1、 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力中学生标准学术能力诊断诊断性测试性测试 2022 年年 3 月测试月测试 文科文科数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟。 一、一、选择题选择题：本题共：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的 1 已知1,0,1,3,5A = ，()40Bx x x=，则AB = A0,1 B1,1,3 C0,1,3 D1,3 2 命题“2R,0 xx ”的否定是
2、 A2R ,0 xx B2R ,0 xx C200R ,0 xx D200R ,0 xx 3 函数( )sin 23 cos 2f xxx=+的最小正周期和最大值分别为 A和2 B和1+3 C2和2 D2和1+3 4 若实数xy、满足约束条件310 xyyxx+，则2zxy=+的最大值为 A1 B3 C4 D6 5 已知1F、2F为椭圆22:14xy+=的左、右焦点，M为上的点，则12MF F面积的最大值为 A3 B2 C23 D4 6 科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时所释放出的能量，则里氏震级r可定义为 2lg3.23rI=+若41.210I =，则相应的震级为（已知：lg 2
3、0.3010=，lg30.4771=） A5.8 B5.9 C6.0 D6.1 7 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A26 B28 C30 D32 8 已知()13,ABDC=，且ABADACABADAC+=，则AC = A2 B2 2 C23 D4 9 在复平面xOy内，复数12,zz所对应的点分别为12,ZZ，给出下列四个式子：2211zz=；1212zzzz=；2211OZOZ=；1212OZOZOZOZ=其中恒成立的个数为 A1 B2 C3 D4 10已知无穷等差数列na的首项10a ，公差0d ，nS为其前n项和则下列判断正确的是 AnS单调递增 B
4、nS单调递减 CnS有最小值 DnS有最大值 11已知直线abl、 、和平面、，a，b，l=，且对于以下命题，下列判断正确的是 若ab、异面，则ab、至少有一个与l相交； 若ab、垂直，则ab、至少有一个与l垂直 A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C是假命题，是假命题 D是真命题，是真命题 12已知定义域为R的偶函数( )f x和奇函数( )g x满足：( )( )2xf xg x+=若存在实数a，使得关于x的不等式()()( )( )0nf xag xa在区间1,2上恒成立，则正整数n的最小值为 A1 B2 C3 D4 （第 7 题图） 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4
5、页 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知一组数据a，1，3，7的中位数为4，则该组数据的方差为 14学号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九位同学参加甲、乙两项公益活动，其中甲组四人，乙组五人，则 1 号同学和 9 号同学恰好分在同一组的概率为 15 已知抛物线2:2(0)ypx p=的焦点为F， 斜率为 1 的直线l与抛物线相交于A、B两点，若3AF =，5BF =，则AB= 16已知函数1( )f xxabx=+若函数( )f x在(,0)上存在两个不相等的零点，则实数a的取值范围是 三三、解答题：本题共解答题
6、：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列na的前n项和为nS，24a=，且对任意n N，都有122nnSS+= （1）求数列na的通项公式； （2）设nnnba=，求数列nb的前n项和nT 18 （12 分） “双减”实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每周的自主学习时间（单位：小时） ，并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围是7,12，样本数据分组为)7,8，)8,9，)9,10，)10,11，11,12根据直方图，计算下列问题 （1）求a的值及自主学习时
7、间在)9,10内的学生人数； （2）从这200名学生中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在)8,11内为事件A， 所抽取学生自主学习时间在10,12内为事件B， 判断事件A和B是否互相独立，并说明理由 19 （12 分）在三棱锥DABC中，ADCD，ADBC，ACBC，ADCD=，2ACBC= （1）求三棱锥DABC的体积； （2）求异面直线AC与BD所成角的大小 20 （12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyabab=的左、右顶点分别为1( 1, 0)A 、2(1, 0)A，离心率为2，过点(2, 0)F斜率不为0的直线l与交于PQ、两点 （1）求双曲线的渐近线方程； （2）记直
8、线1A P、2A Q的斜率分别为12kk、，求证：12kk为定值 21 （12 分）已知函数( )lnf xxa=+ （1）若曲线( )yf x=在()1,(1)f处的切线经过点(0,1)，求实数a的值； （2）若对任意(0,)x +，都有e( )x af x（e为自然对数的底） ，求证：1a 22 （10 分）已知函数( )224 +()fxxxax=+ R （1）若1a =，求证：( )4f x ； （2）若对于任意1,2x ，都有( )4f x ，求实数a的取值范围 （第 18 题图） ACDB（第 19 题图） 第1页 共5页 中学生标准学术能力中学生标准学术能力诊断性诊断性测试测试
9、2022 年年 3 月月测试测试 文科文科数学数学参考答案参考答案 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C A C A B B A B C D B 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 135 1449 152 2 16(1,)+ 三三、解答题：本题共、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、
10、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） （1）解： 因为2122SS=，所以212aa=， 因为24a =，所以12a =， 2 分 当2n 时，122nnSS=，122nnSS+=， 两式相减得，12nnaa+=， .4 分 因为212aa=，所以对任意n N，都有12nnaa+=， 所以()2nnan= N6 分 （2）2nnnb =， 231232222nnnT =+ +，212321222nnnT=+ + 两式相减得，2111112222nnnnT=+ ， 9 分 所以1122212212nnnnnnT+=()n N 12 分 18 （12 分）
11、 第2页 共5页 （1）解：因为组距为 1，所以0.40.150.10.11a+=，得0.25a = 2 分 在9，10)的频率为 0.25， 所以在9，10)内的人数为0.2520050=人 4 分 （2）在区间8，11)内的频率为0.150.250.40.8+=，所以()0.8P A =； 6 分 在区间10， 12内的频率为0.40.10.5+=， 所以()0.5P B =； .8 分 在区间10，11)内的频率为0.4，所以()0.4P AB =, .10 分 因为()()()P A P BP AB=， 所以事件A与B互相独立. .12 分 19 （12 分） （1）解：因为ACBC，
12、ADBC， 所以BC 面ADC， 2 分 所以三棱锥DABC的体积1=3ACDVBCS， 得112=323VBCADCD=， 4 分 （2）取AC中点H，因为ADCD=，所以DHAC， 由（1）知，BCDH，所以DH 底面ABC，6 分 如图，作BE平行且等于AC，所以ACBE是平行四边形， DBE是异面直线BD和AC所成的角， 8 分 因为BCAC，所以AEAC， 因为1AH =，2AE =， 所以5EH =，同理5BH =， 因为DHEH，DHBH，1DH =， 所以6DEDB=， 10 分 在DEB中，6DEDB=，2BE =， 所以6arccos6DBE=. 12分20 （12 分）
13、（1）解：设双曲线的半焦距为c， HADCBE 第3页 共5页 由已知1a =，2cea=， 2223bca= 2 分 双曲线的方程为2213yx =， 双曲线的渐近线方程为3yx= . 4 分 （2）当l的斜率不存在时，点PQ、的坐标分别为(2,3)和(2,3)， 当11k =时，23k = ；当11k = 时，23k =； 此时1213kk= ，猜想当l的斜率k存在时，1213kk= . 6 分 设11(,)P xy，22(,)Q xy，l的方程为(2)yk x=， 将直线l代入双曲线方程得2222(3)4430kxk xk+=， 212243kxxk+=，2122433kx xk+=，
14、8 分 121212121233 (2)(2)31111yyk xk xkkxxxx+=+=+ ()()()()()()()1212123211211kxxxxxx+=+ ()()()()()12121212123222211kx xxxx xxxxx+=+ ()()()()12121245411kx xxxxx+=+ 10 分 因为()()()222121224 43204345403kkkx xxxk+= 所以1230kk+=，所以1213kk= ，12kk为定值. 12 分21 （12 分） （1）解：1( )fxx=，所以(1)1f=，(1)fa=， 2 分 第4页 共5页 所以曲线(
15、 )yf x=在点()1,(1)f处的切线方程为1yxa=+， 所以2a =. 4 分 （2）设( )elnx ag xxa=，则1( )exagxx=，6 分 设0001()e0 xagxx=，则00lnaxx=+， 因为( )gx在(0,)+上递增， 所以当0(0,)xx时，( )0gx ，当()0,xx+时，( )0gx 所以( )g x在0(0,)x上递减， 在0(,)x+上递增， 8 分 所以0min000001( )()ln2ln0 xagxg xexaxxx=， 10 分 因为1( )2lnh xxxx=在(0,)+上递减，且(1)0h=， 所以01x ， 所以00ln1axx=
16、+. 12 分 22 （10 分） （1）解：方法一：22( )24125f xxxxx=+， 2 分 因为2254xx+，所以( )4f x . 4 分 方法二：当2x 时，2( )23(2)5f xxxf=+=， 2 分 当2x 时，2( )25(1)4f xxxf=+=， 所以( )4f x . 4 分 （2）当1,2x 时，2( )42f xxxa=+， 由( )4f x ，得2222xxaxx +， 6 分 设2( )2h xxx= ，2( )2g xxx= +， 对任意1,2x ，( )4f x 恒成立，所以maxmin( )( )hxagx， 8 分 第5页 共5页 因为在区间1,2上， max( )(1)3hxh= ，min( )(2)0gxg=， 所以30a . 10 分
