1、Wang YuWang Yu1作业题2-151、以Xi(s)为输入求Xo(s)/Xi(s)、Y(s)/Xi(s)、B(s)/Xi(s)、E(s)/Xi(s)2、以N(s)为输入求Xo(s)/N(s)、Y(s)/N(s)、B(s)/N(s)、E(s)/N(s)-1-1N(s)=0Xi(s)=0Wang YuWang Yu2第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 稳定性稳定性是线性控制系统是线性控制系统 中中最重要最重要的问题的问题Wang YuWang Yu35-1 5-1 稳定的概念稳定的概念 一个系统受到扰动，偏离了一个系统受到扰动，偏离了原来的原来的平平衡状态，而当扰动取消
2、后，这个系统又能衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到够逐渐恢复到原来的原来的状态，则称系统是稳状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。定的。否则，称这个系统是不稳定的。Wang YuWang Yu45-1 5-1 稳定的概念稳定的概念MMb bc co oo od df fa ab bc cd de e条件稳定系统稳定系统不稳定系统Wang YuWang Yu55-1 5-1 稳定的概念稳定的概念 稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的
3、初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。Wang YuWang Yu65-2 5-2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件t tnt txit=0 txot 00iooxx-+sG1 sG2 sXi sXo sNWang YuWang Yu75-2 5-2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件-+sG1 sG2 sXi sXo sN sNbsbsbsbsXasasasammmmonnnn 11101110 nnnnmmmmoasasasabsbsbsbsGsGsGsNsX 111011102121 01110
4、sXasasasaonnnn 方程撤除扰动，即得到齐次 01110 txatxatxatxaononnono kinkjjjjjttiotFtEeeDtxtji11sincos0 ，即齐次方程的解趋于时，系统稳定，当按照稳定性定义，如果00 ji ，件是：系统稳定的充分必要条 Wang YuWang Yu85-2 5-2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件统是稳定的。的系应最终衰减到零，这样均为负值，则零输入响实部，若系统所有特征根的因此对于线性定常系统特征根的实部，对应闭环系统传递函数，ji 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。1
5、+G(s)H(s)=0即即Wang YuWang Yu95-2 5-2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件控制系统稳定的控制系统稳定的充分必要条件充分必要条件是：是：系统闭环特征方程式的根全部具有系统闭环特征方程式的根全部具有实实部。部。或闭环传递函数的极点全部具有闭环传递函数的极点全部具有实部实部（位于（位于平面）平面）。Wang YuWang Yu105-2 5-2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是
6、收敛的还是发散的。Wang YuWang Yu115-35-3代数稳定判据代数稳定判据 为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。劳斯(Routh)判据Wang YuWang Yu125-3 5-3 代数稳定判据代数稳定判据系统特征方程为：稳定的必要条件：a ai i 0 (0 (i i=0,1,2,n)=0,1,2,n)稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项劳斯阵列中第一列所有项00 0122110nnnnnasasasasasDWang YuWang Yu135-3 5-3 代数稳定判据代数稳定判据012
7、3213n3212n75311n6420nssscccsbbbsaaaasaaaas 130211aaaaab 150412aaaaab 170613aaaaab 121311bbaabc 131512bbaabc 0asasasasasDn1n2n21n1n0 一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。Wang YuWang Yu1401234sss042s33s 1 判断系统稳定性判断系统稳定性、系统特征方程为：、系统特征方程为：例例 03s4s3s2ssD1234 解：满足必要条件 1
8、3-2 系统不稳定。系统不稳定。个右根，个右根，有有次，次，符号改变符号改变劳斯阵列第一列劳斯阵列第一列2sD23Wang YuWang Yu150 K必要条件：-sXi sXo21sssKK为何值时，系统稳定 K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio 解：解：02323 KssssD系统特征方程为：0123ssKs2s 3 1 3K6 K60 K 系统稳定的充要条件：0K0K60 有：有：符号符号满足劳斯阵列第一列满足劳斯阵列第一列例例2 2Wang YuWang Yu165-3 5-3 代数稳定判据代数稳定判据劳斯判据的两种特殊情况：劳斯判据的两种特殊情况：1、某一行第一个元素
9、为零，而其余各元 素均不为零、或部分不为零；2、某一行所有元素均为零。Wang YuWang Yu175-3 5-3 代数稳定判据代数稳定判据01234sssss 3 3 1 1 1 33 第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。1011、某一行第一个元素为零Wang YuWang Yu185-3 5-3 代数稳定判据代数稳定判据0123ssss 2 2 1 1 02 2第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。2,02s122 s223sjssssS 行为0，表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。1sWang YuWang Yu195-3 5-3 代数稳定判据代数稳
10、定判据2 2、某一行所有元素均为零、某一行所有元素均为零由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征 根。表明在 S 平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根。S显然，这些根的数目一定是偶数。Wang YuWang Yu205-3 5-3 代数稳定判据代数稳定判据 65432528122016160D sssssss例：0123456sssssss 16 12 2 16 12 2 16 20 8 1 辅助多项式辅助多项式8624 ss 4 1243
11、第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程辅助方程08s6s24 3 8 8ss1243 求导：04s2s22 2js2js4.32.1 1 6 80 0 系统临界稳定系统临界稳定Wang YuWang Yu21作业：作业：5-15-1、5-35-3 5-4(3)(4)5-4(3)(4)、5-5(3)(4)5-5(3)(4)Wang YuWang Yu225-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 系统特征方程式的根全部具有负实部。或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。回顾回顾Wang YuWang Yu235-4 5-4 乃奎斯特稳定判据
12、乃奎斯特稳定判据 sXi sXo sG sH-sHsG1sGsXsXio 闭环传递函数：闭环传递函数：是稳定的）。是稳定的）。平面内，则系统平面内，则系统半半征方程的根）均位于左征方程的根）均位于左所有极点（闭环特所有极点（闭环特但如果闭环传递函数的但如果闭环传递函数的平面，平面，的极点可能位于右半的极点可能位于右半递函数递函数平面（虽开环传平面（虽开环传半半全部根，都必须位于左全部根，都必须位于左的的为了保证系统稳定，为了保证系统稳定，SSsHsGS0sHsG1 Wang YuWang Yu245-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 判据。判据。联系起来的联系起来的面内的零点数和极
13、点数面内的零点数和极点数平平在右半在右半特征多项式特征多项式与闭环与闭环开环频率特性开环频率特性一种将一种将乃奎斯特稳定判据正是乃奎斯特稳定判据正是ssHsGjHjG 1 。都是开环频率特性都是开环频率特性曲线曲线通常我们画的乃奎斯特通常我们画的乃奎斯特 jHjG Wang YuWang Yu255-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据这一判据是由H.nyquist首先提出来的。因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。由解析的方法、或者由实验的方法得到的开环频率响应曲线，都可以用来进行稳定性分析。因为闭环系
14、统的绝对稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。Wang YuWang Yu265-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 22 22arg 0,121 qpnpqpnssjDsDjssqpnqspssssssAssDnniiqnq 量量应应等等于于的的角角增增变变化化时时，复复数数从从并并命命入入代代平平面面，则则当当以以个个根根位位于于左左半半个个根根在在原原点点上上，其其余余有有平平面面个个根根位位于于右右半半有有次次多多项项式式设设Wang YuWang Yu275-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据证明：先看
15、一次式证明：先看一次式 abtgabtgss11122arg 0jjb1sabtg1 a 0ajbassssD111 其中：其中：bjajbajjDjs1 则有则有命命 2abtgjD011 的幅角将从的幅角将从连续变化连续变化从从命命 2Wang YuWang Yu285-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 abtgss112arg 0j1sjbabtg1ajbas1 若若 bjajbajjD1 2abtgjD011 的幅角将从的幅角将从连续变化连续变化从从命命2Wang YuWang Yu295-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 2arg qpnqpn 左个左零点现共
16、有0j1sjba1sjb 2222argarg1111 abtgabtgssss 复数根总是共轭出现的Wang YuWang Yu305-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据再来研究零点在右半再来研究零点在右半S S平面的一次式平面的一次式 abtgabtgss11222arg 0jjb2saabtg1 0ajbassssD222 其中：其中：bjajbajjDjs2 则有则有命命 2abtgjD012 的幅角将从的幅角将从连续变化连续变化从从命命 2Wang YuWang Yu315-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 abtgabtgss11222arg 0jjb2saa
17、btg1jbas2 若若 bjajbajjD2 2abtgjD012 的幅角将从的幅角将从连续变化连续变化从从命命2Wang YuWang Yu325-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 22022argargargarg1 qpnpqpnssnii 原点右左 2222argarg1122 abtgabtgssss 同理 2arg pP右个右根现共有 0arg 2 ,原原点点的的幅幅角角恒恒为为当当令令（原原点点处处的的零零点点）中中含含有有至至于于 qsjsssDqqWang YuWang Yu335-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据1、反馈系统开环与闭环的特征方程式
18、sXi sXo sG-sG1sD 引进新函数引进新函数 sDsNasasasabsbsbsbsGKKnnnnmmmm 11101110 sGsGsXsXio 1 sDsNsDsNKKKK 1 sNsDsNKKK sDsNBB sDsNKK 1 sDsNsDKKK sDsDKB Wang YuWang Yu345-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据2 2、NyquistNyquist稳定判据稳定判据 sDsDsGsDKB 1 由 jDjDjGjsKBargarg1arg0 从且当令 2arg001 njDqpjDKK 根据米哈伊洛夫定理中若开环稳定，即 2arg00 njDqpjDBB
19、 中这时，若闭环稳定，即 0jG1arg 0jG1ReIm0Wang YuWang Yu355-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据0jG1ReIm0 来判断闭环稳定性。来判断闭环稳定性。的幅角增量的幅角增量反过来，可根据反过来，可根据 jG1 2qp 2qp2n2njG1arg ，个在原点有，个在右S平面有 若开环2根根qpsDK 22arg qpnjDK 2arg00 njD qpjDBB 中这时，若闭环稳定，即Wang YuWang Yu365-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 的的角角增增量量来来判判断断。用用复复数数定定，可可这这样样，系系统统闭闭环环是是否否稳稳
20、 jG1 有有用用价价值值。来来判判断断闭闭环环稳稳定定性性，很很上上根根据据标标平平移移得得到到，所所以以工工程程可可以以根根据据坐坐与与开开环环而而图图不不好好画画，的的但但 jGjGjG1NyquistjG1 0jG1ReIm00,1 jjG1jGIm0,1 j0jG0ReWang YuWang Yu375-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据NyquistNyquist判据又可以叙述为：判据又可以叙述为：稳定。系统闭环后 幅角增量点的曲线关于的若变化时，从则当,根个在原点有，根个平面有在右开环特征多项式若2arg010 qpjG,jNyquistjGqpS Wang YuWan
21、g Yu385-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 闭环稳定。时，系统幅角增量点的曲线关于的变化时，从当 2arg010qpjG,jNyquistjG sXi sXo1 TsK-例6K为何值时,系统稳定？0 ,1 1:qp系系统统开开环环解解 图图画画Nyquist2 1 TjKjG 12 TKjG 1 Tarctg Tarctg 180Tarctg 180 180 :0 KjG 900 :jG0 jGReIm-10 1 K10 K0 故系统稳定故系统稳定时：时：180 arg1 jGK 系系统统不不稳稳定定时时：0 arg10 jGKWang YuWang Yu395-4 5-4
22、乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据例7 1s05.01s1.0sKsG 判别系统稳定性 1 ,0 1:qp系系统统开开环环解解 闭环稳定。时，系统幅角增量点的曲线关于的变化时，从当22arg010 qpjG,jNyquistjG 图图画画Nyquist2 105.011.0 jjjKjG 105.011.022 KjG 05.01.02arctgarctg 0:90G j 2700 :jGWang YuWang Yu405-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 30114.1405.0114.141.014.1414.1422KKjG 05.01.02:arctgarctgNyquist
23、 即即令令曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点求求14.14 200:05.01.01 ,2 即即得得两边取正切两边取正切 90 :0 jG 2700 :jGjGReIm30 K30 K 0 30 K-1 故故系系统统不不稳稳定定时时：270 arg30 jGK 系统稳定系统稳定时：时：90 arg300 jGK 闭环稳定。时，系统幅角增量点的曲线关于的变化时，从当22arg010 qpjG,jNyquistjGWang YuWang Yu415-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据例8 11122 sTsssG ,2112系统的稳定性系统的稳定性时时及及试判别试判别 TT 2 ,0
24、1:qp系系统统开开环环解解 图图画画Nyquist2 闭环稳定。时，系统幅角增量点的曲线关于的变化时，从当 2arg010qpjG,jNyquistjG 11122 jTjjjG 1121222 TjG 12180arctgTarctg 12180 :0TjG 1800 :jGWang YuWang Yu425-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 12180 :0TjG 1800 :jG,12时时当当T 180 jG 180 jG,21时时当当 T-10 jGReIm 0 12T 21 T 故故系系统统稳稳定定时时：180 arg12 jGT 系统不稳定系统不稳定时：时：180 a
25、rg21 jGTWang YuWang Yu43作业：作业：5-6(1)(3)5-6(1)(3)、5-105-10 Wang YuWang Yu445-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 :10 arg G j1 02Nyquistjpq 系统闭环稳定的条件是开环曲线关于，点的变化时就应做些改变向由自变量曲线时在画这时成左根来处理环特征式的零根当但在工程上也往往把开 0,jNyquist Wang YuWang Yu455-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 ,:arg1 qNyquistG jp这时 由于把开环特征式零根当作左半平面根处理 即不考虑于是判据就变为则闭环稳定
26、0 sReIm jre j为无穷小量为无穷小量令令在原点处在原点处rerjj 900 逆时针变到逆时针变到由由则则 7 0.110.051KG jjjj例00,KG jj当时 jjerKerK jGReIm30 K30 K 0 -1 Wang YuWang Yu465-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 22118 1sG ssTs例0 sReIm jre j200,KG jj当时 2222jjerKerK :arg1 qNyquistG jp由于把开环特征式零根当作左半平面根处理 即不考虑，于是判据就变为则闭环稳定-10 jGReIm 0 12T 21 T Wang YuWang
27、Yu475-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 把原点处的开环极点当成左半把原点处的开环极点当成左半S S平面的极点（即不考虑平面的极点（即不考虑q)q)，显然只需显然只需知道开环在右知道开环在右S S平面的极点平面的极点P P即可；即可；j0rR 0 s 0曲线需要讨论。曲线需要讨论。的的只有只有Nyquist00 在在S S平面上做封闭曲线包围整个平面上做封闭曲线包围整个右右S S平面；平面；曲线，已经会画；曲线，已经会画；的的Nyquist0 ；曲线关于实轴镜向对称曲线关于实轴镜向对称的的曲线与曲线与的的Nyquist0Nyquist0 曲线，集中在原点；曲线，集中在原点；的的
28、Nyquist Wang YuWang Yu485-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 7 0.11 0.051KG ssss例弧弧度度。半半径径绕绕原原点点顺顺时时针针以以 q jGReIm 0 0-1 jjerKerKjGsKsG 2,2-000 jerss时时，当当段段画画法法曲曲线线 Nyquist -2,2rK 幅角幅角幅值幅值Wang YuWang Yu495-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据全全频率的频率的NyquistNyquist判据为：判据为：不不稳稳定定。则则系系统统闭闭环环稳稳定定；反反之之点点，曲曲线线不不包包围围变变化化时时，从从时时，当当01
29、01jjHjGp Wang YuWang Yu505-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据j0rR 0 s 0 7 0.11 0.051KG ssss例jGReIm 0 0-1弧弧度度绕绕原原点点半半径径以以顺顺时时针针 q 所所以以系系统统闭闭环环稳稳定定。点点，曲曲线线不不包包围围变变化化时时，从从，且且010 jjHjGp Wang YuWang Yu515-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据jGReIm-1 点，点，过了过了曲线就越曲线就越，增加到大于增加到大于当当0130 jjHjGK 稳定。稳定。所以，系统闭环不所以，系统闭环不点，点，包围了包围了曲线就曲线就变化
30、时，变化时，从从这时，当这时，当01jjHjG Wang YuWang Yu525-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据全频率的Nyquist判据为：点，则闭环均不稳定。，顺时针包围圈或点不到，若逆时针包围0101jpj :arg12 10NyquistG jpG jjp由于把开环特征式零根当作左半平面根处理，且 从判据就变为即曲线逆时针包围，点圈，则闭环稳定(2)0P Wang YuWang Yu535-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 113135 PsssKsHsG 例 13 jjjKjHjG 13222 KjHjG 1390 arctgarctg arctgarct
31、g 180390 arctgarctg 3270 270 :0 jHjG 900 :jHjG arctgarctgNyquist 390:180:即即令令曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点求求732.1 3:3 ,2 即即得得两边取正切两边取正切 KKjHjG 1732.1732.13732.1732.1732.1222Wang YuWang Yu545-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 270 :0 jHjG 900 :jHjG KjHjGNyquist 732.1732.1 :曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点-1 jGReIm时时当当1 K 系系统统闭闭环环稳稳定定。圈圈
32、，点点，针针包包围围曲曲线线逆逆时时pjjHjG01 0 0 1 PWang YuWang Yu555-4 5-4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据-1 jGReIm时时当当1 K 环不稳定。环不稳定。点，闭点，闭，针包围针包围曲线顺时曲线顺时01jjHjG 270 :0 jHjG 900 :jHjG KjHjGNyquist 732.1732.1 :曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点Wang YuWang Yu565-5 5-5 应用应用NyquistNyquist判据分析延时系统的稳定性判据分析延时系统的稳定性 延时环节是线性环节，机械工程中许多系统中具有这种环节。Wang YuWang
33、 Yu575-5 5-5 应用应用NyquistNyquist判据分析延时系统的稳定性判据分析延时系统的稳定性一、延时环节串联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性一、延时环节串联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性-se sG1 sXi sXo jGjGjGjGesGsGKKsK111 可见：延时环节不改变幅频特性，仅影响相频特性。Wang YuWang Yu585-5 5-5 应用应用NyquistNyquist判据分析延时系统的稳定性判据分析延时系统的稳定性例例5-145-14-se sG1 sXi sXo 005.01 jGk 点，则系统不稳定。点，则系统不稳定。，包围包围若若0j1jG
34、k 0,1 j 1ssKsG1 若若 ske1ssKsG 则则 jke1jjKjG 象限象限只在第只在第时，时，jG0k 象限象限、进入第进入第时，时，IIIjGk L 00c 0 1 180360 5.0 带有延时环节的系统不是带有延时环节的系统不是最小相位系统最小相位系统Wang YuWang Yu595-5 5-5 应用应用NyquistNyquist判据分析延时系统的稳定性判据分析延时系统的稳定性 明显看出，虽然的，但系统中若存在延时环节，也可能变为不稳定。、减少、减少、减少、减少稳定性稳定性系统的系统的为保证具有延时环节的为保证具有延时环节的2K1 Wang YuWang Yu605
35、-5 5-5 应用应用NyquistNyquist判据分析延时系统的稳定性判据分析延时系统的稳定性 011011111 sGesGesGsDssk 变形为：变形为：将将图困难图困难直接画直接画Nyquist二、延时环节并联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性二、延时环节并联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性-se sG1 sXi sXo 系系统统的的稳稳定定性性的的情情况况，进进而而判判定定包包围围于于是是，可可研研究究s1e11jG sGe1sG1sk Wang YuWang Yu615-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性一、Nyquist图与Bode图的对应关系
36、 010pG jj一个系统，若，则闭环稳定的充要条件是不包围，点。0,1 j L jG00180011cg 11cg 2c2c 1801A 1800dBLWang YuWang Yu625-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性二、利用Bode图判断稳定性 ，则闭环稳定。，则闭环稳定。，即即值，值，的所有的所有，且在，且在若若1800L0p.1c 00,1 j L jG00180111cg 1cg 2c2c 1801A 1800dBL稳定不稳定Wang YuWang Yu63：Frequency(rad/sec)Phase(deg);Magnitude(dB)bode p
37、lot-150-100-50050From:U(1)10-210-1100101102103-300-250-200-150-100-50To:Y(1)250s5.0ss4s100sG 例例Wang YuWang Yu645-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性利用Bode图判断使系统稳定的K值范围。c 012 dBLc1K2Kc12 使KK180jG Nyquist曲线刚好通过（-1，j0）点，系统临界稳定。例例5-175-17Wang YuWang Yu655-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 0TT1sT1sTsKsG2121 1j1j
38、jKjG21 212221arctgarctg211KjG 令：令：Wang YuWang Yu665-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性21arctgarctg2 即：即：21arctg2arctg 21212 两边取正切得两边取正切得 的几何中点上的几何中点上、图图在在2121Bodelglg21lg Wang YuWang Yu675-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 012c dBL180jG K21 Wang YuWang Yu685-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性0lg20lg20Klg201cc
39、有：有：时，系统稳定。时，系统稳定。显然显然系统临界稳定系统临界稳定即即221cKKK 求使系统稳定的临界K值图幅频特性表达式图幅频特性表达式代入代入将将Bodec21 01lg201lg20lg20Klg20L22c21ccc 忽略忽略1cclg20Klg20 即：即：KK12c1cc Wang YuWang Yu695-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 若采用劳斯判据判断系统稳定的K值范围K S K-S K S 1 S 01232121212121TTTTTTTTTT 212121TTTT K0 即：即：0K1sT1sTssD21 0KssTTsTTsD2213
40、21 0KK 2121TTTT若想系统稳定若想系统稳定Wang YuWang Yu705-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性注意：注意：利用Nyquist判据的结论与利用劳斯判据的结论 不一致，其原因是Bode图用的是渐近线，有误差。只要 两种方法结论一致。21K21Wang YuWang Yu715-6 5-6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 次次。为为上上的的正正负负穿穿越越次次数数之之差差线线在在的的频频率率范范围围内内，要要条条件件是是：在在所所有有平平面面，则则闭闭环环稳稳定定的的充充个个极极点点在在右右有有如如果果系系统统开开环环2p18
41、00LSpjG 2 2、普遍情况、普遍情况 jG0,1 j负穿越一次正穿越一次0负穿越半次正穿越半次Wang YuWang Yu72)(L)(2-p=0a()(L)(243p=1 cb()正负穿越之差为零，系统闭环稳定半次正穿越系统闭环稳定Wang YuWang Yu73)(L)(-p=2c()-)(-p=2d()0o正负穿越之差为1-2=-1，系统闭环不稳定正负穿越之差为2-1=1，系统闭环稳定-Wang YuWang Yu74作业：作业：5-22 5-22 Wang YuWang Yu755-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 有根。以右是否求出距离虚轴再应用劳斯判据，即
42、可的方程式，代入系统特征式，得到即将，令向左平移虚轴 zzssz ,统有一定的稳定裕量。虚轴有一段距离，则系左半平面，且和在如果系统闭环特征根均s S0Wang YuWang Yu765-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 右边有没有闭环特征根平面的判断系统在例1-s 2450351013.010000195234 ssssssXsXio 代入系统特征式，得即解：令1,1 zssz 0241501351101234 zzzz06116234 zzzz 即（1）不满足系统稳定的必要条件：特征方程中各项系数0即 系数为0，说明系统特征根并不都在z平面（s=-1)左侧 0ZWang
43、 YuWang Yu775-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性（2）列劳斯表 劳斯判据第一列未变号，说明z（s=-1）右半面无根），但最后元素为0，说明有共轭虚根或零根：令 ，代入特征方程：解出：即有零根 即4Z3Z2Z1Z0Z11166010600zj432()6()11()6()0jjjj0z 01s Wang YuWang Yu785-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 程程度度越越低低。点点越越近近，稳稳定定性性，的的轨轨迹迹离离高高；点点越越远远，稳稳定定性性程程度度越越，迹迹离离的的轨轨，且且闭闭环环稳稳定定，则则若若图图可可知知：从从0j1jG
44、0j1jG0pNyquist jG0,1 j这便是通常所说的相对稳定性，它通过 对（-1，j0）点的靠近程度来度量。jG定量表示为：gK 幅值裕量相位裕量Wang YuWang Yu79 具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在 的频率下，允许相位再增加 度才达到临界稳定条件。5-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 1、相位裕量 线线的的相相位位差差。时时，相相频频特特性性距距当当180c jGccc180正相位裕量因此相位裕量也叫相位稳定性储备。0,1 j cWang YuWang Yu805-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性2、幅
45、值裕量当 时，开环幅频特性 的倒数。jGKg1jGgK在Bode图上，jGlg20jG1lg20Klg20g 正相位裕量 线以上180jGcc jG L 0180正幅值裕量0dB线以下c正幅值裕量1gK Wang YuWang Yu815-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性负幅值裕量1gK 负相位裕量 线以下180 具有负幅值裕量及负相位裕量时，闭环不稳定。jGcc gK1 L0负幅值裕量0dB线以上 180c负相位裕量)(jGWang YuWang Yu825-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 工程实践中，为使系统有满意的稳定储备，一般希望：dBKKgg
46、6lg202;6030或Wang YuWang Yu835-7 5-7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 20-5 2222nnnssssG 例时系统的稳定性分析0ImRe0-1Kg1A10c()a)(L0dB)(-90o-180o-270o(b)c-20dB/dec-60dB/dec)(dBKg 如果仅以相位裕量来判断系统的稳定性,就会得出系统稳定程度很高的结论,而系统的实际稳定程度绝不是高,而是低。所以,必须同时根据相位裕量和幅值裕量全面地评价系统的相对稳定性,避免得出不合实际的结论。Wang YuWang Yu84Frequency(rad/sec)Phase(deg);Magnitude(dB)bode plot-100-50050100From:U(1)10-210-1100101102-300-250-200-150-100-50To:Y(1)10010 21-5dBKKKsssKsGg和时的及试分别求取例 51K=1008dBK=1021幅值裕量较大，但相位裕量小于30，相对稳定性不够满意30 系统不稳定-12dBWang YuWang Yu85作业：5-11、5-14
