化信息。 ,1( , ),2fa bWTa bf( )()2ibafead给出了给出了 f t在频域窗在频域窗 ( , )fWTa b内的局部化信息。内的局部化信息。 ,aaaa ,batabata 小波时频分析 内的局部化信息内的局部化信息, ,aaaa /a( , )fWTa bt若用若用作为频率变量作为频率变量，则，则给出了信号给出了信号在时间在时间频率平面（频率平面（平面）中一个矩形的时间平面）中一个矩形的时间频率窗频率窗 ,batabat
13、a 即小波变换具有时即小波变换具有时频局部化特征。频局部化特征。 120aa2a窗宽窗宽:面积面积:,a ba的宽度是的宽度是宽度的宽度的倍倍. 检测信号检测信号 f t的高频成分需用的高频成分需用 具有比较小的具有比较小的0a 的分析小波的分析小波,a b变窄，并在高频区域对信号进行细节分析变窄，并在高频区域对信号进行细节分析. . 这时时间窗会自动这时时间窗会自动4 各种变换的比较 小波变换的特性小波变换的特性 分解种类：时间分解种类：时间-尺度或时间尺度或时间-频率频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。小
14、波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量：变量： 尺度，小波的位置尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号适应场合：非平稳信号Fourier变换的特性变换的特性 分解种类：分解种类： 频率频率 分析函数：分析函数： 正弦函数，余弦函数正弦函数，余弦函数 变量：变量： 频率频率 信息：信息： 组成信号的频率组成信号的频率 适应场合：适应场合： 平稳信号平稳信号 算法复杂度：算法复杂度： 短时短时Fourier变换
15、的特性变换的特性 分解种类：时间分解种类：时间-频率频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量：频率，窗口的位置变量：频率，窗口的位置 信息：信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分； 窗口越大，频率局部化越好窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差此时时间局部化较差. 适应场合：次稳定信号适应场合：次稳定信号连续小波变换的计算 数值近似积分法、快速算法（包括数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）算法，斜交投影算法等） 在在Matlab小波
16、工具箱中，用小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。（）函数计算连续小波变换。 连续小波变换的结果的显示方式：连续小波变换的结果的显示方式： 灰度表示，三维表示灰度表示，三维表示 0102030405060708090100-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6 sin(5.89 ), 01sin(8.83 ), 12 sin(5.89 )sin(8.83 ), 230, 3ttttf ttttt 连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点2, 4, 8, 16 , 32 1，2，, 32 小波变换的分类 ,( )a bt, ,a b t中 三个变量均为连续
17、变量，三个变量均为连续变量， 离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类： 通过对它们施加不同的通过对它们施加不同的离散小波及离散（参数）小波变换：离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波及二进小波变换二进小波及二进小波变换只对只对a,b离散化离散化： 只对只对a离散化离散化 离散小波及离散（参数）小波变换 令参数令参数 2ja， 2jbk，其中，其中 , j kZ，则，则离散（参数）小波离散（参数）小波为：为： /22, 2( )2(2)jjjjkttk在这种情况下，常用在这种情况下，常用 ,( )j kt记 2
18、, 2jjk，即，即 /2,( )2(2)jjj kttk相应于离散小波相应于离散小波 的的离散（参数）小波变换离散（参数）小波变换为：为： ,( )j kt,( , ):,fj kWTj kf重构问题重构问题：( ) t在满足什么条件下，可以由离散小波变换在满足什么条件下，可以由离散小波变换 ,j kj k Zf重构原信号？重构原信号？ 可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。）。 离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论 尺度离散化：尺度离散化：实际工作中最常见的情况是实际工作中最常见的情况是,将尺度将尺度 a按照
19、二进尺度离散化按照二进尺度离散化,此时此时a 取值为取值为位移离散化：位移离散化：当当a=2-J (也就是也就是j =J时时),b可以某一基本间隔可以某一基本间隔b0做均匀采样做均匀采样. b0应适当选择应适当选择使信息仍能覆盖全使信息仍能覆盖全b轴而不丢失轴而不丢失(如不低于如不低于Nyquist采样率采样率). 每经过一次小每经过一次小波变换波变换, 其采样间隔扩大一倍其采样间隔扩大一倍,由此可见此时由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所平面内的采样点如下图所示示.2 ,1,0jajJ J 离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论 ,( )a bt变为变为/2022jjtkb,为简化书
20、写为简化书写,通常认为通常认为b0=1,以归一以归一.并记并记 /2,22jjj kttk即对于分辨率即对于分辨率j, b以采样间隔以采样间隔1/2jb0做均匀采样做均匀采样.此时此时,也就是把也就是把b轴用轴用b0加加问题问题: 如何利用如何利用db2小波的支撑解释突变点的支撑区间小波的支撑解释突变点的支撑区间?2.7890625,2.828125二进小波变换 连续二进小波变换连续二进小波变换 二进小波的构造及一些常用的二进小波二进小波的构造及一些常用的二进小波 离散二进小波变换的快速算法离散二进小波变换的快速算法 二维二进小波变换及其快速算法二维二进小波变换及其快速算法 二进小波及二进小波
21、变换 在连续小波变换中，令参数在连续小波变换中，令参数 2ja ， jZ，而参数，而参数b仍取连续值仍取连续值. 则有二进小波：则有二进小波： /22 ,( )22 ()jjjbttb这时，这时， 2( )( )f tL R的二进小波变换定义为：的二进小波变换定义为： /2(2 , )2( )2 ()jjjfWTbf ttbdt重构问题重构问题：( ) t在满足什么条件下，可以由二进小波变换在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？重构原信号？ 2 ,|,jfWTbjZ bR二进小波及二进小波变换 卷积定义卷积定义:假定小波函数假定小波函数为为实函数实函数, 尺度符号改用尺度符号改用s
22、表示表示,相应于相应于 ,Wf s u, s u的连续的连续小波变换记为小波变换记为. 当当2 ,jsjZ时，时， 连续二进小波变换为：连续二进小波变换为： /222 ,2jjjWfufu其中，其中， 22122jjjjttt 重构问题重构问题：( ) t在满足什么条件下，可以由二进小波变换在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？重构原信号？ 2 ,|,jWfujZ uR注意与当前文献中各种定义的区别注意与当前文献中各种定义的区别. ,1ssWf s ufuttss ,1ssWf s ufuttss二进小波及二进小波变换 设函数设函数 12tL RL R，如果存在正常数，如果存在正常
23、数 AB与与，且，且 0AB ，使得，使得 20 ,2jj ZRAB则则 22A f221(2 , )2jjj ZWfu22B f 且存在且存在 满足满足 0 ,221jjj ZR 使得原信号可由二进小波变换得到重构：使得原信号可由二进小波变换得到重构： 212 ,2jjjj Zf tWft 2122jjjtt二进小波及其稳定性条件二进小波及其稳定性条件 二进小波及其重构小波二进小波及其重构小波 二进小波变换的稳定性条件二进小波变换的稳定性条件 二进小波变换具有平移不变性二进小波变换具有平移不变性 二进小波是允许小波二进小波是允许小波basicSadmissibleSdiscreteSdyad
24、icS离散小波是二进小波离散小波是二进小波二进小波的构造 目标目标: 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器.设设 , , ,h g h g都是有限滤波器，都是有限滤波器， ,hghg是其频域表示是其频域表示 02,00hg, , ;都是能量有限的函数，且满足都是能量有限的函数，且满足 121( )(/2) (/2)22pphh 1/2/22g 121 ( )(/2) (/2)22pphh 1/2/22g ,2hhgg 若若则则的一个重构小波。的一个重构小波。 是是 22222AhgBh为二进小波为二进小波 二进小波的构造 较简单的情况较简
25、单的情况: 21 22jjj 2 21jj是二进小波是二进小波 = 且正交二进小波正交二进小波非正交二进小波非正交二进小波二进对偶尺度函二进对偶尺度函数与对偶小波数与对偶小波问题讨论问题讨论: 21( )(/2) (/2)21/2/221/2/22202,00hgghgghg 221( )(/2) (/2)21/2/22202,00hghghg 一些常用的二进小波 例例7.1 非正交的二次样条二进小波非正交的二次样条二进小波一般求解过程参阅指定参考文献一般求解过程参阅指定参考文献,吴爱弟等 令令 为二次盒样条函数的为二次盒样条函数的Fourier变换变换: 3/2sin(/2)/2ie 322
26、22 cos2ihe 222sin2igie 取 2222022sincos222ninhgieg 421/2/22sin/42/4igie dttdt 321tt t是一个二进小波是一个二进小波(验证验证!). /2nh/2nh/2ng/2ng t t-2-1.5-1-0.500.511.522.53-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6图7-1 非正交二次二进样条小波 一些常用的二进小波画图方法讨论画图方法讨论：1）分析mallat著作中采用的方法；2）用upcoef画图的合理性。一些常用的二进小波 例例7.2 正交的二次样条二进小波正交的二次样条二进小波令令 为二次盒样条函
27、数的为二次盒样条函数的Fourier变换变换: 3/2sin(/2)/2ie 32222 cos2ihe 232231615441561264646464646464iiiiiigeeeeee 32innngg e 2ggg11,nnnnhhgg 123/20.3750,/20.1250,/20.0000hhh123/20.5798,/20.0869,/20.0061ggg其中，当 3n 时 0nnhg问题问题: 已知已知 11012 Niiiig z g zh z h zaazz求解求解g(z)?一些常用的二进小波 正交的二次二进样条小波正交的二次二进样条小波-2-1.5-1-0.500.5
28、11.522.53-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81一些常用的二进小波 例例7.2 正交的三次样条二进小波正交的三次样条二进小波令令 为三次盒样条函数的为三次盒样条函数的Fourier变换变换: 4sin(/2)/2 类似地类似地,可以求出可以求出h 和和g :01234/20.3750,/20.2500,/20.0625,0hhhhh012340,/20.59261,/20.10872,/20.01643,/20.00008ggggg,nnnnhhgg 0nnhg4n ;另一个解另一个解扬福生著,P151:1,nnnnhhgg 01234/20.3750,/20
29、.2500,/20.0625,0hhhhh1234/20.59261,/20.10872,/20.01643,/20.00008gggg问题问题: 是否都正确是否都正确?这同样涉及到上面提到的一般求解问题这同样涉及到上面提到的一般求解问题. 能否给出任意能否给出任意m 次样条二进小波的求解公式次样条二进小波的求解公式?一些常用的二进小波 正交的三次二进样条小波正交的三次二进样条小波(利用对称的数据利用对称的数据)-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8正交的三次
30、二进样条小波正交的三次二进样条小波(利用利用1/2对称的数据对称的数据)相同?一些常用的二进小波 例例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造零对称和反对称二进样条小波的构造m阶中心阶中心B样条的定义。记样条的定义。记 1111 220 tNt 其他 11,2mmNtNtN tm称 mNt为 m阶中心B样条。 sin/2/2mmN 1mNt与与 mtm+1 阶中心阶中心B样条样条 m次盒样条次盒样条 的区别与联系的区别与联系: 当当m为奇数时，为奇数时， 1mmtNt当当m为偶数时，为偶数时， 由由 1mNt mt向右平移向右平移1/2得到。得到。 以下分偶数阶和奇数阶中心以下分偶数阶和奇数阶
31、中心B样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。 一些常用的二进小波 例例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造零对称和反对称二进样条小波的构造(续续) 以偶数阶中心以偶数阶中心B样条为基础的二进样条小波样条为基础的二进样条小波 2mtNt22( )2 cos224mmiieeh 1/22h 211211cos21cos2NkkNkkgakhgakh 1/2/221/2/22gg 11Nkka12,Na aan维实数组维实数组 零对称零对称的二进样条小波的二进样条小波 21121sgn1cos2sgn1cos2NkkNkkgiakhgiakh 1/2
32、/221/2/22gg 零反对称零反对称的二进样条小波的二进样条小波 一些常用的二进小波 零对称二进样条小波零对称二进样条小波 4tNt由 构造的 -4-3-2-101234-0.4-0.200.20.40.60.811.2零反对称二进样条小波零反对称二进样条小波-4-3-2-101234-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8一些常用的二进小波 例例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造零对称和反对称二进样条小波的构造(续续) 以奇数阶中心以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波样条为基础的二进样条小波 211211cos21cos2NkkNkkgakhgakh 1/2/2
33、21/2/22gg 零对称零对称的二进样条小波的二进样条小波 21121sgn1cos2sgn1cos2NkkNkkgiakhgiakh 1/2/221/2/22gg 零反对称零反对称的二进样条小波的二进样条小波 2121122mmNhN 212 cos2mh h2非非周期周期 212111,2,2 cos222mmttNhh 解决方法解决方法:一些常用的二进小波 零对称二进样条小波零对称二进样条小波由由 构造的构造的 -4-3-2-101234-0.4-0.200.20.40.60.811.2 31/2/2tNt零反对称二进样条小波零反对称二进样条小波-3-2-10123-0.8-0.6-0
34、.4-0.200.20.40.60.8一些常用的二进小波 Marr小波作为二进小波小波作为二进小波 22/2112ttte注意注意: 与教材上相差一个系数与教材上相差一个系数利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波）利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波）扬福生著,P148:n/2nh/2ng0 0.4317 0.71181 0.2864 -0.23092 0.0450 -0.11203 -0.0393 -0.02264 -0.0132 0.00625 0.0032 0.0039问题问题: 这些滤波器系数是如何计算得到的？这些滤波器系数是如何计算得到的？ 更正更正: 应该
35、是关于零对称的系数应该是关于零对称的系数?一些常用的二进小波 -5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2为什么不是关于零对称的为什么不是关于零对称的?离散二进小波变换的快速算法 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组进行快速计算。进行快速计算。 如何理解采样间距为如何理解采样间距为1的离散信号的二进小波变换的离散信号的二进小波变换? f t0,12 ,0JJ由于由于 s=2j, 因此因此,相应的分相应的分辨率辨率j为：为：,1, 1,0JJ为
36、表述方便为表述方便,令令 1f tfN t f t0,N1小波变换的尺度为小波变换的尺度为:0,1,J1/22 ,2 ,jjWfuNWf NNu小波变换的尺度为小波变换的尺度为:111,122JJ 012 ,2 ,2J由于由于 s=2j, 因此因此,相应的分相应的分辨率辨率j为：为：离散二进小波变换的快速算法 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组进行快速计算。进行快速计算。 , , 如何理解采样间距为如何理解采样间距为1的离散信号是一个被平滑的连续函数的均匀采样的离散信号是一个被平滑的连续函数的
37、均匀采样?, , ,h g h g 00nn Zaa设设是采样间距为是采样间距为1的离散信号，的离散信号，则存在 2f tLR使得使得 0,nafnnZ 离散二进小波变换的快速算法 离散二进小波变换的定义离散二进小波变换的定义: 对任意对任意 0j ，记 /222jjjnafn /222 ,2jjjjndWfnfn对对 0j ，在整数格点上，二进小波系数由下式给出：，在整数格点上，二进小波系数由下式给出： nZnZ则对任意尺度则对任意尺度 21J，离散信号序列，离散信号序列 12,JJddda称为 0a的离散二进小波变换。的离散二进小波变换。 快速算法的基本求解思想快速算法的基本求解思想:将离
38、散的问题转化为连续的问题处理将离散的问题转化为连续的问题处理,然后给出离散的处理结果然后给出离散的处理结果. 20 jjklhlkh其他 20 jjklhlkh其他2 2jjjjjjjkn klnlnkl Zahh ah akl离散二进小波变换的快速算法 11, ,jjjjjjaahdag1112jjjjjaahdg讨论讨论:在在Matlab中中,二进二进小波变换没有对应小波变换没有对应的实现函数的实现函数,需要自需要自己编写己编写.与第与第4章中的相应章中的相应算法相比算法相比,推导过程推导过程不同不同.注意分解与重构滤注意分解与重构滤波器的不同符号波器的不同符号.离散二进小波变换的快速算法
39、 f t1d2d3d4d5d6d7d8d9da)b)二维二进小波变换的一般概念 通过两个小波通过两个小波 1, x y和和 2, x y定义定义 ，这里假设这两个小波都是，这里假设这两个小波都是实函数。实函数。112222221,2221,222jjjjjjjjxyx yxyx y则对任意的函数则对任意的函数 22,fx yLR， f在尺度在尺度 2j和位置和位置 , x y由两个分量来定义，即由两个分量来定义，即的小波变换的小波变换221112222212 , ,2,22212 , ,2,222jjjjjjjRjjjjjRux uyW fx yf u vdudvfx yux uyW fx y
40、f u vdudvfx y我们称函数集合我们称函数集合 122 , ,2 , ,jjj ZWfW fx y W fx y为 ,f x y二进小波变换。二进小波变换。 的二维的二维二维二进小波变换的一般概念 1122,2,2,2,2,2,2jjjxyxyxyjjjxyxyxyW ffW ff 若存在 0A和 0B ,使得 2,0,0 xyR 22122,22,2jjjjxyxyj ZAB则存在重构小波则存在重构小波 12, ，其，其Fourier变换满足变换满足 11222,22,22,22,21jjjjjjjjxyxyxyxyj 使得1122221,2 , ,2 , ,2jjjjjjf x y
41、W fx yW fx y 称这两个小波称这两个小波 1, x y和 2, x y为二维二进小波为二维二进小波. 二维可分离二进小波变换构造的一般框架 22hgg 1222q q2周期 12,x yxyx yxy 1222l 12,x yxyx yxy l2*2( )( ) ( )2hql1, x y和 2, x y是是 1, x y和 2, x y重构小波。重构小波。 2周期问题问题: 如何验证如何验证满足稳定性条件满足稳定性条件?常用的二维可分离二进小波变换 例例7.4 由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ( )1q，
42、则 22tt 222hl3322110131521,64326416lllllll；当 3n 时， 0nnll例例7.5 由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 ( )( )ql取 ，则 tt 2222hl 322 cos2ihe 621cos2l 与以前的问题相似与以前的问题相似,这里的关键是如何求解这里的关键是如何求解l(z)? 书上给出的是正交的三次样条二进小波对应的书上给出的是正交的三次样条二进小波对应的ln.常用的二维可分离二进小波变换 例例7.6 由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波由零对称和反对称二进小波构
43、造可分离的二维二进小波 211( )1cos2( )2Mkkqbkh取 1211( )1cos2( )2Mkklbkh11Mkkb12,Mb bb实数组 则利用则利用对称对称二进小波二进小波 t 及其重构小波及其重构小波 t所构造的所构造的 12,x yx y是一个对称的二维二进小波。是一个对称的二维二进小波。 相应地，利用相应地，利用反对称反对称二进小波二进小波 t 及其重构小波及其重构小波 t所构造的所构造的 12,x yx y是一个是一个反对称反对称的二维二进小波。的二维二进小波。 二维离散二进小波变换及其快速算法 介绍采样间距为介绍采样间距为1的规范化离散图像的二进小波变换：的规范化离
44、散图像的二进小波变换：00,n mn m Zaa设设是采样间隔为是采样间隔为1 的二维离散信号，则存在一个二维函数的二维离散信号，则存在一个二维函数22,fx yLR，使得，使得0,n mfn ma , x yxy对任意 0j ，记 对 0j ，在整数网格点 , n m上，二进小波系数由下式给出： ,22,jjjn mafn m,1,211,222,22 , ,2,2 , ,2,jjjjjjn mjjn mdW fn mfn mdW fn mfn m则对任意尺度则对任意尺度 21J，离散信号序列，离散信号序列 1,12,1,11,22,2,2,JJJdddddda称为 0a的的离散二维二进小波
45、变换离散二维二进小波变换。 二维离散二进小波变换及其快速算法 例例7.4中二维二进小波变换的快速实现：中二维二进小波变换的快速实现：式（7.36）,（7.37）,（7.38）的时域表示：11122,2,2jjjjklk lAx yh h Axk yl11122,2,jjjkkDx yg Axk y12122,2jjjllDx yg Ax yl11122,2,2jjjjklk lAn mh h Ank ml11122,2,jjjkkDn mg Ank m12122,2jjjllDn mg An ml1,2,2,jjjjn mklnk mlk lah ha1,1,2,jjjn mknk mkdg
46、a1,2,2jjjn mln mlldg a1,2,2,jjjjjjjjjjkln k m lipn mni mpn mk li pahhh h ahh aa1,1,2,jjjjjjjjjkln k m lkn k min mni mn mk lkiaggag ag ad,lkn k m lkln k m ln mlkk lah ggh ah g a二维离散二进小波变换及其快速算法 例例7.4中二维二进小波变换的快速实现：中二维二进小波变换的快速实现：1,11,21,jjjjjjjjjjdagdagaahh1,11,211,4jjjjjjjjjjadgldlgahh（739） 的时域表示为：1
47、11222,2,1,2 ,22 ,24 2 ,2jjjjjjjji pipi pi pjjjjipi pAx yg l Dxiypl g Dxiyph h Axiyp分解算法分解算法重构算法重构算法二维离散二进小波变换及其快速算法 1,11,21,jjjjjjjjjjjjdagldalgaahh例例7.5中二维二进小波变换的快速实现：中二维二进小波变换的快速实现：1,11,211,4jjjjjjjjjjadgldlgahh补选习题 提供Matlab中小波时频分析的仿真例子. 要求: 必须真正理解解题思想及过程,并详细描述之. 用Matlab画出图 6-10,并提供代码.习题说明 7.1题可以参
48、考相关资料上载网络学堂 7.6题搞清循环卷积的概念 考虑用upcoef()进行二进小波做图的合理性, 考虑小波的支撑(提示:通过小波方程应该可以求出.)补充选做习题 1. 例7.2中所提出的求解方法问题 2. 例7.4中ln的求解问题.思考题1. Marr二进小波滤波器的求解问题二进小波滤波器的求解问题2. 正交的正交的m次二进样条小波的一般求解公式问题次二进样条小波的一般求解公式问题.3. 例例7.47.6中二维二进小波稳定性条件的验证问题中二维二进小波稳定性条件的验证问题.4. 能否给出定理能否给出定理7.3中二维二进小波稳定性条件成立的一个充分条件中二维二进小波稳定性条件成立的一个充分条件.
