1、第1页 共 5 页 北师大附属实验中学北师大附属实验中学 2021-2022 学年度第二学期学年度第二学期“线上擂台赛线上擂台赛” 高一年级数学高一年级数学 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1. 记复数i(1i)z =的共轭复数为z，则z在复平面内所对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若角的终边经过点( 1, 2)，则sin= A. 2 55 B. 55 C. 55 D. 2 55 3. 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，
2、若3a =，4b =，3C=，则c = A. 7 B. 13 C. 19 D. 37 4. 函数( )sin(2)4f xx=的零点为 A. ,28kk+Z B. ,24kk+Z C. ,8kk+Z D. ,4kk+Z 5. 下列说法正确的是 A. 分别将矩形以相邻两边为轴旋转一周所形成的的两个圆柱体积必相同 B. 分别将矩形以相邻两边为轴旋转一周所形成的的两个圆柱侧面积必相同 C. 分别将直角三角形以两直角边为轴旋转一周所形成的的两个圆锥体积必相同 D. 分别将直角三角形以两直角边为轴旋转一周所形成的的两个圆锥侧面积必相同 6. 在锐角ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b
3、c，已知4A=，4sin5B =，7c =，则a = A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 7. 已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为 A. 12 B. 12 2 C. 24 D. 12 5 第2页 共 5 页 8. 已知将函数sin2cos2yxx=的图像向左平移(0)m m 个单位得到图像C，则“3()8mkk=+ N”是“图像C关于y轴对称”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知向量1(cos ,sin)=e，2(cos ,sin)= e，其中(0,)2，若平面向量m满足121=m em e，
4、且|2m，则的取值范围是 A. (0,6 B. (0,3 C. ,)6 2 D. ,)3 2 10. 如图所示，一个铁塔可看作正四棱锥PABCD，其中P为塔尖，, , ,A B C D分别为塔与水平地面的公共点.现需测量该塔的高度， 而铁塔附近有障碍物， 无法近距离测量，某人给出以下方案及测量数据： 在DB延长线上选取相距40米的两点,M N； 在M处测得塔尖的仰角30BMP=； 在,M N两处分别测得60AMC=，30ANC=； 请计算铁塔的高度为 A. 10 3米 B. 20米 C. 20 3米 D. 40米 NMDCBAP第3页 共 5 页 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5
5、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11. 复数21i+的模为 . 12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为2，则其体对角线的长为 . 13. 已知等边ABC的边长为2，,M N分别为,AB AC中点，则BN CM= . 14. 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知2ca=，sinsin0aCbB=，则cosB = . 15. 如图所示，记几何体W是棱长为1的正方体 1111ABCDABC D割去两个三棱锥111AAB D，111CCB D后剩余的几何体. 给出下列四个结论： 几何体W的体积为23； 几何体W的表面积为23+； 几何体W的顶
6、点均在某个球面上，则该球的半径为32； 若几何体W被与平面ABCD平行的平面所截的截面多边形的每条边长都相等，则平面与平面ABCD的距离为21. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 85 分）分） 16. （本小题满分 14 分） 已知32 ，tan()24+=， （）求tan，sin； （）求cos2，cos(2)4. D1C1B1A1CDBA第4页 共 5 页 17. （本小题满分 14 分） 已知向量(1, 2)=a，(3,)k= b，()baa. （）求k，cos, a b； （）求证：对任意R，有|baba. 18. （本小题
7、满分 15 分） ABC中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 设D为AC中点， 已知1a =，5b =，4B=. （）求c及ABC的面积； （）求BD的长； （）求sinsinABDCBD. 19. （本小题满分 13 分） 如图，直四棱柱1111ABCDABC D中，/AB CD，2ADBCCD=，4AB =，13AA =，设M为11BC的中点. （）求四棱柱1111ABCDABC D的表面积； （）求证：1/C D面AMC； （） 连接1AC， 记三棱锥1CAMC的体积为1V， 四棱柱1111ABCDABC D的体积为2V，求12VV的值. DCBAMB1C1D1A1第
8、5页 共 5 页 20. （本小题满分 14 分） 已知函数22( )2sin cos(cossin)f xxxaxx=的图像过点(,3)2. （）求( )f x的解析式及最小正周期； （）讨论( )f x在0,2上的单调性； （）直接写出关于t的不等式(|sin |)(|sin()|)3ftft+的解集. 21. （本小题满分 15 分） 设函数( )f x的定义域为，若存在常数T，A（0,0TA） ， 使得对于任意xR，()( )f xTAf x+=成立，则称函数( )f x具有性质P. （）判断函数yx=和cosyx=具有性质P？（结论不要求证明） （） 若函数( )f x具有性质P， 且其对应的T = ，2A=， 已知当(0,x时，( )sinf xx=， 求函数( )f x在区间,0上的最大值； （）若函数( )g x具有性质P，且直线xm=为其图像的一条对称轴，证明：( )g x为周期函数.
