1、试卷第 1 页，共 4 页 20202121- -20222022 学年学年第一学期第一学期华迈华迈实验实验中学中学 高二年级高二年级期中期中考试考试 （数学）试卷（数学）试卷 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 一、一、单选题（本大题共单选题（本大题共 8 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. .） 1已知集合 |1Axx，21xBx，则AB （ ） A, 1 B1,0 C0,1 D1, 2若函数 221f xxx在区间,2a a上的最小值为
2、 4，则实数a的取值集合为（ ） A3, 1,1,3 B1,1,3 C3,3 D3, 1,3 3已知,0 x y ，且321xy，则32xy的最小值是（ ） A2 5 B5 2 C20 D25 4直线 xsin+y+2=0 的倾斜角的取值范围为（ ） A. 0, B.0,434,） C. 0,4 D. 0,42,） 5某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有 20 人，那么该样本中高三年级的人数为（ ） 年级 高一 高二 高三 合计 人数 550 500 m 1500 A16 B18 C22 D40 6已知 m，n 是两条不重合的直
3、线， 是两个不重合的平面，则“/ /”成立的一个充分条件为（ ） Am/ /，m/ /B，n/ /，n/ / Bmn，m/ /，n Cmn，m，n Dm/ /n，m，n 7已知3tan4，则cos2（ ） A35 B45 C725 D2425 8已知圆锥SO的母线长为2 6，侧面展开图的圆心角为2 33，则该圆锥外接球的表面积为（ ） A12 2 B24 C36 D48 试卷第 2 页，共 4 页 二多选题（本题共二多选题（本题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得有多个
4、选项符合题目要求，全部选对得 5 5 分，漏选得分，漏选得 2 2 分，选错得分，选错得 0 0 分）分） 9有下列说法，其中错误的说法为（ ） A若ab，bc，则ac B若ab，bc，则ac C若非零向量a,b,c，满足a ba c，则bc D若ab，则存在唯一实数使得ab 10将颜色分别为红、绿、白、蓝的 4 个小球随机分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人一个，则（ ） A事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D当事件“甲分得红球”的对立事件发生
5、时，事件“乙分得红球”发生的概率是13 11血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18 岁以上成人收缩压140 mmHg或舒张压90 mmHg，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年 40 岁，从某天早晨 6 点开始计算（即早晨 6 点时，0t ） ，他的血压 p t（mmHg）与经过的时间t（h）满足关系式 11622sin63p tt，则（ ） A函数 p t的最小正周期为 6 B当天早晨 7 点时李华的血压为138 mm
6、Hg C当天李华有高血压 D当天李华的收缩压与舒张压之差为44 mmHg 12已知直线 l：2mx-y-8m-3=0 和圆 C:2+ 2 6 + 12 + 20 = 0.则（ ） A. 无论 m 为何值，直线 l 与圆 C 总相交. B. 直线 l 被圆 C 截得的最长弦长为 5. C. 直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 215. D. 直线 l 被圆截得的弦长最短时，m=16 . 第卷（非选择题第卷（非选择题 共共 9090 分）分） 三、三、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13复数1 i3iz，则z _
7、14设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C的面积为_ 试卷第 3 页，共 4 页 15. 已知直线 l 的方向向量1,0,2n ，点0,1,1A在直线 l 上，则点1,2 3P，到直线 l的距离为 . 16法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名对ABC而言，若其内部的点 P 满120APBBPCCPA，则称 P 为ABC的费马点如图所示，在ABC中，已知45BAC，设 P 为ABC的费马点，且满足452PBAPA，则ABC的外接圆直径长为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 道题，共道题，共 707
8、0 分分. .解答解答应写出必要的文字说明证明过程或应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤演算步骤. .） 17 （本题 10 分）己知向量a，b满足，1a ，2b ，且a与b不共线 （1）若向量akb与2kab为方向相反的向量，求实数k的值； （2）若向量a与b的夹角为60，求2ab与ab的夹角 18（本题 12 分） 已知圆 C：x2y22x4y30. （1）若直线 l 与圆 C 相切，且在 x 轴，y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程； （2）从圆 C 外一点 P( x，y)向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求点 P 的轨迹方程. 19 （本题 12 分）
9、已知圆C经过点0,3，0, 3及3,0.经过坐标原点O的斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点. （1）求圆C的标准方程； （2）若点3,0P ，分别记直线PM直线PN的斜率为1k2k，求12kk的值. 20(本题 12 分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并222bcabc （1）已知_，计算ABC的面积；请从7a ，2b ，sin2sinCB这三个条件中任选两个，将问题（）补充完整，并作答 （2）求coscosBC的最大值 试卷第 4 页，共 4 页 21(本题 12 分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以160,180)，180,200)，200,220)，
10、220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图. （1）求直方图中x的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为240,260)，260,280)，280,300的三组用户中用分层抽样的方法抽取 6 户居民，并从抽取的 6 户中任选 2 户参加一个访谈节目，求参加节目的 2 户来自不同组的概率. 22(本题 12 分)如图，直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，且60BAD，1AAAB，E为1BB的延长线上一点，1DE 平面1D AC，设2AB. （1）求平面EAC和平面1D AC所成夹角的大小. （2）
11、在线段1D E上是否存在一点P，使1/AP平面EAC？若存在，求1D PPE的值；若不存在，请说明理由. 高二数学期中考试参考答案 1B 因为|1, 11xx ，所以1,1A ，由21x 得，0 x ，所以,0B AB 1,0 故选：B 2C 函数 2(1)f xx图象对称轴为1x ， 当21a，即1a 时，( )f x在,2a a上单调递减，则2min( )(2)(1)4f xf aa，解得3a 或1a ，于是得3a ， 当1a时，( )f x在,2a a上单调递增，则2min( )( )(1)4f xf aa，解得3a或1a ，于是得3a， 当11a 时，min( )(1)04f xf，即
12、无解， 综上得：3a 或3a 所以实数a的取值集合为3,3. 故选：C 3D 由,0 x y ，且321xy， 则326632(32 )94136 225yxy xxyxyxyxyx y ， 当且仅当yxxy时，即5xy时，等号成立，所以32xy的最小值是25. 故选：D. 4B. 由题得：k=-sin，因为 sin -1,1, k-1,1. 设倾斜角为，则-1 tan 1， 0,434,） 5B 由题意得高三学生人数为1500 500 550450m，因为在抽取的样本中，高二年级有 20 人，所以样本容量n满足500201500n ，得60n 所以样本中高三年级的人数为45060181500
13、，故选：B 6D 对于 A：在正方体中，分别取平面 ， 和直线 m,n,l 如图示： 设l，若/ /mnl，则满足/ / ,/ / ,/ / ,/ /mnnn，但是 a 与 相交.故 A 错误； 对于 B：在正方体中，分别取平面 ， 和直线 m,n 如图示： 满足 mn，m/ /，n，但是 a 与 相交.故 B 错误； 对于 C：在正方体中，分别取平面 ， 和直线 m,n 如图示： 满足 mn，m，n，但是 a 与 相交.故 C 错误； 对于 D：因为 m/ /n，ma，则 na，又 n，a，B 是两个不重合的平面，则 a/ /. 故 D 正确；故选：D. 7C 因为3tan4，所以22222
14、22291cossin1tan716cos2cossin9cossin1tan25116，故选：C 8C 设圆锥SO的底面半径为r，由题意得：22 332 6r，解得：2 2r . 如图，SA是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心B在SO上，连接OA，AB， 设圆锥的外接球的半径为R，则ABSBR，则22222 62 224 84OSSAOA，222ABOAOSSB，即2222 24RR，解得：3R ，圆锥的外接球的表面积为24336. 故选：C. 9ACD 对于 A，若0b ，则当ab，bc时不一定满足ac，故 A 错误. 对于 B，当ab，bc时，根据向量的传递性则有ac，故 B
15、正确. 对于 C，若a ba c，则cos,cos,a ba ba ca c，即cos,cos,ba bca c，无法推出bc，故 C 错误. 对于 D，若0b ，则当ab时不一定存在唯一实数使得ab，故 D 错误. 故选:ACD 10BD 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A 错误； 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B 正确； 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C 错误； 事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红
16、球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是13，D 正确. 故选：BD 11BCD 因为6w，所以212Tw； 当1t 时， 138p t ，所以当天早晨 7 点时李华的血压为138mmHg； 因为 p t的最大值为11622138，最小值为116229490，所以李华的收缩压为138mmHg，舒张压为94mmHg，因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为44mmHg. 故选：BCD. 12ACD. 直线 l 过定点 P（4，-3） ，圆 C 方程为( 3)2+ ( + 6)2= 25. P 在圆内，l 与圆 C 相交. 当直线 l 过圆心 （3， -6）
17、时， 最长弦长为直径 2R=10， 当直线 lPC 时， 弦长最短， 此时 m=16 ，最短弦长为 215. 1355 1i3i1i24 i12i3i3i3i1 055z， 所以22125555z ，故答案为：55. 144 圆 C：x2y22ay20 化为标准方程是 C：x2(ya)2a22， 所以圆心 C(0，a)，半径 r a22，|AB|2 3，点 C 到直线 yx2a 即 xy2a0 的距离 d|0a2a|2，由勾股定理得2 322|0a2a|22a22，解得 a22，所以 r2，所以圆 C 的面积为 224. 15解：=112a AP ， ，10 25， ， 1,1,21,0,23
18、55a ， 2223211056555daa. 162 3 由已知1801204515PAB，所以451530PAC. 在PAC中，1801203030PCA，故2PAPC. 在PAB中，由正弦定理2sin15sin15sin45sin45PBPAPB（*） 而232162sin15sin 453022224， 2sin452代入（*）式得3 1PB. 在PBC中，利用余弦定理2222cos1206BCPBPCPB PC， 在ABC中，利用正弦定理622 3sin4522BCR 则ABC的外接圆直径长为2 3 故答案为：2 3 17 （1）2； （2）120. （1）因为向量akb与2kab为
19、方向相反的向量， 所以存在实数0，使得2akbkab，且a与b不共线， 所以12kk，解得：222k 或222k（舍） ； 所以实数k的值为2； （2）因为向量a与b的夹角为60，1a ，2b ， 所以1cos601 212a bab ， 2222222222 11 23ababaa bbaa bb ， 222222444422 3ababaa bb ， 222221 2 1 23ababaa bb ， 所以 231cos22 332abababab ， 因为0180，所以120. 18 【答案】【答案】 （1）10 xy 或30 xy； （2）2430 xy. （1）圆 C 标准方程为22(
20、1)(2)2xy，则圆心( 1,2)C ，半径为2， 令xyb，则有| 1 2|22b ，解得1b 或3b. 直线 l 的方程为10 xy 或30 xy. （2）由圆上切点的性质知：222|PMPCr，由|PM|PO|， 2222(1)(2)2xyxy，整理得2430 xy. 故点 P 的轨迹方程为2430 xy. 19 【答案】【答案】 （1）2214xy； （2）0. （1）设圆C的方程为：220 xyDxEyF，由圆C过0,3，0, 3及3,0. 2330330330EFEFDF可得203DEF ， 圆C的方程为：22230 xyx ，其标准方程为2214xy； （2）设11,M x y
21、，22,N xy，直线l为ykx， 与圆C：2214xy联立得：221230kxx， 2244 3112160kk ，则12221xxk，12231x xk ， 12121212123333yykxkxkkxxxx1212122333kx xxxxx22126611033kkkxx. 20 （）答案见解析； （）1. （）222bcabc，由余弦定理知，2221cos222bcabcAbcbc，(0, )A，3A 选择：222bcabc，2472cc ，即2230cc ，解得3c 或1（舍负） ，则ABC的面积113 3sin2 3 sin2232SbcA ； 选择：由正弦定理知，sinsin
22、bcBC，sin2sinCB，2 (*)cb ，222bcabc，227(*)bcbc，由*构成的方程组，解得213b ，2 213c ，则ABC的面积212 213117 3sinsin22363SbcA 选择：由正弦定理知，sinsinbcBC，sin2sinCB，24cb ， 则ABC的面积11sin2 4 sin2 3223SbcA （）由（）知，3A，23BC，213coscoscoscos()coscossinsin()3226BCBBBBBB， 203B，(66B，5)6，1sin()(62B，1，故coscosBC的最大值为 1 21 【答案】【答案】 （1）0.0075； （
23、2）众数是230，中位数是224； （3）1115. （1）由(0.00200.00950.01100.01250.00500.0025) 201x 得0.0075x ，所以直方图中x的值是 0.0075. （2）月平均用电量的众数是2202402302. 因为(0.00200.00950.0110) 200.450.5， 且(0.00200.00950.01100.0125) 200.70.5， 所以月平均用电量的中位数在220,240)内， 设中位数为a，由(0.00200.00950.0110) 200.0125 (220)0.5a， 解得224a ，所以月平均用电量的中位数是 224.
24、 （3）月平均用电量为240,260)的用户有0.0075 20 10015（户） ， 月平均用电量为260,280)的用户有0.005 20 10010（户） ， 月平均用电量在280,300的用户有0.0025 20 1005（户）. 抽样方法为分层抽样，在240,260)，260,280)，280,300中的用户比为3:2:1， 所以在240,260)，260,280)，280,300中分别抽取 3 户2 户和 1 户. 设参加节目的 2 户来自不同组为事件A，将来自240,260)的用户记为1a，2a，3a， 来自260,280)的用户记为1b，2b，来自280,300的用户记为c，
25、在 6 户中随机抽取 2 户有12,a a，13,a a，11,a b，12,a b，1,a c，23,a a，21,a b，22,a b，2,a c，31,a b，32,a b，3,a c，12,b b，1,b c，2,b c，共 15 种取法， 其中满足条件的有11,a b，12,a b，1,a c，21,a b，22,a b，2,a c，31,a b，32,a b，3,a c，1,b c，2,b c共 11 种故参加节目的 2 户来自不同组的概率11( )15P A . 22 （1）45； （2）存在，32. （1）连接BD，交AC于点O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则3,0
26、,0A，3,0,0C ，10, 1,2D，设0,1,2Eh， 则10,2,D Eh，2 3,0,0CA，13,1, 2D A. 1DE 平面1D AC，1DEAC，11D ED A， 11220D E D Ah，1h，即0,1,3E， 10,2,1D E ，3,1,3AE ， 设平面EAC的法向量为, ,mx y z，由00m CAm AE，得2 30330 xxyz， 令1z ，则0,3, 1m ， 又平面1D AC的一个法向量为10,2,1D E ， 1112cos,2m D Em D EmD E，由图知二面角1EACD的平面角为锐角， 二面角1EACD的平面角的大小为45； （2）假设在线段1D E上存在点P满足题意，设1110DPPEDEDP， 得1120,111D PD E， 13,0,2A，10, 1,2D，113, 1,0AD ， 1111213, 1,00,3,1111APADD P 1/AP平面EAC，1APm，13031011 ，32， 存在点P使1/AP平面EAC，此时132D PPE.
