1、 梅州市高中期末考试试卷（梅州市高中期末考试试卷（2021.7） 高二数学高二数学 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. sin600=( ) A. 32 B. 32 C. 12 D. 12 2. 已知复数 z满足2zzi=，则 z的虚部是（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 3. 某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案
2、共有（ ） A. 36 种 B. 42 种 C. 48 种 D. 54 种 4. 已知，表示不同平面，则/ /的充分条件是（ ） A. 存在直线a，b，且, a b，/ /a，b/ B. 存在直线a，b，且a，b，/ /a，/ /b C. 存在平面， D. 存在直线, a a，a 5. 2020 年 11 月 24 日 4 时 30 分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号（Change5）探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在 11 月 28 日 20 时 58 分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11 月 29 日 20 时 23 分，嫦娥五号从椭圆
3、形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表 400 千米，已知月球半径约为 1738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转2弧度，飞过的长度约为(3.14)（ ） A. 1069 千米 B. 6713.32 千米 C. 628 千米 D. 3356.66 千米 6. 若将函数( )sin 24f xx=+的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ） A. 8 B. 4 C. 38 D. 34 7. 在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得 2 分，负者得 0分，平局各得 1分现有四名学生分别统计全部选手的总得分为 55分，56 分
4、，57分，58分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（ ） A. 6 位 B. 7 位 C. 8 位 D. 9 位 8. 在楼长为 2的正方体1111ABCDABC D中，11116DOD B= ，若P，M，N分别为1DD，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（ ） A. 512 B. 1118 C. 11 218 D. 56 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，
5、部分选对的得 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 设随机变量X服从二项分布16,2B，则5(2)16P X = B. 已知随机变量X服从正态分布()22,N且()40.9P X =，则()020.4PX B. 123291aaaa+= C. 29135291 32aaaa+= D. 12329232958aaaa+= 12. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥 AD1PC的体积不变 B. 直线 AP 与平面 ACD1所成角的大小不变 C. 直线 AP 与直线 A1D 所成角
6、的大小不变 D. 二面角 PAD1C的大小不变 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13. 已知tan2=，则2coscos() 123sin2+=_ 14. 设复数 z满足234zi=+（i是虚数单位） ，则 z的模为_. 15. 8(2 )()xy xy的展开式中36x y的系数为_ （用数字填写答案） 16. 底面边长为 2，高为 4的正四棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 四、解答题：本大题四、解答题：本大题 6小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已
7、知函数3( )cos( 3cossin)(0)2f xxxx=+，且( )f x的最小正周期为 （1）求函数( )f x的表达式； （2）求( )f x的单调递减区间 18. 在42nxx+的展开式中，前 3项的二项式系数的和为 22 （1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项 19. 在3sincos3cBabC=，sincos6bCcB=，这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答 问题：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_， （1）求B： （2）若2b =，求ABC面积的最大值 20. 某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万
8、元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令lniiux=，lniivy=，得到相关数据如表所示： 101iiiu v= 101iiu= 101iiv= 1021iiu= 30.5 15 15 46.5 （1）从ybxa=+；()0,0kym xmk=；2ycxdxe=+三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由； （2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程； （3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元） 参考数据：103.6788e，33.678849.787.
9、参考公式：回归方程yabt=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niiiniittyybtt=，aybt=. 21. 如图，在四棱锥 PABCD中，CD/AB，90ABC=，BD PA，224ABBCCD= （1）证明：BD平面 PAD； （2）设平面 PAD平面 PBC=l，l 平面 ABCD=G，2PAPD=在线段PG上是否存在点 M，使得二面角PDCM的余弦值为63？若存在，求出PMPG的值；若不存在，请说明理由 22. 5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该
10、市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查， 并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：)40,50、)50,60、)60,70、90,100，统计结果如图所示： （1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布()2,N ，其中近似为样本平均数x，近似为样本的标准差s，并已求得14.31s =.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间(56.19,99.12的人数（每组数据以区间的中点值为代表） ； （2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动
11、，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为12.每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动. （）求小王获得900元话费的概率； （）求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）. 参考数据：若随机变量 z服从正态分布()2,N ，即()2,zN ，则()0.6827Pz+=，()220.9545Pz+=. 梅州市高中期末考试试卷（梅州市高中期末考试试卷（2021.7） 高二数学高二数学 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每
12、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. sin600=( ) A. 32 B. 32 C. 12 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将600sin化为60sin，结合特殊角的三角函数可得结果. 【详解】因为()()600sin 720120sin12012060sinsinsin= = = 32, 所以600sin= 32，故选 B. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度. 2. 已知复数 z满
13、足2zzi=，则 z的虚部是（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】A 【解析】 【分析】设(),zabi a bR=+，根据2zzi=，求得1b = ，即可求得复数z的虚部，得到答案. 【详解】设(),zabi a bR=+， 因为2zzi=，可得()22zzabiabibii=+= =， 则22b=，可得1b = ，所以复数z的虚部是1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题. 3. 某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须
14、排在最后一 位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 36 种 B. 42 种 C. 48 种 D. 54 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素分析法即可解出 【详解】因为节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位， 所以该台晚会节目演出顺序的编排方案共有441 248A = 故选：C 4. 已知，表示不同平面，则/ /的充分条件是（ ） A. 存在直线a，b，且, a b，/ /a，b/ B. 存在直线a，b，且a，b，/ /a，/ /b C. 存在平面， D. 存在直线, a a，a 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即
15、可求解. 【详解】对于 A 中，只有当a与b相交才满足条件，所以 A 不正确； 对于 B 中，当/ /ab时，此时不一定平行，所以 B 不正确； 对于 C 中，根据垂直同一平面的两个平面不一定平行，可得若, ，则平面不一定平行，所以 C 不正确； 对于 D 中，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得若,aa，则/ /，所以 D 正确. 故选：D. 5. 2020 年 11 月 24 日 4 时 30 分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号（Change5）探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在 11 月 28 日 20 时 58 分，嫦娥五号顺利进入
16、环月轨道飞行，11 月 29 日 20 时 23 分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表 400 千米，已知月球半径约为 1738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转2弧度，飞过的长度约为(3.14)（ ） A. 1069 千米 B. 6713.32 千米 C. 628 千米 D. 3356.66 千米 【答案】D 【解析】 【分析】 由弧长公式可得答案. 【详解】由弧长公式，得(4001738)3356.662l=+（千米）. 故选：D. 6. 若将函数( )sin 24f xx=+的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值
17、是（ ） A. 8 B. 4 C. 38 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】先将( )f x的图象平移得到新函数( )g x的解析式并化简，为( )g x的图象关于y轴对称，可以得到( )g x为偶函数，进而可以得到答案. 【详解】函数( )sin 24f xx=+的图象向右平移个单位得：()( )sin 2sin 2244g xxx=+=+， 因 为( )g x的 图 象 关 于y轴 对 称 ， 所 以()()24282kkkZkZ+=+= ，令1k = ，得的最小正值是38. 故选：C. 7. 在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得 2 分，负者得 0分，平局各得
18、1分现有四名学生分别统计全部选手的总得分为 55分，56 分，57分，58分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（ ） A. 6 位 B. 7 位 C. 8 位 D. 9 位 【答案】C 【解析】 【分析】设参赛选手共有n位，则总场次为(1)2n n ，由每场得分为 2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求 n值，并判断 n 值的合理性即可. 【详解】设参赛选手共有n位，则总比赛场次为2nC，即(1)2n n 场，且nN+，2n ， 由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为 2分， 故所有选手总得分为(1)n n分且为偶数， 当(1)56n n=，得8n =；当(1)58n
19、 n=，n无整数解， 8n =(位). 故选：C. 8. 在楼长为 2的正方体1111ABCDABC D中，11116DOD B= ，若P，M，N分别为1DD，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（ ） A. 512 B. 1118 C. 11 218 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】连接BD交MN于点Q，连接,PQ OQ，利用13O PMNM OPQN OPQOPQVVVSMN=+=即可求解. 【详解】如图所示，连接BD交MN于点Q，连接,PQ OQ 由正方体的结构特征可知，MNBD，1MNDD,则根据线面垂直的判定定理可知MN 平面1BDDO，则13O PMNM OPQN
20、OPQOPQVVVSMN=+=， 11123 21213 211 2211232232212OPQD OQDOD PODPSSSS=+ =，所以1111 2112331218O PMNM OPQN OPQOPQVVVSMN=+=. 故选：B. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 设随机变量X服
21、从二项分布16,2B，则5(2)16P X = B. 已知随机变量X服从正态分布()22,N且()40.9P X =，则()020.4PX= C. 小赵、 小钱、 小孙、 小李到 4 个景点旅游， 每人只去一个景点， 设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B = D. (23)2 ()3EXE X+=+，(23)2 ()3DXD X+=+ 【答案】BC 【解析】 【分析】对于 A，利用二项分布的概率公式求解判断；对于 B，利用正态曲线的对称性求解；对于 C，利用条件概率公式求解；对于 D，利用期望和方差的性质判断 【详解】解：对于 A，因为
22、随机变量X服从二项分布16,2B，则2426641115(2)122P XC = ，所以 A错误， 对于 B，随机变量X服从正态分布()22,N且()40.9P X =，所以(0)(4)1(4)1 0.90.1P XP XP X= = =， 所以()020.5(0)0.4PXP X=， 所以 B正确， 对于 C，因为事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，所以由题意得 41344443(), ( )44ACP ABP B=，所以()44134()2( )39AP ABP A BP BC=，所以 C正确， 对于 D，(23)2 ()3EXE X+=+，(23)4
23、()DXD X+=，所以 D 错误， 故选：BC 10. 欧拉公式icosisinxexx=+（其中i为虚数单位，xR）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 复数ie对应的点位于第一象限 B. ie为纯虚数 C. 复数i3ixe+的模长等于12 D. i6e的共轭复数为13i22 【答案】AC 【解析】 【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭复数的概念即可判断各选项的真假 【详解】
24、对 A，icos1 isin1e =+， 因为012 ， 即复数ie对应的点()cos1,sin1位于第一象限，A正确； 对 B，icosisin1e=+= ，ie为实数，B错误； 对 C，()()()()icosisin3icosisin3cossin3sincosi443i3i3i3ixxxexxxxxx+=+， 则复数i3ixe+的模长为： 2222223cossin3sincos3cossin3sincos144162xxxxxxxx+=，C 正确； 对 D，i631cosisini6622e=+=+，共轭复数为31i22，D错误 故选：AC 11. 设()292290122912xa
25、a xa xa x=+，则下列结论正确的是（ ） A. 15160aa+ B. 123291aaaa+= C. 29135291 32aaaa+= D. 12329232958aaaa+= 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理求得1516aa+判断 A，用赋值法求系数和判断 BC，求导数得另一等式，再赋值求系数和判断 D 【详解】二项式定理展开式定理的应用 对于选项 A，由()()15161516151615151516292929292 29!29!222 (2)2016! 13!15! 14!aaCCCC+=+=，故选项 A正确； 对于选项 B，可令0 x =，可得01a =，
26、令1x =，得01291aaa+= ，所以1292aa+= ，故选项 B 错误； 对于选项 C，令1x = ，得290123293aaaaa+=，则()29132921 3aaa+= ，故选项 C正确； 对于选项 D， 对()292290122912xaa xa xa x=+两边同时求导数 得()282281232958 122329xaa xa xa x=+，可令1x =，可得122922958aaa+= ，故选项 D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理，考查赋值法求系数的和记2012( )()nnnf xabxaa xa xa x=+=+， 01(1)()nnf
27、aaaab=+=+，012( 1)( 1)()nnnfaaaaab=+ =， 因此有所有奇数项系数和为(1)( 1)2ff+， 偶数项系数为和(1)( 1)2ff， 常数项为(0)f， 如果对( )f x求导后赋值又可得122(1)naanaf +=对变量x赋不同的值可得不同的等式 12. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥 AD1PC 的体积不变 B. 直线 AP与平面 ACD1所成角的大小不变 C. 直线 AP与直线 A1D 所成角的大小不变 D. 二面角 PAD1C的大小不变 【答案】ACD 【解析】 【分析】对
28、于选项 A，由已知可得1/BC面1ACD，可得 BC1上任意一点到平面 AD1C 的距离相等，由此可判断； 对于选项 B，点 P 在直线 BC1上运动时，直线 AB与平面 AD1C所成的角和直线 AC1与平面 AD1C 所成的角不相等，可判断； 对于选项 C，根据线面垂直的判定定理可证得 A1D平面 ABC1D1,再由线面垂直的性质可证得 又AP 平面 ABC1D1,所以 A1DAP，所以点 P 在直线 BC1上运动时，直线 AP 与直线 A1D 所成的角的大小不变，故 C 正确； 对于选项 D，当点 P 在直线 BC1上运动时，AP平面 BAD1 C1,即二面角 PAD1C 的大小不受影响，
29、故 D正确. 【详解】对于选项 A，因为11/BCAD，1BC 面1ACD，1AD 面1ACD，所以1/BC面1ACD， 所以 BC1上任意一点到平面 AD1C 的距离相等，又11A CPDP CADVV=，所以三棱锥 AD1PC 的体积不变，故A正确； 对于选项 B，点 P 在直线 BC1上运动时，直线 AB与平面 AD1C所成的角和直线 AC1与平面 AD1C 所成的角不相等，故 B 错误； 对于选项 C， 设11ADADM=， 则11ADAD， 又AB 面11AAD D， 所以1ABAD， 又1ABADA=，所以 A1D平面 ABC1D1, 又AP 平面 ABC1D1,所以 A1DAP，
30、所以点 P 在直线 BC1上运动时，直线 AP 与直线 A1D 所成的角的大 小不变，故 C 正确； 对于选项 D，当点 P 在直线 BC1上运动时，AP平面 BAD1 C1,即二面角 PAD1C 的大小不受影响，故 D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的静是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.静只是动的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住静的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解. 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13. 已知tan2=，则2c
31、oscos() 123sin2+=_ 【答案】7 【解析】 【分析】先通过诱导公式化简，然后将分式化为齐次式，最后弦化切即可得到答案. 【详解】()22222coscos() 1sincos1sincossincos23sicosn2cos+=2tantan1=+=7. 故答案为：7. 14. 设复数 z满足234zi=+（i是虚数单位） ，则 z的模为_. 【答案】5 【解析】 【详解】22|345|55zizz=+= 考点：复数的模 15. 8(2 )()xy xy的展开式中36x y的系数为_ （用数字填写答案） 【答案】140 【解析】 【分析】 先求()8xy展开式的通项公式()81
32、8,08kkkkTC xyk+=， 再根据乘法原则计算当6k =时和当5k =时的项，即可得答案. 【详解】由二项式定理得()8xy展开式的通项公式为：()818,08kkkkTC xyk+=， 故当5k =时，()553355 1856TC xyx y+= ，当6k =时，()662266 1828TC xyx y+=, 所以()()82xyxy展开式中36x y的项为()()35263625628140yx yxx yx y +=， 故()()82xyxy的展开式中36x y的系数为 140. 故答案为：140 16. 底面边长为 2，高为 4的正四棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积
33、为_ 【答案】814 【解析】 【分析】由于正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以球心在正四棱锥的高上，若设球的半径为R，则根据题意列方程可求出R，从而可求出球的表面积 【详解】解：因为正四棱锥的顶点都在同一球面上， 所以正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高上， 设球的半径为R， 因为正四点棱锥的底面边长为 2，高为 4， 所以()222(4)2RR=+，解得94R =， 所以球的表面积为229814444R=， 故答案为：814 四、解答题：本大题四、解答题：本大题 6小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知函数3
34、( )cos( 3cossin)(0)2f xxxx=+，且( )f x的最小正周期为 （1）求函数( )f x的表达式； （2）求( )f x的单调递减区间 【答案】 （1）( )sin 23f xx=+； （2）7,()1212kkkZ+ 【解析】 【分析】 （1）根据三角恒等变换化简( )f x的表达式可得，( )sin 23f xx=+，再根据周期公式可得1=，即得到( )f x的表达式； （2）根据整体代换法，由3222232kxk+即可解出减区间 【详解】 （1）3( )cos( 3cossin)2f xxxx=+233cossincos2xxx=+ 1 cos2sin233222
35、xx+=+31cos2sin2sin 2223xxx=+=+ 又函数( )f x的最小正周期为，所以22=，故1=，所以( )sin 23f xx=+ （2）由题意，得3222232kxk+，kZ 解得：71212kxk+，kZ， 所以( )f x的单调递减区间是7,()1212kkkZ+ 18. 在42nxx+的展开式中，前 3项的二项式系数的和为 22 （1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项 【答案】 （1）6n =；二项式系数最大的项为34160 x； （2）有理项为3x和 240 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得01222nnnCCC+=，即可解出
36、n，再根据二项式系数的性质，即可求出二项式系数最大的项； （2）由二项展开式的通项公式，根据x的指数值为整数，即可解出 【详解】 （1）依题意得：012(1)1222nnnn nCCCn+= +=， 即2420nn+=，得6n =或7n = nZ，6n= 展开式中二项式系数最大的项为第四项，即333344642()160TCxxx= （2）展开式的通项公式为：334162rrrrxTC+=，(0,1,6)r =， 依题：334rZ，且0,1,2,6r，解得0r =或4r =， 展开式中的有理项为3x和 240 19. 在3sincos3cBabC=，sincos6bCcB=，这两个条件中任选一
37、个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答 问题：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_， （1）求B： （2）若2b =，求ABC面积的最大值 【答案】选择见解析； （1）3B=； （2）3 【解析】 【分析】（1） 若选， 根据正弦定理边化角可得3sinsinsinsincos3CBABC=， 再由()sinsinABC=+展开可得tan3B =，即可求出B； 若选，根据正弦定理边化角可得sinsinsincos6BCCB=，再根据两角差的余弦公式展开可得tan3B =，即可求出B； （2）由3B=可列余弦定理关系式，根据基本不等式可得4ac ，再根据三角形的面积公式1sin2
38、ABCSacB=即可求出最大值 【详解】 （1）选择条件：3sincos3cBabC=， 由正弦定理得：3sinsinsinsincos3CBABC=， 又在ABC中，sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+， 3sinsinsinsincoscossin3CBABCBC=， 又(0, )C，sin0C，3sincos3BB=，tan3B=， (0, )B，3B= 选择条件：sincos6bCCB=， 由正弦定理：sinsinsincos6BCCB=， (0, )C， sin0C，sincos6BB= 即31sincoscossinsincossin6622BBBBB=+
39、=+ 13sincos22BB=， tan3B= (0, )B， 3B= （2）222cos32acbac+=，224acac+=+， 222acac+，2242acacac+=+， 4ac， （当且仅当2ac=时，等号成立） 由三角形面积公式可知1sin32ABCSacB=， ABC面积的最大值为3 20. 某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令lniiux=，lniivy=，得到相关数据如表所示： 101iiiu v= 101iiu= 101iiv= 1021iiu= 30.5 15 15 46.5 （1）
40、从ybxa=+；()0,0kym xmk=；2ycxdxe=+三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由； （2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程； （3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元） 参考数据：103.6788e，33.678849.787. 参考公式：回归方程yabt=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niiiniittyybtt=，aybt=. 【答案】 （1）选择回归类型kym x=更好； （2）13ye x= ； （3）下一年应至少投入498万元广告费用
41、【解析】 【分析】 （1）根据散点图的形状可选择合适的函数模型； （2）作变换lnvy=，lnux=，将表格中数据代入最小二乘法公式，求出k、lnm的值，进而可得出y关于x的回归方程； （3）令1310ye x= ，结合参考数据解出x的范围，由此可得出结论. 【详解】解： （1）由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x呈正相关. 所以选择回归类型kym x=更好； （2）对kym x=两边取自然对数，得lnlnlnymkx=+， lnvy=，lnux=，则lnvmku=+， 由表中数据得，101102211030.5 10 1.5 1.5146.5
42、10 1.5 1.5310iiiiiu vuvkuu=， 所以1ln1.51.513mvku=，所以me=， 所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为13ye x= ； （3）由（2） ，知13ye x= ，令1310ye x= ，得1310 xe，得133.6788x ， 所以33.678849.787x ， 所以49.8x （十万元） 故下一年应至少投入498万元广告费用 【点睛】关键点点睛：本题考查非线性回归模型的应用，解决本题的关键就是对非线性回归函数模型作变换，将其转化为线性回归函数模型，结合最小二乘法求解. 21. 如图，在四棱锥 PABCD中，CD/AB，90ABC=，BD PA
43、，224ABBCCD= （1）证明：BD平面 PAD； （2）设平面 PAD平面 PBC=l，l 平面 ABCD=G，2PAPD=在线段PG上是否存在点 M，使得二面角PDCM的余弦值为63？若存在，求出PMPG的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在，13PMPG=. 【解析】 【分析】 （1）要证明线面垂直，需证明线与平面内的两条直线垂直，即可证明，根据条件转化为证明DADB，即可证明； （2）首先作出平面PAD和平面PBC的交线，再以线段AD的中点为原点，如图，建立空间直角坐标系，假设存在点M，分别求平面PDC和平面DCM的法向量，根据二面角的发现求解点M的坐
44、标，并且求出PMPG的值. 【详解】(1) 在直角梯形ABCD中，易知2 2BD =，2 2AD = 222DADBAB+= DADB DBPA 且PADAA= DB 平面PAD (2) 延长AD与BC交于点G，连结PG 取AD的中点O，联结PO，因为PAPD=，易证PO 面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，假设存在点M符合题意，且(01)PMPG= (0,0,2)P，(2,0,0)D ，( 2 2, 2,0)C ，( 3 2,0,0)G (2,2,0)DC = ，( 2,0, 2)DP = 设面DPC的法向量(), ,nx y z= 220220n DMxzn DCxy=+= += ，
45、 令1x =，则1y =，1z = 1,1,1n DMDPPMDPPG=+=+ ( 23 2 ,0, 22 )DM= 同理可得面DCM的法向量： 1(1,1,13 )n= 1121536cos,3311103n nn nn n=+ 13= 故存在满足条件的点M，且13PMPG=； 【点睛】关键点点睛：本题考查证明线面垂直，根据二面角的大小求参数，本题的关键是作出平面PAD和平面PBC的交线，从而可以设出点M的坐标. 22. 5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意
46、程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查， 并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：)40,50、)50,60、)60,70、90,100，统计结果如图所示： （1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布()2,N ，其中近似为样本平均数x，近似为样本的标准差s，并已求得14.31s =.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间(56.19,99.12的人数（每组数据以区间的中点值为代表） ； （2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中
47、奖率均为12.每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动. （）求小王获得900元话费的概率； （）求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）. 参考数据：若随机变量 z服从正态分布()2,N ，即()2,zN ，则()0.6827Pz+=，()220.9545Pz+=. 【答案】 （1）16372人； （2） （）11024， （）()99.90E X 元. 【解析】 【分析】 （1）计算出样本的平均数，可得出(,256.19,99.12 +=，结合参考数据可求得()2Pz+，乘以20000可得结果； （2） （i
48、）由题意可知，小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （ii）由题意可知X的可能取值有0、100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000，计算出随机变量X在不同取值下的概率，结合离散型随机变量的期望公式与错位相减法可求得结果. 【详解】解： （1）由题意知样本平均数为45 0.155 0.1565 0.275 0.385 0.1595 0.170.5x =+=，70.5x=， 14.31s=，所以，(,256.19,99.12 +=， 而()()()112220.818622PzPzz+=+=，
49、故2万名5G手机用户中满意度得分位于区间(56.19,99.12的人数约为20000 0.818616372=（人） ； （2） （）小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，故所求的概率为9111221024P=； （）由题意可知X的可能取值有0、100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000，即100Xi=，010i ，iN， 当19i ，iN时，100Xi=，说明小王前i轮连续中奖且第1i +轮未中奖，此时()1111100222iiP Xi+=， 又()102P X =满足()1111100222iiP Xi+=，()10110002P
50、 X =， 所以，()1101,09,21001,102iiiNP Xii+ =， 所以()23410101123910000100222222E X=+， 令2341012392222S =+，则345111123922222S =+， 上述两个等式相减得292341011111111111199221222222212S=+=10111111911122222=， 化简得101112S = ，所以，()1010811100025110010099.90222E X=+=（元）. 【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接
