1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合 M = 2, 4, 6,8,10, N = x -1 x 0 ， b 0 ， c 0 ，则 a 2 0 ， b2
2、0 ， c 2 0 ，333a 2 b23c 2333 所以 a 2 + b2 + c 2 ，3111333139即(abc)2 3 ，所以abc 9 ，当且仅当 a 2 = b2 = c 2 ，即 a = b = c =时取等号【小问 2 详解】证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，bc所以b + c 2， a + c 2， a + b 2，acab3a2 bc2 abc所以a=a 2b + c3b2 ac2 abc，b=b2a + c3c2 ab2 abc，c=c 2a + b2 abc2 abc3333332 abca+b+ca 2 +b2+c 22 abc2 abc= a 2
3、+ b2 + c 2 =1b + ca + ca + b当且仅当 a = b = c 时取等号2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1. A2. A3. D4. C5. C6. B7. B8. A9. A10. D11. D12. C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 2314.#0.3102215. ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 13 或( x - 2)2 + ( y -1)2 = 5 或 x - 4 + y - 7 = 65 或3 3 98 22169
4、5 x -+ ( y -1) =；2516.- 1 ；.2ln 2 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17. （1） 5 ；8（2）由sin C sin ( A - B) = sin B sin (C - A) 可得，sin C (sin A cos B - cos Asin B) = sin B (sin C cos A - cos C sin A) ，再由正弦定理可得，ac cos B - bc cos A = bc cos A - ab cos C ，然后根据余
5、弦定理可知，22221 (a2 + c2 - b2 ) - 1 (b2 + c2 - a2 ) = 1 (b2 + c2 - a2 ) - 1 (a2 + b2 - c2 ) ，化简得：2a2 = b2 + c2 ，故原等式成立18. 【小问 1 详解】由于 AD = CD ， E 是 AC 的中点，所以 AC DE . AD = CD由于BD = BDADB = CDB，所以ADB CDB ，所以 AB = CB ，故 AC BD ， 由于 DE BD = D ， DE, BD 所以 AC 平面 BED ，平面 BED ，由于 AC 平面 ACD ，所以平面 BED 平面 ACD .【小问
6、2 详解】依题意 AB = BD = BC = 2 ， ACB = 60 ，三角形 ABC 是等边三角形，3所以 AC = 2, AE = CE = 1, BE =，由于 AD = CD, AD CD ，所以三角形 ACD 是等腰直角三角形，所以 DE = 1 .DE2 + BE2 = BD2 ，所以 DE BE ，由于 AC BE = E ， AC, BE 平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC .由于ADB CDB ，所以FBA = FBC ，BF = BF由于FBA = FBC ，所以VFBA VFBC ， AB = CB所以 AF = CF ，所以 EF AC ，由于 SV AFC=
7、 1 AC EF ，所以当 EF 最短时，三角形 AFC 的面积最小值.2过 E 作 EF BD ，垂足为 F ，在RtBED 中， 1 BE DE = 1 BD EF ，解得 EF =3 ，22212 - 3 2 2 13所以 DF =, BF = 2 - DF =，22所以 BF = 3BD4FH过 F 作 FH BE ，垂足为 H ，则 FH /DE ，所以 FH 平面 ABC ，且= BF= 3 ，所以 FH = 3 ,4DEBD4所以V= 1 S FH = 1 1 2 3 3 =3 . F - ABC3V ABC324419. （1） 0.06m2 ； 0.39m3（2） 0.97（
8、3）1209m320. （1） -1（2） (0, +)22121. （1） y + x =43（2） (0, -2)【小问 1 详解】解：设椭圆 E 的方程为 mx2 + ny2 = 1，过 A(0, -2), B 3 , -1 ， 2则 9 44n = 1m + n = 1，解得 m =1 ， n = 1 ，3422所以椭圆 E 的方程为： y + x = 1 .43【小问 2 详解】A(0, -3 -1) ，所以 AB : y + 2 = 2 x ，2), B( ,232若过点 P(1, -2) 的直线斜率不存在，直线 x = 1 .代入 x2y+= 1，34可得 M (1, 2 6 )
9、 ， N (1, - 2 6 ) ，代入 AB 方程 y = 2 x - 2 ，可得33366T (+ 3, 2 6 ) ，由 MT = TH 得到 H (23+ 5, 2 6 ) .求得 HN 方程：3y = (2 - 2 6 )x - 2 ，过点(0, -2) .3若过点 P(1, -2) 的直线斜率存在，设 kx - y - (k + 2) = 0, M (x1, y1), N (x2 , y2 ) .kx - y - (k + 2) = 0联立x2 + y2 = , 得(3k 2 + 4)x2 - 6k (2 + k )x + 3k (k + 4) = 0 ，134x + x= 6k
10、(2 + k )y + y= -8(2 + k ) 123k 2 + 4123k 2 + 4可得x1 x2 =3k (4 + k )2， y y =2 24(4 + 4k - 2k 2 ) ，3k + 43k 2 + 4且 x y + x y =-24k(*)1 22 13k 2 + 41y = y联立2, 可得T ( 3y1 + 3, y ), H (3y+ 6 - x , y ). y =x - 2321111可求得此时 HN : y - y2 = 3yy1 - y2+ 6 - x - x(x - x2 ) ，112将(0, -2) ，代入整理得2(x1 + x2 ) - 6( y1 +
11、y2 ) + x1 y2 + x2 y1 - 3y1 y2 -12 = 0 ， 将(*) 代入，得24k +12k 2 + 96 + 48k - 24k - 48 - 48k + 24k 2 - 36k 2 - 48 = 0,显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0, -2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；
12、 多答按所答第一题评分.选修 44：坐标系与参数方程22. （1）3x + y + 2m = 0（2） - 19 m 5122选修 45：不等式选讲23. 【小问 1 详解】333证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 a 2 0 ， b2 0 ， c 2 0 ，333a 2 b23c 2333 所以 a 2 + b2 + c 2 ，3111333139即(abc)2 3 ，所以abc 9 ，当且仅当 a 2 = b2 = c 2 ，即 a = b = c =时取等号【小问 2 详解】acab证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，bc所以b + c 2， a + c 2， a + b 2，a2 bc所以a=b + c3，b=a 22 abcb2 aca + c33，c=b22 abcc2 abc 22 abca + ba+b+c333333+=1a 22 abcb22 abcc 22 abca 2 + b2 + c 22 abc2 abcb + ca + ca + b当且仅当 a = b = c 时取等号
