1、湖南省2022年普通高中学业水平考试数学模拟试卷（四）本试卷包括选择题、填空题、和解答题三部分。时量90分钟，满分100分一、 选择题：本大题共10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、 已知角a=15，则a的弧度数为A、3 B、6 C、8 D、122、一组样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x等于A、21 B、22 C、20 D、233、简谐运动 y=4sin(5x3）的相位与初相分别是A、 5x3，3 B、5x3，4 C、5x3，3 D、4，34、若A，B为对立事件，则下列式子中成立
2、的是A、P(A) P(B)1 C、P(A) P(B)=0 D、P(A) P(B)=15、若复数Z=34i的模为a，虚部为b，则ab等于A、54i B、54i C、1 D、96、10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有A、abc B、bca C、cab D、cba7、函数f(x)=5-x在区间3,2上的最大值是A、125 B、25 C、1125 D、1258、已知Z1=2i，Z2=12i，则复数Z=Z2Z1对应的点位于A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限9、袋内装的红、白、
3、黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是A、至少一个白球；都是白球 B、至少一个白球；至少一个黑球 C、至少一个白球；一个白球，一个黑球 D、至少一个白球；红球、黑球各一个 10、函数y=sinx|sinx|的值域是A、0 B、1，1 C、0，1 D、2，0 二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。11、 函数f(x)=lnx的定义域是12、 甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为13、 某学习小组有2男5女共7名同学，从中随机抽取1人进行演讲同，则抽到女生的概率是 14、如果正ABC的边长为1，那么ABAC等于15、棱长均为4的三棱锥的表面积是三
4、、 解答题：本大题共4个小题，满分40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16、（本小题满分10分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1） 求这1000名患者潜伏期的众数、平均数；（2） 并计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数.17、（本小题满分10分）已知函数f(x)=sin2x1.（1） 求函数f(x)的最小正周期和最大值；（2）
5、求函数f(x)的单调减区间.18、（本小题满分10分）某交通路段限速70km/h，现对通过该路段的n辆汽车车速进行检测、统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.（1） 若这n辆汽车中，速度在60km/h70km/h之间的车辆有150辆，求n的值；（2） 根据频率分布直方图，估计汽车在该路段超速的概率.19、（本小题满分10分）已知函数f(x)=a|x|，g(x)=a-|x|，其中a0，且a1.（1） 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2） 若不等式f(x)g(x)对xR都成立，求a的取值范围；（3） 设f(1)=2，直线y=t1与y=f(x)的图象交于A，B两点，直线y=t2与g(x)的图
6、象交于C，D两点，得到四边形ABCD.证明：存在实数t1，t2，使四边形ABCD为正方形.参考答案一、 选择题15 D A C D C 610 DA C D D二、填空题11、(0，+) 12、13 13、57 14、1215.163三、解答题16.解：(1)由频率分布直方图可得众数为7，平均数=0.0221+0.0823+0.1525+0.1827+0.0329+0.03211+0.01213=6.所以这1000名患者潜伏期的众数为7，平均数为6.(2)由频率分布直方图可知，小于6的频率为(0.02+0.08+0.15)2=0.5，所以这1000名患者中“短潜伏者”的人数为10000.5=5
7、00.17.解：（1）函数的最小正周期为T= 22=，当sin2x=1时最大值为2；（2）令22k2x322k（kZ），所以4kx34k（kZ），f(x)单调递减区间是4k，34k（kZ）.18.解：(1)由直方图可知，车速在60km/h70km/h之间的频率为0.3，所以150n= 0.3.得n = 500.(2)由直方图可知，车速在70km/h80km/h之间的频率为0.28，车速在80km/h90km/h之间的频率为0.1，所以可以估计汽车在该路段超速的概率为0.280.1=0.3819.解：（1）因为xR，且f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数（2）当a1时，因为|x|x|，
8、y=ax在R上是增函数，所以a|x|a-|x|，即不等式f(x)g(x)对xR都成立；当0a1时，因为|x|x|，y=ax在R上是减函数，所以a|x|a-|x|，与已知矛盾，综上所述，a的取值范围为(1，).（3）由f(1)=2，得a=2.令2|x|=t1，则t11，且x=log2t1，故|AB|=2log2t1，令2-|x|=t2，则0t21，且x=log2t2，故|CD|=2log2t2，由|AB|=|CD|，得2log2t1=-2log2t2，故t1t2=1.又因为|AB|=|BC|=t1t2，得2log2t1=t1t2=t11t1 .令h(x)=x1x-2log2x(x1)，由h(2)=-120，h(8)=1580，得h(2)h(8)0，故h(x)在(2，8)上存在零点，记为工x0 .令t1=x0，t2=1x0，所以存在实数t1，t2，使四边形ABCD为正方形，即原命题成立.
