1、第第1313章章 系统的运动稳定性系统的运动稳定性第第1313章章 系统的运动稳定性系统的运动稳定性2 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收必要条件，它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而与输入作用无关。敛性，而与输入作用无关。1.1.线性系统的稳定性只取决于系统的结构和线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；参数，与系统初始条件及外作用无关；2.2.非线性系统的稳定性既取决于系统的结构非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；和参数，也与系
2、统初始条件及外作用有关；李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。应范围更广。李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：1.1.间接
3、法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法；2.2.直接法直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第李雅普诺夫第二法。二法。李雅普诺夫稳定性理论：李雅普诺夫稳定性理论：第第1313章章 系统的运动稳定性系统的运动稳定性3稳定性判别方法稳定性判别方法经典控制理论中：经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判
4、据）；代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性：描述函数法描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；除谐波的性能；相平面法相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：现代控制理论中：一般系统一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论。第第1313章章 系统的
5、运动稳定性系统的运动稳定性4 第第1313章章 系统的运动稳定性系统的运动稳定性1 5 2345667BIBOBIBO稳定性的概念：稳定性的概念：对于一个对于一个初始条件为零初始条件为零的系统，如果在有界的的系统，如果在有界的输入输入u(t)u(t)的作用下，所产生的输出的作用下，所产生的输出y(t)y(t)也是有界也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为有界输出稳定的。并简称为BIBOBIBO稳定。稳定。李雅普诺夫稳定性的物理意义是李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界系统响应是否有界。线性时不变连续系统方程
6、为线性时不变连续系统方程为式中，式中，x,u,yx,u,y 分别为分别为n,r,m n,r,m 维向量；维向量；A,B,CA,B,C为满足矩阵为满足矩阵运算的矩阵。若初始条件为零，则系统的零状态响应运算的矩阵。若初始条件为零，则系统的零状态响应为为(13 1)xAxBuyCx0()()dtA ttxeBu00()()d()()dttA tttyCxeBuG tu(13-2)(13-2)其中，其中，为系统脉冲响应矩阵。对于单输，为系统脉冲响应矩阵。对于单输入入单输出系统，单输出系统，为脉冲响应函数。为脉冲响应函数。()()A tG tCeB()G t89 线性时不变系统的输入线性时不变系统的输入
7、输出关系，也可以用传递函数输出关系，也可以用传递函数（矩阵）描述。对于式（矩阵）描述。对于式（13-113-1）和式（）和式（13-213-2）描述的系统，其）描述的系统，其有理传递函数矩阵为有理传递函数矩阵为1()()G sC sIAB 用传递函数来研究用传递函数来研究BIBOBIBO稳定也是很有用的。对于一个由稳定也是很有用的。对于一个由 描述的线性时不变系统，其描述的线性时不变系统，其BIBOBIBO稳定的重要条件是稳定的重要条件是 的每的每一个元的所有极点具有负实部。如果是单输入一个元的所有极点具有负实部。如果是单输入单输出线性单输出线性时不变系统，其时不变系统，其BIBOBIBO稳定
8、的充要条件是传递函数的所以极点稳定的充要条件是传递函数的所以极点具有负实部。具有负实部。()()()y sG s u s()G s1011李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1.1.平衡状态的定义平衡状态的定义 设系统状态方程为：设系统状态方程为：若对所有若对所有t t，状态，状态x x满足满足 ，则称该状态，则称该状态x x为平衡为平衡状态，记为状态，记为x xe e。故有下式成立：。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。,(134)xf x t0 x,0(135)ef
9、x t 2.2.平衡状态的求法平衡状态的求法 由定义可见，平衡状态将包含在由定义可见，平衡状态将包含在 这这样一个代数方程组中。样一个代数方程组中。对于对于线性定常系统线性定常系统 ，其平衡状态为，其平衡状态为x xe e应满足代数方程应满足代数方程 。0,txfAxx 0Ax只有坐标原点处是系统的平衡状态点只有坐标原点处是系统的平衡状态点 对于非线性系统，方程对于非线性系统，方程 的解可能有多的解可能有多个，视系统方程而定。个，视系统方程而定。0,txf如：如：3221211xxxxxx0032211xxxx0)1(02221xxx0)1)(1(02221xxxx该系统存在三个平衡状态：该系
10、统存在三个平衡状态：10,10,00321eeexxx12范数的定义范数的定义 n n维状态空间中，向量维状态空间中，向量x x的长度称为向量的长度称为向量x x的范数，的范数，用用 表示，则：表示，则：x2122221xxxxxxTn向量的距离向量的距离 长度长度 称为向量称为向量x x与与x xe e的距离，写为的距离，写为：exx2211ennexxxxexx13 定义定义：对于系统对于系统 ，设系统初始状态位于以，设系统初始状态位于以平衡状态平衡状态x xe e为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域S()S()内，即内，即 若能使系统从任意初态若能使系统从任意初态x x0 0出发
11、的解出发的解 在在tttt0 0的过程中，都位于以的过程中，都位于以x xe e为球心、任意规定的半径为球心、任意规定的半径的闭的闭球域球域S()S()内，即：内，即：则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态x xe e在在李雅普诺夫意义下是李雅普诺夫意义下是稳定稳定的。的。txfx,00,ttxxe00,;txtx)(,;000ttxtxtex14几何意义几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出要不超出S(),S(),则认为是稳定的，这与经
12、典控制理论则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。中线性定常系统的稳定性定义有差异。15 etxtxt00,;limx 这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且当t时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性渐进稳定性对应。定义：定义：如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态x xe e不仅有李雅普诺夫意义下的不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量稳定性，且对于任意小量00，总有，总有则称平衡状态则称平衡状态x xe e是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。16几何意义：几何意义：17 定义：定义：当初
13、始状态扩展到整个状态空间，当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡且平衡状态状态x xe e均具有渐进稳定性均具有渐进稳定性，称这种平衡状态，称这种平衡状态x xe e是大范是大范围渐近稳定的。此时，围渐近稳定的。此时，S()S()。当。当tt时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于x xe e。对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的，对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐进稳定的。必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其
14、稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。18 几何意义：几何意义：渐近稳定性示意图李氏稳定性示意图19 定义定义：如果对于某个实数：如果对于某个实数00和任一实数和任一实数00，不管不管这个实数多么小，在这个实数多么小，在S()S()内总存在一个状态内总存在一个状态x x0 0，使得由这一状态出发的轨迹超出，使得由这一状态出发的轨迹超出S()S()，则称，则称平衡状态平衡状态x xe e是不稳定的。是不稳定的。几何意义：几何意义：20 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了对于不稳定平衡状态
15、的轨迹，虽然超出了S()S()，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于比喻不稳定，轨迹趋于S()S()以外的平衡点。以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。轨迹，理论上趋于无穷远。21图图13-1 13-1 稳定性的平面几何指标稳定性的平面几何指标22 从上述四种稳定性定义可见，球域从上述四种稳定性定义可见，球域S()S()限制着初限制着初始状态始状态x x0 0的取值，球域的取值，球域S()S()规定了系统自由运动响应规定了系统自由运动响
16、应 的边界。的边界。简单地说，简单地说，1.1.如果如果 有界，则称有界，则称x xe e稳定；稳定；2.2.如果如果 不仅有界，而且当不仅有界，而且当tt时收敛于时收敛于原点，则称原点，则称x xe e渐进稳定；渐进稳定；3.3.如果如果 无界，则称无界，则称x xe e不稳定；不稳定；00,;txtx00,;txtx00,;txtx00,;txtx2324一线性定常系统稳定性判定一线性定常系统稳定性判定基本思路：1.线性系统通过判断状态方程的解来判断稳定性；2.非线性和时变系统要通过平衡点附近的线性化 处理，再根据A阵判断系统的稳定性。xA xB uyC x25对于可以线性化的非线性系统，
17、可以在一定条件下用它的线对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用以下方法来研究。性化模型，用以下方法来研究。对于非线性系统对于非线性系统 ，设，设x xe e为其平衡点。为其平衡点。),(txfx exTexfAxxx,令：xAx 则系统线性化模型：矩阵雅可比（其中：)212221212111JacobiannnnnnnTxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf26李雅普诺夫给出以下结论：李雅普诺夫给出以下结论：（1 1）A A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是是渐渐进稳定进稳定的；的；（2 2）A A的特征值至少有一个为正实
18、部，则平衡状态的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是是不稳定不稳定的。的。（3 3）A A的特征值至少有一个实部为的特征值至少有一个实部为0 0，则不能根据，则不能根据A A来判来判平衡状态平衡状态xe的稳定性的稳定性,系统处于临界状态，需要由系统处于临界状态，需要由R(x)R(x)决决定。定。27 例例13-213-2 已知非线性系统的状态空间已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。P219 P219 21222111xxxxxxxx解：解：系统系统有有2 2个个平衡状态：平衡状态：和和111212xxxxxfT在在x xe1e1
19、=0,0=0,0处线性化，处线性化，10011TxfAA A1 1阵的特征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统在。故系统在x xe1e1处处是是不稳定的不稳定的。在在x xe2e2=1,1=1,1处线性化，处线性化，01102TxfAA A2 2阵的特征值为阵的特征值为+j+j，-j-j,其实部为其实部为0,0,不能根据不能根据A A来判断稳定性。来判断稳定性。10,0eTX20,0eTX28线性定常系统线性定常系统 （1 1）平衡状态）平衡状态xexe是是渐进稳定渐进稳定的充分必要条件的充分必要条件是矩阵是矩阵A A的所有特征值均具有负实部；的所有特征值均具有负实部；（2 2）平衡状态
20、）平衡状态xexe是是不稳定不稳定的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵A A的有些特征值具有正实部；的有些特征值具有正实部；（3 3）当系统用传递函数描述时，系统）当系统用传递函数描述时，系统BIBOBIBO稳稳定定的的充分必要条件充分必要条件为为G(sG(s）的极点具有负实部。）的极点具有负实部。29 例例13-413-4 设系统的设系统的状态空间表达式为：状态空间表达式为：xyuxx01111001 试分析系统平衡状态试分析系统平衡状态x xe e=0=0的稳定性与系统的的稳定性与系统的BIBOBIBO稳定性。稳定性。解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为011detssAsIA A
21、阵的特征值为阵的特征值为+1+1，-1-1。故系统。故系统平衡状态平衡状态xe是不稳定的是不稳定的。系统传递函数系统传递函数1s11)1)(s(s1sbA)c(sIG(s)1传递函数极点位于传递函数极点位于S S左半平面，故系统左半平面，故系统是是BIBOBIBO稳定的稳定的。30 结论：结论：1.1.线性定常系统是内部稳定的，则其必是线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBOBIBO稳稳定的；定的；2.2.线性定常系统是线性定常系统是BIBOBIBO稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的；一定是渐进稳定的；3.3.如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部如果线性定常系统
22、为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。稳定性与外部稳定性是等价。BIBO稳定渐近稳定313233 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函是通过构造李雅普诺夫函数数V(x)V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。际系统的能量函数表达式并非易事。李雅普诺夫第二法及其主要定理：李雅普诺夫第二法及其主要定理：（1 1）如果一个
23、系统被激励后，其储存的能量随）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，只到平衡状态时为最小，时间的推移逐渐衰减，只到平衡状态时为最小，则称这个平衡状态是渐进稳定的。则称这个平衡状态是渐进稳定的。（2 2）如果一个系统被激励后，其储存的能量随）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移越来越大，则称这个平衡状态是不时间的推移越来越大，则称这个平衡状态是不稳定的。稳定的。（3 3）如果一个系统被激励后，其储存的能量随）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移维持不变，则称这个平衡状态是临时间的推移维持不变，则称这个平衡状态是临界稳定的，在李雅普诺夫意义下也认为是稳定界稳定
24、的，在李雅普诺夫意义下也认为是稳定的。的。34李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与 及及t t有关，记为有关，记为V(x,t)V(x,t)或或V(x)V(x)。V(x)V(x)是是一标量函数，考虑到能量总大于一标量函数，考虑到能量总大于0 0，故为正定函数。，故为正定函数。能量衰减特性用能量衰减特性用 或或 表示。李雅普诺夫第表示。李雅普诺夫第二法利用二法利用V V和和 的符号特征，直接对平衡状态稳定的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直直接法接法。nxxx,21txV
25、,xVVV35 直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)V(x)的通用方的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统法。尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、包括时变、非线性非线性)稳定性的有力工具。稳定性的有力工具。对于线性系统，通常用二次型函数对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。作为李雅普诺夫函数。PxxxVT361 1二次型函数的定义及其表达式二次型函数的定义及其表达式 定义：
26、定义：设设 为为n n个变量，定义二次型标量个变量，定义二次型标量函数为：函数为：nxxx,21其中，其中，则称，则称P P为实对称阵。为实对称阵。1112112122221212(13 13)nnTnnnnnnpppxpppxV xx Pxxxxpppxjiijpp 37例如：例如：3213211121412110)(xxxxxxxv 显然，二次型显然，二次型v(x)v(x)完全由矩阵完全由矩阵P P确定。因此二次型确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。和它的矩阵是相互唯一决定的。2222211)(nnxaxaxaxV 二次型的标准型二次型的标准型 只含有平方项的二次型称为二次型的标准
27、型，只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：如：38 2.2.标量函数标量函数V(x)V(x)的符号和性质的符号和性质 设设:,:,且在且在x=0 x=0处，处，V(x)0V(x)0。对于。对于x0 x0的的任何向量。任何向量。V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为正定的正定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为负定的负定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为半正定的半正定的。例如：。例如：V(x)0V(x)0，称，称V(x)V(x)为为半负定的半负定的。例如：。例如：PxxxVT22212)(xxxV)2()(2221xx
28、xV221)()(xxxV221)()(xxxV3911121212221213 14nnijjinnnnppppppPppppp设实对称矩阵设实对称矩阵 P P阵的所有各阶主子行列式如下阵的所有各阶主子行列式如下:3.3.赛尔维斯特赛尔维斯特(Sylvester)准则准则(二次型标量函数定号性判别准则二次型标量函数定号性判别准则)1112112122221212(13 13)nnTnnnnnnpppxpppxV xx Pxxxxpppx,212222111211222112112111DDDnnnnnnnpppppppppppppp40矩阵矩阵P（或（或V(x)定号性的充要条件为：定号性的充
29、要条件为：（1）（2）（3）（4）0iPD 正定负定为奇数为偶数PiiiD00半正定PniniiD0110半负定为奇数为偶数PniiiiD00041 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理一的判别定理一 定理定理4.2 4.2 设系统状态方程为设系统状态方程为:,:,其状态平衡其状态平衡点点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏导数的标。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0),0(tf1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2.2.是负定的；是负定的；),(txV系统在原点处的平衡状态
30、是渐系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。进稳定的。),(.3txVx，有当1，2，3系统在原点处的平衡状态是大范系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。围渐进稳定的。4222212122221121)(xxxxxxxxxx 例例13-513-5 已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性试分析其平衡状态的稳定性.43解解：显然，坐标原点显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一的平衡状是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为态。选取正定标量函数为 则沿任意轨迹，则沿任意轨迹，V(x)V(x)对时间的导
31、数对时间的导数 是负定的。说明是负定的。说明V(x)V(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此沿任意轨迹是连续减小的，因此V(x)V(x)是一个李雅普诺夫函数。是一个李雅普诺夫函数。而且，而且，。所以系统在原点处。所以系统在原点处的平衡状态是的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的),(txVx，有2 22 22 21 1x xx xV V(x x)222212211222xxxxxxxV44 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理二的判别定理二 定理定理4.3 4.3 设系统状态方程为设系统状态方程为:,:,其状态其状态平衡点平衡点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏。如果存
32、在一个具有连续偏导数的标量函数导数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0),0(tf1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2.2.是是半负定半负定的；的；),(txV3.0(,),xV x txV x t 当，不恒等于零，则在系统原点处的平衡状态是渐进稳定的。如果还有则为大范围渐进稳定。45定理的运动分析定理的运动分析：以二维空间为例：以二维空间为例0)(xV46 例例13-613-6 已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。21221xxxxx47解解：显然，坐标原
33、点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。的平衡状态。02)(2.2.2.222212212211xxxxxxxxxxxV则：2221xxV(x)选取正定标量函数为 负半定时，时，),(0),(0,00),(0,02121txVtxVxxtxVxx当 进一步分析 的定号性：如果假设 ，必然要求 ，进一步要求 。但从状态方程 可知，必满足 表明 只可能在原点（x1=0,x2=0）处恒等于零。0222xxV02x02x 212xxx01xtxV,),(txV渐进稳定 而且，当而且，当 ，所以系统在，所以系统在原点处
34、的平衡状态是原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的),(txVx，有4721221xxxxx若在该例中2)(212221221xxxxV(x)选取正定标量函数为)()(2().3().2().3(22212121221221121xxxxxxxxxxxxxxxxV则：负定负定 而且，当而且，当 ，所以系统在，所以系统在原点处的平衡状态是原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的),(txVx，有 由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的V(x)V(x)，可能使问题，可能使问题分析采用不同的判别定理。分析采用不同的判别定理。49系统系统李氏稳定李氏稳定的判别定理的
35、判别定理 定理定理13-613-6设系统状态方程为设系统状态方程为:,:,其状态平其状态平衡点衡点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏导。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0),0(tf 则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。1.V(x,t)是正定的；2.是半负定的，且 。),(txV0),(0txVx时，50 例例13-813-8 已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。试
36、分析其平衡状态的稳定性。1221xxaxx5151解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一 的平衡状态。0aa2221xxV(x)选取正定标量函数为 0222221212211xaxxaxxaxxxxV则：由上式可见，由上式可见，则，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫李雅普诺夫意义下意义下稳定稳定的，但不是渐进稳定的。的，但不是渐进稳定的。0),(txV系统系统不稳定不稳定的判别定理的判别定理 定理定理13-7 13-7 设系统状态方程为设系统状态方程为:,:,其状态其状态平衡点平衡点x xe e=0,=0,满足满足 。如果存在一个具有连续偏。如果存在一个具有连续偏导数的
37、标量函数导数的标量函数V(x,t),V(x,t),且满足以下条件且满足以下条件),(tf xx 0),0(tf1.V(x,t)1.V(x,t)是正定的；是正定的；2.2.是正定的；是正定的；),(txV 则系统在原点处的则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。53 例例13-913-9 已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。21221xxxxx解解：显然，坐标原点：显然，坐标原点x xe e=0=0（即（即x x1 1=0,x=0,x2 2=0)=0)是系统惟一是系统惟一 的平衡状态。的平衡状态。2221xxV
38、(x)选取正定标量函数为选取正定标量函数为 002)(2.2.2.2222212212211xxxxxxxxxxxxV则：系统不稳定系统不稳定54四四不稳定不稳定55定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下几点：定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下几点：(1)(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏函数具有几个突出性质：函数具有几个突出性质：1)1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。2)2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。李雅普诺夫函数是一个正定函数
39、，至少在原点的邻域是如此。3)3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。(2)(2)如果在包含状态空间原点在内的邻域如果在包含状态空间原点在内的邻域内，可以找到一个李雅内，可以找到一个李雅普诺夫函数，就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而普诺夫函数，就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从这并不一定意味着，从邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为大，这是因为李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分充分条件条件。5657581
40、1 渐进稳定的判别方法渐进稳定的判别方法 定理定理13-813-8 设线性定常连续系统为：设线性定常连续系统为：，则平衡状态，则平衡状态x xe e=0=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个的充要条件是：对任意给定的一个正正定实对称矩阵定实对称矩阵Q Q，必存在一个必存在一个惟一惟一正定的实对称矩阵正定的实对称矩阵P P，且满足李雅普诺夫方程且满足李雅普诺夫方程(13 17)TA PPAQ 并且并且 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。()TV xx PxxQxxQxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxVTTTTTTTT)()()(Axx 定理说明
41、：定理说明：1.1.如果任取的一个正定实对称矩阵如果任取的一个正定实对称矩阵Q Q，则满足矩阵则满足矩阵的实对称矩阵的实对称矩阵P P是惟一的，若是惟一的，若P P正定，则系统在平衡正定，则系统在平衡状态状态x xe e=0=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。P P的正定性是一个的正定性是一个充分必要条件。充分必要条件。2.2.为计算简便，在选取正定实对称矩阵为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q Q时选单位时选单位阵阵I I，于是方程简化为：，于是方程简化为：(13 17)TA PPAQIPAPAT59 2.V(x)2.V(x)的求法的求法TA PPAI()TV xx x 例例 设线性定
42、常系统为设线性定常系统为:,:,试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性(其平衡状态为其平衡状态为x xe e=0)=0)。xx1110解：解：为了便于对比，先用李氏第一法判断。为了便于对比，先用李氏第一法判断。2721272121112jjAI系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的60设设李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：PxxxVT)(IPAPAT令：3221ppppPPT则有：则有：10011110111032213221pppppppp展开有展开有：122012323212pppppp1212123P正定正定系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的6162设系统状态方程为设系统状态方程为 ，原点是
43、平衡状态。取，原点是平衡状态。取正定二次型函数正定二次型函数(1)()x kx k ()()P()(13 19)TV x kxkx k()V x kD以以 代替代替 ，有，有 ()Vx()(1)()(1320)V x kV x kV x kD 考虑状态方程，有考虑状态方程，有令令 于是有于是有 给定任一正定实对称矩阵给定任一正定实对称矩阵Q Q（常取（常取Q=IQ=I），存在正定对称矩阵），存在正定对称矩阵P P，使，使 成立。成立。()()()TTV x kxkPP x kD(1322)TPPQ ()()()TV x kxk Qx kD TPPQ 63 定理定理13-913-9 设线性时变连
44、续系统状态方程为设线性时变连续系统状态方程为则系统在平衡状态则系统在平衡状态 是大范围渐近稳定的充分必要条件是大范围渐近稳定的充分必要条件为：对于任一给定的连续对称正定矩阵为：对于任一给定的连续对称正定矩阵 ，必存在一个连，必存在一个连续对称正定矩阵续对称正定矩阵 ，满足，满足而系统的李雅普诺夫函数为而系统的李雅普诺夫函数为()(1323)xA t x0ex()Q t()P t()()()()()()(1324)TP tAt P tP t A tQ t(,)()()()(1325)TV x txt P t x t64从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判从前面分析可知，线性系
45、统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。部性质。雅可比矩阵法，亦称克拉索夫斯基雅可比矩阵法，亦称克拉索夫斯基(KrasovskiKrasovski)法，法，二者表达形式略有不同，但基本思路是一致的。实际上，二者表达形式略有不同，但基本思路是一致的。实际上，它们都是寻找线性系统李雅普诺夫函数方法的一种推广。它们都是寻找线性系统李雅普诺夫函数方法的一种推广。设非线性系统的状态方程为：设非线性系统的状态方程为：式中，式中，为为 维状态矢量；为与维状态矢量；为与 同维的非线性矢量函
46、数。同维的非线性矢量函数。65 假设原点假设原点 是平衡状态，是平衡状态，对对 可可微，系统的雅可比矩阵为：微，系统的雅可比矩阵为：（13-2613-26）则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P P，使下列，使下列矩阵矩阵66（13-2713-27）为正定的。并且为正定的。并且（13-2813-28）是系统的一个李雅普诺大函数。是系统的一个李雅普诺大函数。67 变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个特定的变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个特定的李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数 ，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定
47、的，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么，这个李雅普诺夫函数那么，这个李雅普诺夫函数 的梯度：的梯度：必定存在且唯一。必定存在且唯一。（13-32）68或写成矩阵形式，得：或写成矩阵形式，得：（13-33）由此，舒茨由此，舒茨-基布逊提出，从假设一个旋度为零的梯度基布逊提出，从假设一个旋度为零的梯度V Vy y着手，着手，然后根据式然后根据式(13-33)的关系确定的关系确定 。如果这样确定的。如果这样确定的 和和 都满足判据条件，那么这个都满足判据条件，那么这个 就是所要构造的李雅普诺夫函数。就是所要构造的李雅普诺夫函数。于是于是 对时间的导数可表达为：对时间的导数可表达为：6970
