1、湖北省仙桃市、天门市、潜江市2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.过点且垂直于y轴的直线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意设直线方程，再由直线过点，即可求出结果.【详解】由直线垂直于y轴，设直线方程为，又直线过点，可得.故选：A【点睛】本题主要考查直线的方程，根据直线过定点以及与y轴垂直，即可得出结果，属于基础题型.2.已知m，n是两条不重合的直线，是不重合的平面，下面四个命题中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则且D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中线线、线面以及面面位置关系，逐项
2、判断即可.【详解】由m，n是两条不重合的直线，是不重合的平面，知：在A中，若，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若，则或，故B错误；在C中，若，则且或且或且，故C错误；在D中，若，则由面面平行的判定定理得，故D正确故选：D【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关的定理和概念即可，属于常考题型.3.已知双曲线方程为，则其渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线方程，可直接求出结果.【详解】双曲线方程为，则渐近线方程为：即故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的性质，熟记双曲线的渐近线方程即可，属于基础题型.4.点A，B的坐标分别是，直线AM与BM相交于点
3、M，且直线AM与BM的斜率的商是，则点M的轨迹是A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线【答案】A【解析】【分析】设点M坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果.【详解】设，由题意可得,因为直线与的斜率的商是，所以，化简得，为一条直线,故选A.【点睛】本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型.5.从半径为6cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥接缝处不重叠，那么这个圆锥的高为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，由题意得出母线长和底面圆半径
4、，即可求出结果.【详解】设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为，如图所示；由，所以扇形的弧长为，解得；所以圆锥的高为故选：D【点睛】本题主要考查圆锥的计算，熟记公式即可，属于基础题型.6.已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该几何体为一个直三棱柱切去了一个三棱锥，结合题中数据和三棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体为：底面边长为4的等边三角形高为6的直棱柱，切去一个底面为4的等边三角形，高为3的三棱锥
5、故切去部分的体积为：故选：A【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及棱锥的体积公式，熟记公式即可，属于常考题型.7.直线，分别过点，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是A. 5B. 4C. D. 3【答案】C【解析】【分析】因为直线，分别过点，它们分别绕点M和N旋转，且两直线保持平行，因此只有两直线都与MN垂直时，直线间距离最短，从而可求出结果.【详解】因为直线，分别过点，它们分别绕点M和N旋转，且两直线保持平行，因此当两条平行直线，都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值为：故选：C【点睛】本题主要考查两直线平行的问题，将平行线间的距离转化为两点间距离即可求解
6、，属于基础题型.8.已知圆C：，直线上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意转化为直线与圆有交点，运用点到直线距离小于或等于半径来求解【详解】圆，整理可得圆，即圆是以（4，0）为圆心，1为半径的圆又直线上至少存在一点，使得以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，只需与直线有公共点即可设圆心（4，0）到直线的距离为d则,即解得故选C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题关键是要转化为直线与圆相交，然后运用求解，需要掌握解题方法9.设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，O为坐标
7、原点，则的面积为A. B. C. 9D. 4【答案】D【解析】【分析】先设，由题意求出直线AB方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及点到直线的距离公式，即可得出结果.【详解】抛物线C：的焦点，设，且倾斜角为的直线，整理得：，由韦达定理可知：，由抛物线的性质可知：，点O到直线的距离d，则的面积S，故选：D【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型.10.平面过正方体的顶点A，平面，平面，则直线m与直线BC所成角的正弦值为A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意作出几何体，找到直线，由图像可得即等于直线m与
8、直线BC所成的角，进而可求出结果.【详解】如图：因为平面，平面，连结，则易得平面平面；所以平面；又平面平面，平面，由面面平行的性质可知：，是直线m与直线BC所成角或所成角的补角，直线m与直线BC所成角的正弦值为故选：B【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可求解，属于常考题型.11.已知双曲线，过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C满足，则双曲线离心率的最大值是A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】先由双曲线方程得到左顶点为，再求出A、B两点坐标，表示出，即可求出结果.【详解】双曲线，的左顶点为，过其左焦点F作x轴的垂线
9、交双曲线于，两点，可得：，解得.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质，结合向量的数量积运算即可求解，属于常考题型.12.如图所示，在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，给出下列命题：点F的轨迹是一条线段；与不可能平行；与BE是异面直线；平面不可能与平面平行其中正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】先设平面与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，分别取B、的中点M、N，连接AM、MN、AN，推导出平面平面，即可判断；根据异面直线的概念，即可判断；根据面面位置关系判断.【详解】对于，设平面与直线BC交于点G，连接A
10、G、EG，则G为BC的中点，分别取B、的中点M、N，连接M、MN、N，平面，平面，平面同理可得平面，、MN是平面内的相交直线平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点F是线段MN上的动点，正确；对于，由知，平面平面，当F与点M重合时，错误；对于，平面平面，BE和平面相交，所以BE不平行平面，又由知：点F是线段MN上的动点，所以与BE不相交，与BE是异面直线，正确；对于，由与EG相交，可得平面与平面相交，正确综上，以上正确的命题是共3个故选：D【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关概念和定理即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆的左右焦点分别为，
11、过右焦点的直线AB与椭圆交于A，B两点，则的周长为_【答案】16【解析】【分析】先由椭圆方程得到长半轴，再由椭圆的定义即可求出结果.【详解】椭圆的，三角形的周长故答案为：16【点睛】本题主要考查椭圆的定义，熟记椭圆定义即可，属于基础题型.14.已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，结合图像即可求出结果.【详解】实数x，y满足不等式组的可行域如图：因为目标函数的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，由图像可得，AP连线斜率最大，因此，目标函数的最大值为，故答案为：1【点睛】本题主要考查简单的线性规划
12、问题，作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.15.在三棱锥中，平面ACD，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】由平面ACD，可知两两垂直，进而可知该三棱锥的外接球，即是其所在长方体的外接球，体对角线长等于外接球直径，结合球的表面积公式即可求出结果.【详解】平面ACD，所以两两垂直，因此该三棱锥的外接球，即是其所在长方体的外接球；所以，三棱锥的外接球的直径为因此，三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的外接球的计算，熟记表面积公式即可，属于常考题型.16.给出下列三个命题，其中所有错误命题的序号是_抛物线的准线方程为；过点作与抛物线只有一
13、个公共点的直线t仅有1条；是抛物线上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点【答案】【解析】【分析】由抛物线的简单性质，判断的正误；由点和抛物线的位置关系，可判断的正误；由抛物线的定义，可判断的正误；【详解】因为抛物线的标准方程为，所以其准线方程为，故错；因为点满足抛物线的方程，所以点在抛物线上，易知过该点且与抛物线相切的直线有两条，一条是，另一条是过该点的切线，故错；由抛物线的定义知：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此以为圆心作与抛物线准线相切的圆，必过抛物线的焦点，故正确；故答案为【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质，灵活运用抛物线的定义和性
14、质是解题的关键，属于基础题型.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求满足下列条件的曲线的标准方程过点的抛物线；实轴、虚轴长之和为28且实轴长大于虚轴长，焦距等于20的双曲线【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)设抛物线方程为或，再将点代入抛物线方程，即可求出结果；(2)先设双曲线方程为或，再由题意列出方程组，即可求出结果.【详解】依题意可设抛物线的方程为或则或，抛物线的标准方程为：； 设双曲线方程为或，由题意得，解得（因为实轴长大于虚轴长），由于双曲线的焦点位置不确定，所求双曲线的标准方程为或【点睛】本题主要考查抛物线方程以及双曲线方程，待定系数法是一种常用的方法，属于基础
15、题型.18.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，在中求边AC的高线所在直线的一般方程；求平行四边形ABCD的对角线BD的长度；求平行四边形ABCD的面积【答案】（1）；（3）【解析】【分析】先由A、C两点坐标，得出直线AC斜率，求出边AC的高线的斜率，再由B点坐标，即可得出结果；(2)设AC的中点为M，得到M点坐标，再设，由M为BD中点，可列方程组求出D点坐标，进而可求出结果；(3)先由B、C坐标得出直线BC的方程，以及BC长度，再由点到直线距离公式，求出点A到直线BC的距离，即可求解.【详解】，边AC的高线的斜率，边AC的高线所在的直线方程为，即；设AC的中点为M，则，设，则，解得，点
16、，；易知直线BC方程为：，则点到BC的距离为，平行四边形ABCD的面积为【点睛】本题主要考查直线方程以及两点间距离和点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.19.已知圆O：，直线l：若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求实数k的值；若，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）过定点【解析】【分析】运用弦长公式结合计算出圆心到直线的距离，即可求出斜率解法1：设切点，求出两条切线方程，计算出直线的方程，从而得到定点坐标；解法2：、四点共圆且在以为直径的圆上，求出公共弦所
17、在直线方程，然后再求定点坐标【详解】（1），设到的距离为，则点到的距离.（2）解法1：设切点，则圆在点处的切线方程为，所以，即.同理，圆在点处的切线方程为，又点是两条切线的交点，所以点的坐标都适合方程，上述方程表示一条直线，而过、两点的直线是唯一的，所以直线的方程为.设，则直线的方程为，即，由得，故直线过定点.解法2：由题意可知：、四点共圆且在以为直径的圆上，设，则此圆的方程为：.即：又、在圆上，两圆方程相减得即，由得，故直线过定点.【点睛】本题考查了直线与圆相交，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线距离，然后求出结果，在求直线恒过定点坐标时一定要先表示出直线方法，然后再求解。20
18、.已知椭圆C：，直线l：，若椭圆C上存在两个不同的点P，Q关于l对称，设PQ的中点为M证明：点M在某定直线上；求实数k的取值范围【答案】(1)见证明；(2) 或.【解析】【分析】(1)分两种情况和讨论，设出直线方程，以及，点的坐标，由都在椭圆上，均满足椭圆方程，两式作差整理，再由点在直线，即可求出的坐标，进而证明结论成立；(2)由点在椭圆的内部，结合(1)所求椭圆的坐标，即可求出结果.【详解】（1）当时，显然不符合题意，舍；当时，设直线方程为，则由相减，整理得，即，.又，.，即.故点在定直线上.（2）由（1）易得点，由题意知，点必在椭圆内部，解得或.【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单性质，灵活掌握椭圆的几何性质是解题的关键，属于中档题型.
