1、九年级数学上册知识点 一、二次根式 二、一元二次方程 三、旋转 四、圆 五、概率初步 六、二次函数 七、相似 八、锐角三角函数 九、投影与视图 一、二次根式 一、二次根式 二、二次根式混合运算 一、二次根式 1二次根式：把形如的式子叫做二次根 式， “” 表示二次根号。 2最简二次根式：若二次根式满足： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 3化简：化二次根式为最简二次根式 （1）如果被开方数是分数（包括小数） 或分式，先利用商的算数平方根的性质 把它写成分式的形式，然后利用分母有 理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将
2、他分解因数或因式，然后把能开得尽方 的因数或因式开出来。 4同类二次根式：几个二次根式化成最 简二次根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式。 5代数式：运用基本运算符号，把数和 表示数的字母连起来的式子，叫代数式 。 6二次根式的性质 二、二次根式混合运算 1二次根式加减时，可以把二次根式化 成最简二次根式，再把被开方数相同的 最简二次根式进行合并。 2二次根式的混合运算与实数中的运算 顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减 ，有括号的先算括号里的（或先去括号 ）。 二、一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的 最高次数是2(二次
3、)的整式方程叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式，其中叫做 二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次 项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 二、降次-解一元二次方程 1降次：把一元二次方程化成两个一元 一次方程的过程(不管用什么方法解一元 二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 三、旋转 一、旋转 二、中心对称 一、旋转 1、定义：把一个图形绕某一点O转动一 个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫 做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角。 旋转前后的图形全等。 二、中心对称 1、定义：
4、 把一个图形绕着某一个点旋转180，如 果旋转后的图形能够和原来的图形互相 重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形 。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点 连线都经过对称中心，并且被对称中心 平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应 线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定：如果两个图形的对应点连线 都经过某一点，并且被这一点平分，那 么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形：把一个图形绕某一 个点旋转180，如果旋转后的图形能 够和原来的图形互相重合，那么这个图 形叫做中心对称图形，这个店就是它的 对称中心
5、。 5、关于原点对称的点的特征：两个点关 于原点对称时，它们的坐标的符号相反 ，即点P（x，y）关于原点的对称点为 P（-x，-y） 6、关于x轴对称的点的特征：两个点关 于x轴对称时，它们的坐标中，x相等， y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的 对称点为P（x，-y）。 7、关于y轴对称的点的特征：两个点关 于y轴对称时，它们的坐标中，y相等， x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的 对称点为P（-x，y）。 四、圆 一、圆的相关概念 二、弦、弧等与圆有关的定义 三、垂径定理及其推论 四、圆的对称性 五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关 系定理 六、圆周角定理及其推论 七、点和圆的位置关
6、系 一、圆的相关概念 1、圆的定义：在一个个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A随之旋转所形成的图形叫做 圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫 做半径。 2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记 作“O”，读作“圆O” 二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫 做弦。（如图中的AB） （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个 端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半 圆。 （4）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点 间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号 “”表示，以A，B为端点的弧记作 “”，读作“
7、圆弧AB”或“弧AB”。大 于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表 示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两 个字母表示） 三、垂径定理及其推论 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直 平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 。 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形， 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 。 2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对 称中心的中心对称图形。 五
8、、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关 系定理 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心 角。 2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心 距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关 系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦 心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的 圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。 六、圆周角定理及其推论 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都 和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 ；同圆或等圆中，相等的圆
9、周角所对的 弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角 是直角；90的圆周角所对的弦是直径 。 推论3：如果三角形一边上的中线等于 这边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。 七、点和圆的位置关系 设O的半径是r，点P到圆心O的距离为 d，则有： 五、概率初步 一、概率 二、概率 三、求概率方法 四、利用频率估计概率 一、概率1随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不发生 的事件，称为随机事件一般的，随机 事件发生的可能性是有大小的，不同的 随机事件发生的可能性大小有可能不同 。 (确定事件：事先能肯定它一定会发生的 事件称为必然事件，事先能肯定它一定 不会发生的事件称为不可能事件，必然
10、 事件和不可能事件都是确定的事件分 为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确定事件又分为必然事件和不可能事 件，) 二、概率 1.概率： （1）一般地，在大量重复实验中，如 果事件A发生的频率mn会稳定在某个 常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A 的概率，记为P（A）=p。（频率接近概 率） （2）概率是频率（多个）的波动稳定 值，是对事件发生可能性大小的量的表 现。概率反映可能性大小的一般规律。 （3）概率取值范围：0p1 （4）必然发生的事件的概率P（A）=1； 不可能发生事件的概率P（A）=0 （5）事件发生的可能性越大，概率越接 近与1，事件发生的可能性越小，概率越 接近于0 三、求
11、概率方法 1.列举法：一次实验中，涉及1个因素， 并且可能出现的结果数目有限多个，并 且它们发生的可能性都相等，把可能的 结果都列出来， 求P（A）=mn的方法 。 2.列表法：当一次实验要涉及2个因素， 并且可能出现的结果数目较多，并且它 们发生的可能性都相等，为不重不漏地 列出所有可能的结果，采用列表法。（ 频率等于概率） （1）当试验中存在两个元素且出现的所 有可能的结果较多时，我们常用列表的 方式，列出所有可能的结果，再求出概 率 （2）列表的目的在于不重不漏地列举出 所有可能的结果求出n，再从中选出符合 事件A或B的结果数目m，求出概率 3.树状法：当一次实验要涉及3个或更多 的因素
12、，列表法就不方便了，为不重不 漏地列出所有可能的结果，通常采用树 形图法（频率等于概率） 树形图列举法一般是选择一个元素再和 其他元素分别组合，依次列出，象树的 枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的 可能的结果n 4.游戏公平性 （1）判断游戏公平性需 要先计算每个事件的概率，然后比较概 率的大小，概率相等就公平，否则就不 公平 四、利用频率估计概率 1.利用频率估计概率（频率接近概率） （1）大量重复实验时，事件发生的频 率在某个固定位置左右摆动，并且摆动 的幅度越来越小，根据这个频率稳定性 定理，可以用频率的集中趋势来估计概 率，这个固定的近似值p就是这个事件 的概率 （2）用频率估计概率得
13、到的是近似值 ，随实验次数的增多，值越来越精确 （3）当实验的所有可能结果不是有限 个或结果个数很多，或各种可能结果发 生的可能性不相等时，一般通过统计频 率来估计概率 2.模拟实验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常 用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取 ，这样的实验称为模拟实验 （2）模拟实验是用卡片、小球编号等 形式代替实物进行实验，或用计算机编 号等进行实验，目的在于省时、省力， 但能达到同样的效果 （3）模拟实验只能用更简便方法完成 ，验证实验目的，但不能改变实验目 的，这部分内容根据新课标要求， 只要设计出一个模拟实验即可 六、二次函数 1、定义： 2、二次函数的性质： 3、二次函数
14、的图像是对称轴平行于（ 包括重合）轴的抛物线。 4、二次函数用配方法 5、二次函数由特殊到一般 6、抛物线的三要素：开口方向、对称 轴、顶点。 7、顶点决定抛物线的位置。几个不同 的二次函数，如果二次项系数相同，那 么抛物线的开口方向、开口大小完全相 同，只是顶点的位置不同。 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 9、抛物线中，的作用 10、几种特殊的二次函数的图像特征如 下： 11、用待定系数法求二次函数的解析式 1、定义： 一般地，如果是常数，那么叫做的二 次函数。自变量的取值范围是全体实数 。 2、二次函数的性质： （1）抛物线的顶点是坐标原点，对称 轴是轴； （2）函数的图像与的符号关系：
15、 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点 。 （3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的 抛物线的解析式形式为。 6、抛物线的三要素：开口方向、对称 轴、顶点。 的符号决定抛物线的开口方向：当时 ，开口向上；当时，开口向下；相等， 抛物线的开口大小、形状相同。 平行于轴（或重合）的直线记作.特 别地，轴记作直线。 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是 直线。 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物 线的解析式化为的形式，得到顶点为 (,)，对称轴是直线。 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物 线是以对称轴为轴的轴对称图形，所 以对称轴的连线的垂直
16、平分线是抛物线 的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶 点。 注意：用配方法求得的顶点，再用公式 法或对称性进行验证，才能做到万无一 失。 9、抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与 中的完全一样。 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置 。由于抛物线的对称轴是直线。 时，对称轴为轴； （即、同号）时，对称轴在轴左侧； （即、异号）时，对称轴在轴右侧 。 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位 置。 当时抛物线与轴有且只有一个交点（0 ，）： ，抛物线经过原点； ,与轴交于正半轴； ,与轴交于负半轴。 以上三点中，当结论和条件互换时，仍 成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。 10、几种特殊
17、的二次函数的图像特征如 下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时开口向上当时开口向下 （轴） （0,0） 11、用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：。已知图像上三点或三 对、的值，通常选择一般式。 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称 轴，通常选择顶点式。 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐 标、，通常选用交点式。 七、相似 1 图形的相似 2 相似三角形 3 位似 1 图形的相似 概述 判定 1、如果两个图形形状相同,但大小不一 定相等,那么这两个图形相似。 2、如果两个多边形满足对应角相等， 对应边的比相等，那么这两个多边形相 似。 3、相似多边形的对应边的比叫相似比
18、。相似比为1时，相似的两个图形全等 。 4、相似多边形的对应角相等，对应边 的比相等。相似多边形的周长比等于相 似比。 5、相似多边形的面积比等于相似比的 平方。 2 相似三角形 判定： 1.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例 4.平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边延长线相交，所构成的三角形与 原三角形相似。 1.相似三角形的一切对应线段(对应高 、对应中线、对应角平分线、外接圆 半径、内切圆半径等）的比等于相似比 。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平 方 3 位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且每 组
19、对应点的连线交于一点，对应边互相 平行，那么这两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心，这时的相似比又 称为位似比。 性质 1、位似图形的对应点和位似中心在同一 直线上，它们到位似中心的距离之比等 于相似比。 2、位似多边形的对应边平行或共线。 3、位似可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点，不 过位似图形也会随着位似中心的位变而 位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知 图形一定位似比的位似图形,这两个图形 分布在位似中心的两侧,并且关于位似中 心对称。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所 以两个图形是位似图形，必定是相似图 形，而相似图形不一定是位似图形；
20、2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两 侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比利用位似图形的 定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边 相交，所构成的三角形与原三角形位似 。 八、锐角三角函数 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和 正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec ），（余割csc）都叫做角A的锐角三角 函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（ cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 余切（ cot）等于邻边比对边 正切与余切互为倒数，互余角的三角函 数间的关系。 sin(90
21、-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan. 同角三角函数间的关系 平方关系： tan=sin/cos， sin2+cos2=1 积的关系： 倒数关系： tancot=1 ；sincsc=1； cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）090的任意角的三角函数值 ，查三角函数表。 （3）tanA的值越大，梯子越陡，A 越大；A越大，梯子越陡，tanA的值 越大。 （i）锐角三角函数值都
22、是正值 （ii）当角度在090间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增 大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减 小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增 大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减 小（或增大） （iii）当角度在090间变化 时， 0sin1, 1cos0, 九、投影与视图 1 投影 2 三视图 1 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面 （地面、墙壁等）上得到的影子叫做物 体的投影，照射光线叫做投影线，投影 所在的平面叫做投影面。 有时光线是一组互相平行的射线，例如 太阳光或探照灯光的一束光中的光线。 由平行光线形成的投影是平行投影. 由同一点（点光源发出的光线）形成的 投影叫做中心投影。投影线垂直于投影 面产生的投影叫做正投影。 投影线平行于投影面产生的投影叫做平 行投影。 物体正投影的形状、大小与它相对于投 影面的位置有关。 谢谢谢谢观观看看 请请多多指指教教
