1、小学三年级数学上（第二单元）义务教育语文课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛模板目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品22千米和吨单元作业设计一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学三年级第二学期苏教版千米和吨单元 组织方式R自然单元重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1认识千米第2.1(P20-21)2认识吨第2.2(P22-23）3练习三第2.3(P24-25)二、单元分析(一）课标要求认识千米，感受1千米的实际长短，能进行长度单位的简单换算。认识吨，感受1吨的实际轻重，能进行质量单位的简单换算。千米属于图形与几何领域的内容，而质量单位吨属于数
2、与代数领域。课标在 “知识技能”方面指出：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程；了解平面几何体和常见的几何图形。在“数学思考”方面指出：通过运用数和适量的度量单位描述生活中的简单现象，发展学生空间观念。（二）教材分析1.知识网络2.内容分析本单元是在学生已经学习了长度单位米、分米、厘米和毫米，以及质量单位千克、克的基础上，继续学习较大的长度单位千米和较大的质量单位吨。本单元內容大体分为两段安排：第一段认识千米，感受1千米的实际长短，能进行长度单位的简单换算；第二段，认识吨，感受1吨的实际轻重，能进行质量单位的简单换算。在以上内容之后合理安排了一次综合练习。本单元的教学重点是，在具体情境中认识千
3、米和吨的含义，知道1千米=1000 米、1吨=1000千克;结合生活经验和简单推算感受1千米的实际长度和1吨的实际轻重。这是因为只有知道千米和吨的含义，才能产生1千米有多长、1吨有多重的探索兴趣，也才能进一步展开观察、测量、推算、调查等诸多学习活动。另一方面，也只有初步建立1千米有多长以及1吨有多重的观念，才能更好地理解与千米、吨有关的实际问题中的数量关系，并正确解答相关的问题。本单元的教学难点是，帮助学生初步建立1千米有多长的长度观念和1吨有多重的质量观念。这不仅是因为学生在生活中缺少接触较大长度单位和质量单位的机会，生活经验积累不足，而且是因为建立上述观念的过程通常要依赖于间接的感 知，这
4、就使得活动过程显得有些抽象，从而也就会影响相关观念的清晰度。通过本单元学习，学生对重量单位和长度有比较全面的认识和理解。这不仅是工农业生产和日常生活的需要，也为以后学习新知打下基础。（三）学情分析千米和吨”是本单元的新知，要获得这一新知，必须在学习这这一新知前，首先引导学生分别复习已经学过的长度单位和重量单位，说一说在学过的长度单位和重量单位中，各是哪个单位比较大，哪个单位比较小;看一看1米的长，比划1米大约在多长,10米、20米、30米.50米、100米又有多长;说一-说哪些物体重1千克，哪些物体是5千克、10千克、20千克千克等，为学习新知打下伏笔。学生拥有的生活经验和生活环境也是学生学习
5、新知知识的生长点。如在引导学生认识“千米”时，除了教材上所呈现的场景外，可以结合学生身边比较熟悉的一些情景，如家乡附近学生比较熟悉的标示牌等，这样更有利于学生感知和理解“千米”。当学生对1千米有所了解后，可以假设不同长度的操场，让学生想想1千米应该各有多少圈，进一步理解和掌握1千米的长度。或者假设一起坐车外出旅游，请大家结合地图说说哪儿到哪儿是多少千米，哪儿到哪儿是多少千米通过各种各样的例子，学生对“千米”的意义建构就会越来越深刻。在本单元中，学生对“吨”的表象积累远不及对“千米”的表象积累多，因此在引导学生学习“吨”这一知识时，必须充分设置各种学生比较熟知的生活情境， 让学生学习情境中理解大
6、约什么样的情形是10千克、50千克、100千克，1吨的重量中又有多少个100千克等等，让学生在此过程中逐步建立起关于“吨”的比较准确的表象。注意:“第一印象”十分重要，首次感知要十分强烈深刻才行，在此基础上，再通过另-些情境巩固对“吨”的认识，并逐步发展学生的基础知识和基本技能，以及运用所学知识解决实际问题的能力，并通过讨论与交流逐步形成解决问题的初步策略。三、单元学习与作业目标1. 引导学生结合具体情境和实践活动，认识并感受长度单位千米和质量单位吨，建立1千米有多长以及1吨有多重的观念，知道1千米= 1000米、1吨= 1000千克，能进行简单的单位换算。2. 引导学生在解决与千克、吨有关的
7、实际问题中初步了解千米和吨在日常生活中的实际应用，能选择合适的长度单位或质量单位进行交流，会合理估计长度或物体的轻重，能正确理解相关数量关系，发展数学推理能力和估测能力。3. 引导学生在观察、比较、推算和实际调查等活中，进-步体会数学与生活的密切联系，增强动手实践，合作交流的意识，激发学生学习兴趣。四、单元作业设计思路分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量2-3大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性， 题量 2大题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：五、课时作业第一课时（认识千米）作业 1（基础性作业）1. 作业内容（1）在括号里填
8、上合适的单位数：“千米”哥哥昂着头对“米”说：“我比你大多了，像计量路程或测算铁路、公 路、河流的长度都用我，通常用（ ）作单位，我还可以用字母（ ）表示。我有（ ）个你这么长。”“米”弟弟不甘示弱地说道：“常用的长度单位有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ），我们都是其中的一员， 各有用途，不信你看!”(2) 在（）里填上合适的单位名称。高大约为4（ ）厚度大约为5（ ）每小时行驶70（ ）长度大约为30（ ）千米哥哥不好意思地说：“米弟弟，你说的对！小朋友们你们能弄清楚我们的关系吗？尝试着说一说吧”（3）4千米=（ ）米5000米=（ ）千米6千米-3千米=（ ）米7千米-2000米=（
9、 ）千米2. 时间要求（8分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.
10、 作业分析与设计意图作业第（1）题是为了巩固学生对千米的认识并对常见的长度单位形成整体感知，学会选择合适的长度单位。设计意图：根据学生年龄特点，将”千米”和“米”拟人化，利用情景对话式作业激发学生学习兴趣，巩固基础知识，为后续深入学习提供可能性。作业第（2）题呈现涉及长度单位的图片，引导学生感受长度单位在生活中的应用，加强数学与生活的联系。作业第（3）题是为了考察学生是否能进行千米和米的单位换算。本题是在完成第（1）的基础上完成的，学生已经知道1千米=1000米，过多的书写也只是机械的重复，故本题采用“说一说”的答题方式，在减轻学生负担的同时又巩固千米和米的作业 2（发展性作业） 1.作业内容
11、（1）永明小学冬季长跑开始啦！操场一圈长为200米。为强生健体，小朋友们每天跑5圈。每个小朋友每天跑多少米？小明为冬季长跑活动设计了一句口号，请你用所学知识将口号补充完整。每天（ ）千米，强壮中国人。1千米大体验（选做）(2)体验地点（从哪里到哪里）体验方式步数、时间我的感受和发现2. 时间要求（7 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案
12、错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4. 作业分析与设计意图作业第（1）题综合运用对应用千米相关的知识解决实际问题。将数学知识融入现实场景，加强数学与生活的联系，树立学生强身健体意识；将单位换算融入到口号中，避免了单一的单位换算的同时发展学生的创造性思维。第（2）题引导学生在认识千米的基础上，进行实践，进一步加深对千米的认识。“1千米大体验”是作为实践性作业，引导
13、学生从不同体验方式出发，从时间维度，自己的感受和发现中直观的、深入的认识千米。这样的活动不仅有助于学生真切的感受1千米的实际长短，进而形成更加清晰的长度表象，有利于培养学生自觉积累数据资料、主动提出问题发现问题的意识、体验解决问题策略的多样性，同时在交流感受的过程中培养学生的语言表达能力。通过表格的对比还能培养学生节能减排意识。第二课时（认识吨）吨的自我介绍大家好！我是质量单位“吨”，平时你们常用（）和（）来计量物体的质量，在称比较重或大宗物品的质量时，我就派上大用场了， 我还可以用字母（）表示。比如说:大象重4（），三(1)班40个同学的体重加起来约1（）。也就是说大象重（）千克，三(1)
14、班40个同学的体重加起来约（）千克。作业1（基础性作业） 1.作业内容.（1）连一连（2）2吨1千克200克4千克2. 时间要求（8 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、
15、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4. 作业分析与设计意图作业第（1）题为了巩固学生对质量单位吨的认识，感受1吨有多重，知道1吨=1000千克，对常见的质量单位形成整体感知。将“吨”拟人化，利用吨的自我介绍化枯燥为趣味，既强化了学生对吨的认知又调动了学生学习的主动性。第（2） 题利用生活中的常见物，将所学知识与生活建立联系，直观的感受到不同单位的的适用性，把“学数学”变成“用数学”，突出数学现实价值。作业 2（发展性作业） 1.作业内容（1）下面那些车辆能通过，为什么？A. 杨叔叔的车装载8000千克煤安全出行，请勿超载！B.
16、 王叔叔的车装载200袋面粉，每袋重50千克C.李叔叔的车装载10吨大米和7000克的面粉（2）节约用水我能行调查一下你家每月用水量是多少吨，用自己喜欢的方式记录下来。“节约用水，人人有责。”怎样做到每月少用一吨水呢？（选做）2. 时间要求（7分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
17、B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C等。4. 作业分析与设计意图作业第（1）题，巩固千克与吨的简单换算的知识，运用相关知识解决实际问题。本题依托于依托真实生活情境，在巩固知识的同时让学生感受到生活中处处有数学。在作业中渗透交通安全教育，实现作业的德育功能。第（2）题在认识吨的基础上，进行实践，通过进一步加深对吨的认识。“节约用水我能行”这一作业是利用学生身边可开发的课外资源进行的实践性作业，引导学生在生活中习得知识，真正做到应用
18、知识，助力生活。通过实践，让学生感受到水资源的宝贵，帮助学生树牢“惜水、爱水、节水”意识同时通过寻求合理的途径解决问题，培养学生的数学解决问题发能力和创新意识。“跳一跳，摘桃子。”为鼓励学生大胆尝试，特制作二维码小提示，为学生的提供思维支架，从而突破学生的最近发展区。第三课时（练习三）作业 1（基础性作业）1. 作业内容说一说（1）本单元我们认识了新朋友千米和吨，你知道了那些千米和吨的知识，和同伴说一说吧！我们学过那些长度单位，你能按照从大到小的顺序说一说吗？你能按照从小到大的顺序说一说表示物体有多重的质量单位有哪些吗？它们相邻的进率是多少？小糊涂日记早上我起床晚了，差点上学迟到，吓得我赶快从
19、2分米的床上爬起来。路上我匆忙的吃了一个30千克的鸡蛋，看到的一辆载重量10克的货车我不一会儿就走完了1000千米，赶在上课铃响之前来到了学校， 我从笔袋里拿出1米长的铅笔，开始了今天的快乐学习（2）老师在小糊涂的日记上写了三个字“不可能”，请把不可能的地方圈一圈， 并帮助小糊涂改正吧！2. 时间要求（8 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程
20、，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评4. 作业分析与设计意图作业第（1）题要求学生认识千米，感受1千米的实际长短；认识吨，感受1吨的实际轻重；知道常见的长度单位和重量单位，能进行相关单位的简单换算。将回顾单元所学知识，拆分成一个个小问题，引导学生自主整理学过的长度单位和质量单位，将旧知与新知进行有效衔接，促进认知结构的不断优化。采用说一说的形式既减轻了学生负担又发展了学生的语言表达的能力，可谓一举多
21、得。第（2）题对应学习水平：在具体情境中了解常见长度单位和质量单位的意义，学会选择合适的单位，增加对长度单位及质量单位的感知。通过趣味性、生活化的的情节设置，引导学生找出日记里错误的单位名称，将所学的长度单位、质量单位进行整合，加深学生对单位名称的印象，在具体的生活情境中的改错正的过 程，学生灵活选择正确的单位变得水到渠成。作业 2（发展性作业） 1.作业内容查一查（1）祖国强，我骄傲神舟十三载人飞船全长（）米，总重量达到（）千克，约（）吨。我国最快高铁也是世界最快高铁上海磁悬浮列车每小时可行驶（）千米。家乡美，我自豪池州境内，素有“千古诗河”美称的秋浦河全长（）千米。 佛教名山九华山的地藏菩
22、萨露天铜像高（）米，重（）吨。（2）请你用自己喜欢的方式制作关于长度单位和质量单位思维导图，和小组成员分享你金子般的思维吧！（选做）2. 时间要求（8分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合
23、评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为C等。4. 作业分析与设计意图作业第（1）题再具体情境中感受千米和吨的意义，增进学生对单位的感知。查阅相关资料锻炼学生的动手以及收集信息能力，丰富学生对长度单位及质量单位的认识，提高学生的综合素质。同时让学生到感受祖国的强大，家乡的美好，培养孩子爱祖国爱家乡的情感。作业第（2）题对应对应学习水平：整体感知长度单位和质量单位，考察学生是否掌握及是否学会应用相关知识。这是一道选做题，引导学有余力的同学通过绘制思维导图将知识进行系统梳理，培养学生发散思维和联想能力。另外为了帮助想要尝试完成此题
24、的孩子，特制作二维码“小提示”，为学生提供思维支架，放扶结合，让学生获得成功体验，树立学好数学的信心。六、单元质量检测作业（一）单元质量检测作业内容通过本单元的学习，你一定有许多收获，带着满满的收获开始智勇大闯关吧！加油!第一关：我会填（1）6吨=()千克4000米=()千米3000千克=()吨1千米=()米2000克=()千克9吨=()千克（2） 在括号里填上合适的单位。一只猴子大约重13()。一辆卡车的载重量大约是8()。妹妹的身高是1()。某高速公路全长大约274()。第二关：我会选（3） 小明沿着操场跑了一圈,大约跑了()。A.400米B.200千米C.200厘米（4） 小亮3小时()
25、行了300千米。A.步行B.骑自行车C.坐小汽车（5） 一匹马的质量是250千克,4匹马的质量是()。A.1000克B.2000千克C.1吨第三关：我会连（6） 350克3吨2千克1克第四关：我会用（7） 要往灾区运送84吨货物,这辆货车至少要运多少次?载重量3吨一方有难,八方支援（8） 水果店运来了一批水果,其中苹果有1030千克,香蕉有420千克,桃子有550千克。一共运来了多少千克水果?合多少吨?（9） 小明和妈妈坐汽车去看望舅舅,小明家距离舅舅家有258千米。她们早上8时出发,3小时后她们能到舅舅家吗?每小时行驶85千米（二）单元质量检测作业属性表序号类型对 应 单元 作 业目标对应学
26、习水平难度来源完成时间了解理解应用1填空题易改编30分钟2填空题易改编3选择题易改编4选择题中改编5选择题中改编6解答题中改编7解答题中原创8解答题较难改编9解答题较难改编教学知识转变是指将学校外部的学科知识或者某些对象引进课堂时产生的数学知识变化过程。其研究目的是刻画在学校所教的知识、内容是什么。这些知识是从学校外部转移到学校的，需要适应性转变, 才能被运用于学校提供的新环境里。由于被转换的知识是反映学校外部的社会要求，不是在学校内部发生的，因此，转换过程其实就是重构学校外部的知识。学校外部的知识的存在不是为了教学，是为了使用而产生的。如患者找医生是为了求医生的医学知识和经验，不是为了学医学
27、的。这种知识与学校的教学知华东师范大学博士学位论文11识有区别，有相对的独立性。知识体（body of knowledge）是在学校外部建构的，符合特定的要求以及在特殊条件下形式。其中一些知识由不同行动者和不同时间组成的社会结构选择、界定、重新组织，进而重新定义后到达课堂（Bosch & Gascn, 2006，52-54）。因此，不像那些为了使用而产生的知识，实际教学的知识需要社会的承认以及正当化（Kang & Kilpatrick, 1992，4）。经过知识的不同要素的解构并重建的过程，工具性的知识转变到学校或者课堂中可教学的知识。如图 2-1，知识的转变过程围绕着知识的产生、投入使用、选
28、择、设计到实际教学的转换。数学学科知识（Scholarly knowledge）是以大学或者数学研究所等的机关形成，引进学校或者课堂的时候，这些知识应该要“可教的”、有意义的、有用的知识，需要一定的加工与转变过程，形成期望教学的知识（Knowledge to be taught）。这种知识是由课程（curricula）设计的，不一定是原有的数学学科知识。而实际教学知识（taught knowledge）是在课堂中教师实际教过的知识，与学生实际学习的知识（learned knowledge）同步进行，两者是教学过程的重点也是新课的始点。因此，数学是在社会机构内产生、教授、学习、实践和传播的，为了
29、理解哪些数学知识是在学校教过的，需要掌握教学知识的来源和证明，以及在不同教学机构中对这种知识的解释（Bosch & Gascn, 2006，54-58；Chevallard &Bosch，2014，171-172）。图2 2- -2 2 教学知识 转变 过程（ Bosch & & Gascn, , 20 06, 56 ）舍瓦拉德设置教学智能圈（didactic noosphere）概念。他把知识生产者、教师、课程设计者等与教学相关的人所属的空间称为“教学智能圈。”知识转换接受学校外部的政治家、数学家、教育体系内的成员（如教师）以及历史和制度条件等的影响，强制以及限制在学校能做什么。教学智能圈的
30、主要作用是作为教学体系（如学校）和社会的中介，保持学校所教知识的“真实性”的同时，协商和应对社会对教学体系的要求。学科知识和期望教学的知识之间的关系如果发生异常，在教学智能圈里可能发生冲突,引学科知识制度内产生、使用的知识期望教学的知识教育体系、noosphere实际 教学 的知识课堂实际学习的，可用知识学习共同体发相关的讨论，从而出现可以解决问题的中间地带。图2-2中的“期望教学的知识”是通过人类知识圈（noosphere）产生（包括官方课程、教材、教学材料等）的，强调在时间的流程中建构、保持以及发展，并满足一定的条件和限制。因此，教学知识分析不能限制于教材的评介，应该问为什么教、为什么这样
31、组织、来源是什么以及教材所显示或者隐藏的现象是什么（Bosch & Gascn, 2006, 54-58; Bosch & Gascn,2014,68-70）。也就是说，这是社会要求和其他要素协商的结果。智能圈有两种，一个是从外部的知识或对象变换到内部的全域智能圈（Inclusivenoosphere），比如在图2-2的学科知识与期望教学的知识之间的转换所形成的空间。另外一个是教育体系内部形成的转换空间，称为局部智能圈（local noosphere），比如图2-1中在期望教学的知识和实际教学的知识之间形成的转换空间。期望教学的知识并不是学校内部发明的，也不是学科知识的复制品，但它应该保留学科
32、知识的主要元素。因此，知识转变过程的研究应该分析什么知识是转变，为什么转变，以及为什么有些知识被省略、被取消（Chevallard & Bosch，2014）。图2 2- -3 3 教材教学知识 转 换过程 （ Kang ， 1991 ）有些研究是基于教学知识变化的视角下，通过分析教材表明从学科知识到教授知识的转换过程。Kang（1991）提出了图2-3的模型解释知识的转换过程。个人的知识具有个性化/情景化（personalized/contextualized）的特征。为了成员之间的交流，知识需要以给定的形式来组织，在这个过程中，知识会与个人的背景和情境相剥离，以脱离个性/脱离情境deper
33、sonalization/decontextulization）的形态形成不同知识。这现实世界些循环过程中，知识以不同形式和表征进行交流，并在交流的过程中进行知识的转换（Kang，1991,82-83）。2.1.4 中韩 教学 知识 变换研究中国和韩国有诸多数学课堂中发生的教学知识转变的研究。首先，在中国的知识转变研究一般是针对突破数学难以学习的情况下展开的。张奠宙（2005）提出了数学知识的原始形态、学术形态、教育形态概念，指出教师的任务在于“知识的学术形态转化为教育形态”。数学课堂应该指向的是“数学本质”。文章中还提出几个课堂活动案例，如课堂活动中，只有测量活动，没有探究的教学情境，缺乏数
34、学概念之间的因果关系的活动等。原始形态是指数学家研究的时候，如发现真理或者证明时候的生动活跃的思考，这些思考用文字发表论文后形成的知识就是学术形态，原始的思考显示出很简洁、冰冷的形式化特征。教育形态是指教师为了启发学生的数学思考，加工学生可接受的知识。为了指向数学本质，把教材中形式化的知识转换为火热的思考，再创造数学化的过程变换成学生可操作的知识，联结并融合知识等。此研究很多部分与知识转换理论相通，区分教学知识和学科知识。只是，文章中提出教材也是属于一个形式化的知识，教学不只是把教材的内容抄在黑板上的行为（张奠宙，王振辉，2002；张奠宙，2005；2007）。ADT理论中，教材是属于期望教学
35、的知识，与学科知识有区别。还有，ADT理论把期望教学的知识和实际教学的知识分开，课堂教学前后的知识也有区别。张景中院士提出教育数学的概念，数学教育要研究教什么（教材）和怎么教（教法）方面，也是强调数学知识的再创造的过程，提出三个优化的标准：（1）逻辑结构的简洁；（2）平易直观的概念引入；（3）能够通用的解题工具。根据Lee(2016)的研究，韩国的教学知识转变研究大致分类两种数学教材研究和数学课堂研究。Kang（1991）介绍教学知识转变理论和特征，提出教学知识、尤其是教材的知识是为了教与学所需要的知识，有些教学知识在课堂中用完了以后就不用，很容易消失。研究教材就是研究这些过渡性知识，提出特点
36、和需要改善的部分（Kang，1991；1992；Lee, 2016）。现有的韩国教材教学知识转变研究主题有圆的面积、四边形、分数、统计、正态分布图等（Choi & Kang, 2003; Kang,2000; 2001; 2014; Kim & Kang,2008; Lee,2018;Lim & Kang, 2003）。另外，针对教学的研究，主题为初中数学课堂(Bae, 2015)、研究者-教师研究共同体（Na,2010; Song，2019）、职前数学教师知识（Kwon，2019）、课堂中涉及教学工具等(Shin & Lee, 2008；Lee, 2010)的教学知识转变研究。研究结果提出影
37、响课堂知识转变的因素和教学意义，启示需要减少教学知识转变过程中发生的知识易碎（Fragility of knowledge）现象（Lee，2016）。韩国的教学知识转变研究虽然不是很多，还是对于数学教学知识本质提示的不少。2.2 分数与 分数除法的教学分数除法是小学数学教学的重点和难点。学生经过由易到难的教学后将算法统一成“除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数”（巩子坤,王敏,程玲,吴敏霞,赵雨晴，2020）。其实掌握分数除法的算法并不难（除数颠倒相乘），但是以学生的立场来说，理解分数除法的算理有所困难。因为分数除法蕴含着两个数学概念“分数”和“除法”。尽管学生已经学会了整数除法运算，然而分
38、数除法的运算方式和理解有所差异，因此学生容易发生错误（Tirosh, 2000, 6-8; Adu-Gyamfi et al., 2019, 507-508）。这些困难不只是在学生的身上。马立平(2010)访谈中美小学数学教师，其中一个任务是要求教师提出分数除法的具体情境。出乎意料的是，老师也没有掌握分数除法，分不清的情境。不管是教师还是学生，分数除法是教学中的一个难题。2.2.1 分数的意义分数是儿童从整数扩展到有理数概念的过程中碰到的一个关口。分数不像整数，不是通过计数活动学习的数。由于分数概念比较抽象，在小学数学教学中通常会设计不同的方法来理解。数学中对有理数的代数定义是， 所有形如 &
39、#119886;𝑎𝑏𝑏 的数集称为有理数集，其中a 、 b都是整数，且𝑏𝑏 0。然而这样的抽象定义儿童是难以理解的（辛自强，张睆，2012）。这种定义都是分数的形式化定义，并没有说明在实际情境中的分数 𝑎𝑎𝑏𝑏 是如何。在小学教学中分数的难点是：（1）与整数概念形成方式不同；（2）不同分数的意义操作模型的方式也都不同。由于分数的概念很抽象，在小学数学中，儿童的分数概念理解是基于现实情境和实物，蕴含不同的分数意义。如图2-4，根据研究者的观点，分数的意义
40、的分类都不同（崔钰，2014；张奠宙，2010）。图2 2- -4 4 对分数本质的认识（ 崔钰 ， 2014, , 62) )比较广泛接受的分数的意义是Kieren的五种分类。其中，部分-整体是把整体平均分成几份中的若干份表示为𝑎𝑎𝑏𝑏 ，中韩教材引入分数的时候开头是对连续量的平均分(Cho,2015,70)。但是部分-整体概念还有两种说法。如，平均分成5份中的3份是五分之三。另外，平均分成5份，其中一份是五分之一，有三个五分之一，就是五分之三。刘加霞（2011）把用整体-部分之间的比率关系刻画分数的方法叫“率”的分数（图2-5
41、），计数分数单位的方式叫“量”的分数(图2-6)。学生从率的倍比关系来理解分数，不强调分数单位和单位的个数的方式，就是学生心中不承诺分数也是个“数”。刘加霞（2011）讨论了华应龙老师上的“分数的意义”的公开课，华老师所说的“分数是先分后数的数”解释为“分”是创造一个单位，“数”是计数一个单位，从分数单位角度来理解分数的意义。这样，从自然数的认识引进“分数单位的累加”，还可以真正理解分数加减法同分母分数加减是“分子相加减而分母不变”，异分母分数加减是“先通分，然后再分子相加减，分母不变”的意义。图2 2- -5 5 韩国三年级第一学期率的分数定义（ KOFAC ， 2018a a ,115)
42、)图2 2- -6 6 中国3 3 上量的分数定义（ PEP ， 2014a ，9 92 2 ）比率的分数是表示两个量之间的关系，基准量m和比较量n之间的关系，将n:m的比值表示为𝑛𝑛𝑚𝑚 。商的分数是指表示整数相除的结果。测量的分数是从测量的起源衍生出来的概念，以给定的单位不能测量的量，平均分成“单位”，表示测量结果的。运算元（算子）的分数是以𝑎𝑎𝑏𝑏 来放大或缩小的情况，如，图形缩为三分之二，或者求12厘米彩带的三分之二，求苹果12个的三分之二都是蕴含着算子的分数
43、意义（KOFAC,2018，293-294）。分数概念的错误在以实际量表示分数的时候比较常见。以离散量的分数表示来为例，求6个苹果的三分之二（图2-7），学生可能发生认识论上的错误。在分数概念的引入中学生获得的是平均分成连续量的学习经验，当时分的是一个苹果，现在要分的是六个苹果，分数的整个单位和计数单位不一致。因此，人教版的教材用“单位1”的概念代表分数单位的“整体”“1”。韩国教材的离散量分数教学方式有所不同，教材建议把部分的量卷起来，表现几捆中的几捆来表示分数（图2-8）。图2 2- -7 7 中国3 3 上 离散量的分数（ PEP ，2 2 014a, 100)图2 2- -8 8 韩国3 3- -2 2 教材离散量的分数（K K OFAC,2018c ， 79 ）Confrey & Carrejo (2005)提示图2-9的图，用两种问题进行访谈。（1）以分数表示涂色的部分。（2）四个人一起吃两个披萨，用数字回答“每个人吃了多少？”。访谈结果，题1的典型回答是四分之一，题2的典型回答是二分之一（一半）。在题1，如果一个圆当成1，涂色的部分是二分之一，总共四块图看成1，回答是四分之一。但是在题2有了实际单位一个披萨，而且现实情境密切有关，典型答案是二分之一。知识备份（根据实际情况删减）
