1、惠州市 2023 届高三第一次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D C A A B A C1【解析】 2 = b = c = - 1 c 0 b；log 3 log 2 1, log 2 0, 2 2 1 2【解析】 0.1 02 2 1 36 - 23【解析】 x xr r 2 36-展开式的通项为： = - = (- )r T C x 2 C xr+1 6 6 x ，令36- r = 0 ，2解得 r = 4，所以展开式的常数项为( )-2 C = 240；4 4 634【解析】
2、 a在 e 上投影向量 ( )a 3 , 3,3= =2 2e ；5【解析】 q 0 ，由a q a q ， ( )a a ，则 4 3q 1-q 0，2021 2024 2020 2020q( -q)( +q +q ) ，得 q(1-q) 0，0 q 2020a a ，则 2 3 2a q a q ， 2022 2023 q2 q3 ， ( )q2 1-q 0， q 1且 q 0 ，0 q 1q a ”2021 2024是“ a2022 a2023 ”的充分条件6【解析】圆 (x +1)2 +(y + 2)2 = 4的圆心为(-1,-2)，依题意，点(-1,-2)在直线 ax+by+1= 0
3、上，因此 -a-2b+1= 0，即 a+2b =1 (a 0,b 0)， 1 2 (1 2)( 2 ) 5 2b 2a + = + a+ b = + +a b a b a b2b 2a 5+ 2 = 9，当且仅当 a b2b 2a= ，即 a =b = 1 时取“=”，所以 1 2+ 的最小值为9.a b 3 a be - e5 -57【解析】定义域x | x 0，排除 CD，由 ( )f 5 = 0 排除 B，所以选 A58【解析】在事件C2 10A 发生的条件下，乙罐中有 5 红 2 白 7 个球，则 P(B | A )= 5 = ，A 正确；11 2C 217在事件C1 C1 12 4A
4、 发生的条件下，乙罐中有 4 红 3 白 7 个球，则 ( ) P C A = 4 = = ，B 正确；A 发生的条件下，乙罐中有 4 红 3 白 7 个球，则 ( )| 32 22C 21 77因5 3 10 C 62P A = P A = ， P(B A )= ， ( )( ) , ( ) | P B | A = = ，41 2 1 28 8 21 C 2127第 1 页，共 13 页5 10 3 6 17P B = P(A)P B| A + P(A )P B| A = + = ，C 不正确； 则 ( ) ( ) ( )1 1 2 28 21 8 21 4212 C C 101 1因 P(
5、C A )= ， ( )| | 5 2P C A = = ，2 1 721 C2 425 10 3 12 43P C = P(A )P C | A + P(A )P C | A = + = ，D 正确. 则 ( ) ( ) ( )1 1 2 28 21 8 21 84二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分题号 9 10 11 12全部正确选项 AC AB AC BCD9【解析】由折线图知，小组 A 打分的 9 个分值排序为： 42, 45, 46, 47, 47,
6、47, 50, 50, 55，小组 B 打分的 9 个分值排序为：36, 55, 58, 62, 66, 68, 68, 70, 75；对于 A：小组 A 打分的分值的众数为 47，故选项 A 正确；对于 B：小组 B 打分的分值第 80 百分位数为980% = 7.2，所以应排序第 8，所以小组 B 打分的分值第 80 百分位数为 70，故选项 B 不正确；对于 C：小组 A 打分的分值比较均匀，即对同一个选手水平对评估相对波动较小，故小组 A 更像是由专业人士组成，故选项 C 正确；对于 D：小组 A 打分的分值的均值约 47.7，小组 B 打分的分值均值为62 ，根据数据对离散程度可知小
7、组 B 的方差较大，选项 D 不正确；10【解析】 an+1 = 2an +1，可得 a + + = (a + )，数列 1a + 是等比数列，B 正确； 1 1 2 1n n n又 a1 =1，则 ( )a +1= a +1 2n- ， a = 2n -1，C 错误；则 a = ，A 正确；13 7 n 1 n ( )2 1-2nS n + n= - = 2 - -2，故 D 错误n 1 n1-211【解析】： f (x)的对称中心即为 f (x)的零点，则 f = ( ) 0 - 2sin - = ，A 正确； 3 x 0,5 x - - ，则 2 , 12 3 3 2， y = sin
8、x 在 - , 3 2单调递增，B 不正确； f (x)在对称轴f 11 = 3，C 正确；将函数 f (x)的图像沿 x 轴向左平移 处取到最值，则 2sin = -2 12 24个单位长度，将得到函数y = x + - = + 2sin 2 2sin 2x ，D 不正确 4 3 6 12对于 A，易知 MN 与 BD 为异面直线，所以 M，N，B，1D 不可能四点共面，故 A 错误；1第 2 页，共 13 页CD ，CP，易得 MN / /CD ，所以PD C 为异面直线对于 B，连接1 1 1PD 与 MN 所成角，1设 AB = 2 ，则C D1 = 2 2，D1P = 5，PC =
9、3，所以(2 2)2 ( 5)2 32 10+ -cosPD C = =122 2 5 10，PD 与 MN 所成角的余弦值为 10所以异面直线110，故 B 正确；对于 C，连接A B ，1AM ，易得1A1B / /MN ，所以平面 BMN 截正方体所得截面为梯形 MNBA ，故 C 正确；对于 D，易得 1 / / D P 平面 MNB，D P BN ，因为1 1MN 平面 MNB，所以1 1 1D1P / / 平面 MNB，所V - =V - =V - = = ，1 1 2P MNB D MNB B MND3 2 31 1故 D 正确. 故选：BCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题
10、 5 分，共 20 分13 2 ； 143415 DM PC （或 BM PC，OM PC ） 16 4 ，(-,4)；13【解析】 1 3i 2 2-z = = = 1-i 2，故答案为 2 14【解析】设经过点 P 的终边角度为a (0 a 0)时，若 4d (P)- PF -k 0恒成立，则 k 4d (P)- PF ， 4 ( ) 4(1 cos ) 4 4d P PF- = - = ，k 0 ， 得 16PF = t2 +l : y - 2x - t + x + t = t x2 = ，整理得 (4 128) 4 0t 2 2 2 PF ，联立 y 8x-4解得 = ( ) 或 (
11、)x x = （舍）2 t + 2 +2 32 -16 t2 +16t2 +32 +16 t2 16 t t2 2所以 2( 32) 16 16 2 4 ( 16) 4 16FQ = = t + t +- 2t + -2 t + + 22t t2 2PF t2t2d ，所以 ( ) 16 4所以 ( ) ( )p = = 4 - = - t2 + =d p PFFQ t 16 4 t 16 44 2 + - 2 + -所以 k 4 .四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分，其中第一小问 4 分，第二小问 6 分 。）【解析】（
12、1）选时：a + -a = 可知数列 【解法 1】由 1 2 a 是以公差 d = 2的等差数列，1 分n n n又a = 得 a = a ( - )d ， 2 分5 5 5 1+ 5 1第 4 页，共 13 页得a1 = -3，3 分故 3 2( 1)a = - + n- ，即 2 5 nN 4 分a = n- ( )* n na + -a = 可知数列 【解法 2】由 1 2 a 是以公差 d = 2的等差数列， 1 分n n n又a = 得 ( )a = a + n- d ，2 分5 5 5 5n则 5 ( 5) 2a = + n- ，3 分na = n- ( )nN* 4 分 即 2
13、5n选时：由a + -a = 可知数列 n n n1 2 a 是以公差 d = 2的等差数列， 1 分由S2 = -4可知a1 + a2 = -4，即 2a + 2 = -4 2 分1得a = - ，3 分1 3故 3 2( 1) a = n- ( )a = - + n- ，即 2 5 nN* 4 分n n【备注】选这两个条件无法确定数列，不给分。（2）bn=1 1 1 1 1 = - = - 2 分a a +1 (2n -5)(2n 3) 2 2n -5 2n -3n n1 1 1 1 1 1 1 1 1 - + - + - - T = ( ) ( ) ( ) + )4 分 n n n 2
14、-3 -1 - 1 3 2 - -3 1 1 5 2 =1 1 1- - 5 分2 3 2n-3=1 1- -6 4n-6所以T =nn-6n+96 分18（本小题满分 12 分，其中第一小问 7 分，第二小问 5 分）（1）【解法 1】 ( )AD = AB+ BD = AB+ BC = AB+ AC - AB = AB+ AC 2 分3 3 3 3AD = AB + AC = AB + AB AC + AC2 3 3 9 9 94 分4 2 1= 2 + 2 5 分1 2 1 3 cos120 39 9 9第 5 页，共 13 页7= 6 分9故 7AD = 7 分3【解法 2】在 DAB
15、C中， BC2 = AB2 + AC2 -2 AB ACcosBAC= + - 1 分12 32 2 1 3 cos120所以 BC = 13 2 分2AB2 + BC2 - AC2 12 + 13 -32cosABC = =2 ABBC 21 133 分5 5 13= = 4 分2 13 26在 DABD 中， AD2 = AB2 + BD2 -2 ABBDcosABD2 13 13 5 13= + - 5 分1 2 19 3 267= 6 分9故 7AD = 7 分3【解法 3】在 DABC中， BC2 = AB2 + AC2 -2 AB ACcosBAC= 2 + 2 - 1 分1 3
16、2 1 3 cos120所以 BC = 13 2 分2AC2 + BC2 - AB2 32 + 13 -12cosACB = =2 ACBC 23 133 分5 7 13= = 4 分2 13 26在 DACD中， AD2 = AC2 +CD2 -2 ACCDcosACD2 413 2 13 7 13= + - 5 分3 2 39 3 26第 6 页，共 13 页7= 6 分9故 7AD = 7 分3【解法 4】在 DABC中， BC2 = AB2 + AC2 -2AB ACcosBAC=12 +32 -213cos120 1 分所以 BC = 13 2 分因为 cosADB+cosADC =
17、 0 3 分AD2 BD AB AD DC - AC+ - +2 2 2 2 2所以 + = 0 2ADBD 2ADDC5 分2 2 13AD2+ -32 2 313 即 AD2 + - + = 0 6 分12 3 2 解得7AD = 7 分3（2）【解法 1】因为 cosDAC =AD AC1 分 2 + +AB AC AC AB AC AC 3 3 3 3= =7 7333 分=2 1 1 - + 1 3 323 2 374 分2 7= 5 分7【解法 2】由（1）解法 3 可得cosDAC =AC + AD - DC2 2 22 AC AD1 分=2 2 2 7 2 133 + - 3
18、3 72334 分第 7 页，共 13 页4 2 7= = 5 分2 7 719（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）零假设为H ：学生对课后延时服务的兴趣与性别无关， 1 分【注：无零假设不得分】0则 ( )2 100 3520-153022 100 35 20 15 30c =505065352 分100= 1.099 3 分911.099 2.706 = x 4 分0.100根据小概率值a =0.100的独立性检验，没有充分的证据推断H 不成立，0因此认为学生对课后延时服务的兴趣与性别无关5 分（2）【解法 1】按分层抽样的方式选出 5 人，则兴趣
19、较大、兴趣一般的女生入选人数分别为 3 人和 2 人，1 分则x 的可能取值为 0、1、2，2 分C 1 C C 33 2 1P 0 P x =1 = = ， 且 (x = )= = ， ( )3 3 2C 53 10C3 5 5C1C23P x = 2 = = .4 分【注：任意一个正确得 1 分，全部正确得 2 分】( )3 2C3 105分布列为：x 0 1 2P110353105 分所以数学期望 E(x)= 0 1 +13 +2 3 6 分【注：无0 1 不得这 1 分】10 5 10 106= .7 分5【解法 2】按分层抽样的方式选出 5 人，则兴趣较大、兴趣一般的女生入选人数分别
20、为 3 人和 2 人，1 分由题x 服从超几何分布且 M = 2， N =5（也可表示为x 5)）2 分C C3k -k P(x = k) = 2 3 ， k = 0,1, 25 分所以x 的分布列为C3 5第 8 页，共 13 页所以数学期望 E( ) M n x = 2 3= 6 分N 5=65即数学期望为 67 分 520（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）证明：取 PC的中点 F ，连接 EF,BF C因为 AE 是等边ADP的中线，所以 AE PD 1 分因为 E 是棱 PD 的中点， F 为 PC的中点，FD B所以 EFCD，且1EF =
21、 CD 2 分2PEA因为1ABCD, AB = CD，所以 EFAB ，且 EF = AB ，2所以四边形 ABFE 是平行四边形，所以 AEBF 3 分因为 BC = BP,F 为 PC的中点，所以 BF PC ，从而 AE PC 4 分又 PC ，且 PC 平面 PCD， PD 平面 PCD，【注：无本行三个条件扣 1 分】所以 AE 平面 PCD5 分（2）【解法 1】由（1）知 AE CD，又 AD CD， AD ，且 AD 、 AE 平面 ADP ，所以CD 平面 ADP ，从而 EF 平面 ADP 以 E 为坐标原点， EP,EA,EF 的方向分别为 x, y, z 轴的正方向，
22、建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz1 分则 P(2 2, 0, 0),B(0, 2 6,2),C(-2 2,0, 4)，所以 PB = (-2 2,2 6,2) PC = (-4 2,0, 4)2 分设平面 PBC 的法向量为 m = (x, y, z)，由 PC得- + + = 2 2x 2 6y 2z 0,3 分【注：有方程组可得分】 -4 2x + 4z = 0,令 x =1，则 y = 0, z = 2 ，所以 m = (1, 0, 2)4 分又平面 PAD 的一个法向量为 n = (0, 0,1)，5 分第 9 页，共 13 页cos m,n所以6= = ，6 分3 3m n即
23、平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值为 637 分【注：无结论不得分】【解法 2】由（1）知 AE CD，又 AD CD， AD ，且 AD 、 AE 平面 ADP ，所以CD 平面 ADP ，从而 BA 平面 ADP所以 DPBC在平面 PAD 上的投影为 DPAD 1 分在 RtDPBC中， ( ) PB = AB2 + PA2 = 22 + 4 2 = 6在 RtDPBC中， ( )2C( )2PC = CD + PD = 4 + 4 2 = 4 3 2 2 2 2 分F取 中点 ，连结 ， PC F BF则 ( )BF = PB2 + PF2 = 62 - 2 2 = 2 6 3
24、 分2所以1 1SD = PCBF = = 4 分4 3 2 6 12 2PBC2 2PEDBA3SD = PA = 5 分2 8 3 PAD4记平面 PBC 与平面 PAD 所成夹角为q ，cos 8 3 6Sq = D = = 6 分PADS 12 2 3DPBC即平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值为 637 分【注：无结论不得分】【解法 3】延长CB交 DA 延长线于点Q ，连结 PQ ，1 分【注：作出图形可得分】1因为 ABCD且 AB = CD ，所以 DA = AQ2则 DPAD 为直角三角形， DP PQ2 分C由（1）知 AE CD，又 AD CD，DBAD ，且 A
25、D 、 AE 平面 ADP ，所以CD 平面 ADP ，从而CD PQ 3 分PEA由二面角定义知：面 PBC 与面 PAD 所成夹角为DPC，4 分【注：指出平面角可得分】Q在 RtDPDC中， ( )PC = CD2 + PD2 = 42 + 4 2 = 4 3 5 分2PD 4 2 6cosDPC = = = 6 分PC 4 3 3即平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值为 637 分【注：无结论不得分】第 10 页，共 13 页21（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）由已知得ca1= ，所以22b c 1 32 2 = - = - =1 1
26、a2 a2 2 4，1 分 - 3 1,又点 2 在该椭圆上，所以1 9+ =1，2 分a 4b2 2所以 a2 = 4,b2 = 3， 3 分所以椭圆 C 的标准方程为x2 + y2 = 4 分14 3（2）由于 BN 的斜率为 k ，设直线 BN 的方程为 y = k (x -2)，1 分联立方程组y = k x -2( ) ，整理得( )4k2 +3 x2 -16k2x+16k2 -12 = 0 ，2 分x2 y2+ =1 4 3所以x xB N=16k2 12-4k2 +3x，所以N=8 6k2 -4k2 +3，从而yN= -12k，即4k2 3+N 8 2 -6 - 12 k k,
27、+ + ，3 分4k2 3 4k2 3 同理可得：由于 AM 的斜率为3k ，则直线 AM 的方程为 y =3k(x+2)，联立方程组y = 3k x + 2 ( )，可得( )36k2 +3 x2 +144k2x+144k2 -12 = 0，x y2 2 1+ = 4 3即 ( )12k +1 x +48k x+48k -4 = 0，所以2 2 2 2x xA M=48k2 4-12k2 1+，所以xM=-24k2 + 212k2 1+，从而yM=12k，即12k +12M - + 24k2 2 12k, + + ，4 分 12k 1 12k 12 2当 1k 时， 2kMN12k 12k
28、- 12k2 1 4k2 3+ + = =-24 2 + 2k 8k 6 - 2 - 12k 1 4k +32 + 2 4k，5 分- +4k2 1所以直线 MN 为-12k 4k 8k -6 2 y x- = - 4k 3 4k 1 4k 32 + - 2 + 2 + 4k整理得 ( ) y = x +1整理得 ( )- 2 +4k 16 分第 11 页，共 13 页即直线 MN 过定点 P(-1, 0)，当 xM = xN ，即 1k = 时，直线 MN 的方程为 x = -1，也过点 P(-1, 0)，7 分2综上可得，直线 MN 过定点 P(-1, 0).8 分【注：5-8 分段可按下
29、面方法表达】当 xM = xN ，即 1k = 时，直线 MN 的方程为 x = -1，过点 P(-1, 0)，5 分212k-0 12 41 + k k 12k2 1k 时， = = =k当 ， 6 分2 24k 2 12k 3 4k 1PM- 2 + - - - 2 + - 2 +( )112k 2+1-12k -0 12 4- k k 4k2 3+k = = =， PN8k2 6 12k2 3 4k2 1- - - - - +( )14k +32即 kPM = kPN ，所以直线 MN 过定点 P(-1, 0)， 7 分综上可得，直线 MN 过定点 P(-1, 0).8 分22（本小题满
30、分 12 分，其中第一小问 6 分，第二小问 6 分）【解析】（1）由题得 ( ) 1 2 2 ( 1) 2 1- x = + - = - - f x ax a x aex ex 1 分当 a 0时，12 0a - 0， f (x)单调递增；当 x(1,+)时， f (x)0时，令 f (x)= 0则x = ，1 1x = - a ：2 ln 2 1当 -ln 2a 时， 2e当 x(-,-ln 2a)和(1,+)时， f (x) 0， f (x)单调递增；当 x(-ln 2a,1)时， f (x)1，即0 1 a 0， f (x)单调递增；当 x(1,-ln 2a)时， f (x) 0， f (x)单调递减；5 分综上所述，当 a 0时， f (x)在 (-,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减；0当1 时， f (x)在(-,-ln 2a)和 (1,+)上单调递增，2e在 (-ln 2a,1)上单调递减；6 分【注：除处，区间端点可开可闭】（2）由题，即证3ln 2 x + ax + x a + xx 3 3+2ax+ 4a+3,a-1, 0) ，即 ln 2 2，x ex
