1、第第1111章章 线性控制系统的动态分析线性控制系统的动态分析 11.1 11.1 线性时变系统状态方程的解线性时变系统状态方程的解11.2 11.2 线性时不变系统自由运动的解线性时不变系统自由运动的解11.3 11.3 线性时不变系统一般运动的解线性时不变系统一般运动的解11.4 11.4 线性连续系统状态空间描述的离散化线性连续系统状态空间描述的离散化11.5 11.5 线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解11.1 11.1 线性时变系统状态方程的解线性时变系统状态方程的解（1 1）线性时变系统状态方程解的唯一性）线性时变系统状态方程解的唯一性 （2 2）线性时变系统的状态转
2、移矩阵）线性时变系统的状态转移矩阵 （3 3）状态转移矩阵的性质）状态转移矩阵的性质 （4 4）系统自由运动的解）系统自由运动的解 （4 4）系统一般运动的解）系统一般运动的解 （5 5）状态转移矩阵的计算）状态转移矩阵的计算 11.2 11.2 线性时不变系统自由运动的解线性时不变系统自由运动的解线性系统自由运动分析的数学实质线性系统自由运动分析的数学实质 系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。的一般运动的基础。指在输入向量指在输入向量
3、及初始状态及初始状态 的条件下的条件下系统的运动系统的运动 0)(tu0)(0tx1.1.齐次状态方程解的一般表达式齐次状态方程解的一般表达式2.2.状态转移矩阵状态转移矩阵)()(tAxtx求取齐次状态方程：)1.1.2(,)()()()(000ttt,tttxxxAx)2.1.2()(2210iittttbbbbx)3.1.2()(22210121iiiittttitbbbbAbbb)4.1.2(!11212101021201bAAbbbAAbbAbbiiiii0)0(bx令t=0)5.1.2()0(!1!21!1!21)(22020200 xAAAIbAbAAbbxiiiititttit
4、tt（一）齐次状态方程解的一般表达式（一）齐次状态方程解的一般表达式 因此因此,齐次状态方程的解为齐次状态方程的解为:022!1!21)(xtAitAAtItxii0221!1!211iiiiiattaitaitaate根据标量指数函数定义式根据标量指数函数定义式:定义矩阵向量定义矩阵向量e eAtAt为状态转移矩阵为状态转移矩阵)6.1.2(!1!21022iiiiiAtiAtAitAAtIe于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为:)7.1.2()0()(0 xxxAAtteet另用拉氏变换法求解齐次微分方程另用拉氏变换法求解齐次微分方程:)()(ttAxx)()0()(sAxxssx
5、)0()()(1xAsIsx拉氏反变换后得到齐次状态方程的解拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:)8.1.2()0()()(11xAsILtx)7.1.2()0()(0 xxxAAtteet对比对比)9.1.2()(11AsILeAt)(0tteAteA 将矩阵指数函数将矩阵指数函数 或或 称为系统的状态转称为系统的状态转移矩阵，记为移矩阵，记为 )(0tt )10.1.2()()(00ttettA)11.1.2(0)(0tettA)12.1.2()()()(00ttttxx)13.1.2()0()()(xxtt 状态转移矩阵状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信包含了系统自由运动的全部信息，
6、完全表征了系统的动态特性息，完全表征了系统的动态特性。)(t 包含了自由运动性质的全部信息，完全表征包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动态特性。了系统的动态特性。tAe 当且仅当当且仅当A的特征值均具有负实部，线性定常系统的特征值均具有负实部，线性定常系统为渐进稳定为渐进稳定。如果如果t为某给定常数为某给定常数T，那么零输入响应，那么零输入响应 就是状就是状态空间中由初始状态态空间中由初始状态 经线性变换常数阵经线性变换常数阵 所致。所致。0 x)(tx)(T几点解释：几点解释：)14.1.2(!1!21)(22iittittetAAAIA（二）状态转移矩阵（二）状态转移矩阵1.1
7、.状态转移矩阵的基本性质；状态转移矩阵的基本性质；2.2.状态转移矩阵的计算。状态转移矩阵的计算。a.a.直接求取；直接求取；b.b.拉普拉斯变换；拉普拉斯变换；c.c.化矩阵化矩阵A A为对角型或约当型；为对角型或约当型；d.d.化矩阵指数化矩阵指数 为为A A的有限项。的有限项。tAeI)0(证：证：IAAI0.!10.!210.)0(2iiA（1 1）线性系统状态转移矩阵的基本性质）线性系统状态转移矩阵的基本性质)14.1.2(!1!21)(22iittittetAAAIA由性质由性质推出：推出：A)0(AA)()()(ttt证：证：式式(2.1.14)(2.1.14)式逐项对式逐项对t
8、 t求导求导 AAAAAAAA)()()!1(1!21)!1(1!21)(11221232tttitAtIAtitttiiii 这个性质表明，状态转移矩阵这个性质表明，状态转移矩阵 与系统矩阵与系统矩阵A A满满足交换律。足交换律。)(t)14.1.2(!1!21)(22iittittetAAAIA )()()()()(122121tttttt证：证：根据矩阵指数函数的定义，有根据矩阵指数函数的定义，有 21)(321322122132221223322112212222212121211121!3!2)()!3!21!21!3()!2!2()(!21!21.).(ttettAttAttAIt
9、t ttttAtt tttttttteettttAAtAtAAIAAIAAI表明表明 具有分段组合的性质。具有分段组合的性质。)(t )()(1tt证：证：根据性质根据性质和及逆矩阵定义，有和及逆矩阵定义，有 Itttt)()(1tt 020112,tttttt证明：证明：)(),()(),(),()(),()(002001121122tXtttXtttttXtttX 可把一个转移分为若可把一个转移分为若干个小的转移来研究。干个小的转移来研究。)()()()()0(,)0()()(1txttxtxxttx 若若 为为 的状态转移矩阵，则的状态转移矩阵，则 引入非奇异变换引入非奇异变换 后的状态
10、转移矩阵为：后的状态转移矩阵为：)(t)()(ttAxxxPxPePtAt1)(证：证：xAPPxAx1)0()0(1xxxAAPtPtee式中：式中：PePPAkAAtIPPAPkPAPAPtPIPPtAPPktAPPAPtPIettkkkkAPtPA1211211112211)!1!21(!1!21)(!1)(!21)(111)()(PPePtPttA 1.直接求取法直接求取法iittittetAAAIA!1!21)(223210A 例例2.12.1 已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵 。)(t 解：解：根据定义有：根据定义有：3232323233222527
11、313732672313210!313210!2132101001)(ttttttttttttttettA 结论：结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。（2 2）状态转移矩阵的计算）状态转移矩阵的计算2.2.普拉斯变换法普拉斯变换法 )9.1.2()()(11AsILetAt结论：结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工
12、计算，在系统维数较大时，仍较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。要借助计算机来计算。例例2.22.2 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，试用拉普拉斯变换，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵法求系统状态转移矩阵 。3210A)(t 解解:321)(sssAI2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3)()()(1ssssssssssssssssssAsIAsIadjsAIttttttttteeeeeeeesLet2222112222)()(AIA 3.3.化矩阵化矩阵A A为对角规范型或约当规范型方法为对角规范型或约当规范型方法矩阵
13、矩阵A A的特征值互异的特征值互异 11PAPAAAPP1121121111nnnnnP1100100)(11PPPPPPAttttnneeeet1122122111222221100100!1!211!1!211.!1!21)(121211PPPPPPAttkknnnkkkkknttnnnneePtktttkttPPkttIPeet证明证明:例例2.32.3 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，试用化矩阵，试用化矩阵A A为为对角规范型方法求系统状态转移矩阵对角规范型方法求系统状态转移矩阵 。3210A)(t 0)2)(1(321AI解：解：矩阵矩阵A A的特征方程为的特征方程为2,1211112,
14、211111121PPtttttttttttteeeeeeeeeeeet2222121222200)(PPPPA 矩阵矩阵A A有重特征值有重特征值 设矩阵设矩阵A A为为“友友”矩阵，且矩阵，且有有m m1 1重特征值重特征值 ，m m2 2重特征值重特征值 ，互异特征值，互异特征值 12nmm,12111PJPAJAPP221122211101010101mmmm12222211211111nnPPnmmmmmmddddddddPPPPPPPP1122122211111112122111)(PPJAtteet 1)!22()!12()!21()!11(10000000000)(12122)
15、22(22)12(2211)21(11)11(111PPPPJPJPAttttmtttmtttttmtttmtttttnmmmmmmeeeeeeteeeeeeteeeeet 例例2.42.4 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，试用化矩阵，试用化矩阵A A为为约当规范型方法求系统状态转移矩阵约当规范型方法求系统状态转移矩阵 。452100010A)(t 解：解：矩阵矩阵A A的特征方程为：的特征方程为：0)2()1(45210012AI2,13214212111012110122121212111PddPPP1211321201P1200000)(PPAttttteeteeet ttttttttttt
16、ttttttttttttttteeteeeteeeteeeteeeteeteeeeteeeteete2222222224388344222453)(2232两种常见的状态转移矩阵形式两种常见的状态转移矩阵形式设设 nA21tttneeet000000)(21设设 11Atttttteteeetteet0002)(2 例例2.52.5 已知系统矩阵已知系统矩阵201212012A 试求状态转移矩阵试求状态转移矩阵)(tttttttttttAteteeetteeetetteeet2222222232222000002106121)(解解:矩阵矩阵A A有复数特征值有复数特征值，此时需要将此时需要将
17、A A化为模态标准型化为模态标准型APPA1模态标准形模态标准形其中：其中：j2,1 模态标准形矩阵模态标准形矩阵 的的状态转移矩阵可的的状态转移矩阵可由下式计算由下式计算(证明略证明略)A)15.1.2(cossinsincosteteteteetttttA 例例2.62.6已知系统的系数矩阵已知系统的系数矩阵41712A求系统状态转移矩阵求系统状态转移矩阵teA解：解：矩阵矩阵A A的特征值为的特征值为0256417122AI解得：解得：jj432,1teteteteteteteteettttttttt4cos4sin4sin4coscossinsincos3333A464100010A
18、例例2.72.7已知系统的系数矩阵已知系统的系数矩阵A,A,求系统状态转移矩阵求系统状态转移矩阵teA解解:在第在第1 1章章 例例1.6-51.6-5中已得到中已得到420211101P5.0115.0225.0101P200011011Mtttttttttttttttttttttttttttttteteteeteteeteeteeteteetteeteteeteteeteeteteteteee222222222212cossin4cos4sin24cos4cos2cos3sin2)sin(cos25.0cos5.0sin5.0cossin2sin25.0115.0225.010000cos
19、sin0sincos420211101PPMA结论：结论：化矩阵A A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，并建立起了矩阵A A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。4.4.化矩阵化矩阵A A为有限项法为有限项法(待定系数法待定系数法)这种方法是利用这种方法是利用凯莱凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理(Cayley-(Cayley-Hamilton),Hamilton),将将 的的无穷级数化为矩阵的的无穷级数化为矩阵A A的有限项的有限项之和进行计算。之和进行计算。Ate 凯莱凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵哈
20、密尔顿定理指出，矩阵A A满足满足自己的特征多项式。自己的特征多项式。0111nnnnaaaAI)15.1.2(0)(111IAAAAnnnnaaaf则则A A满足：满足：应用凯莱应用凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理)15.1.2(0)(111IAAAAnnnnaaaf)16.1.2(111IAAAnnnnaaaIAAAAAIAAAAAAIAAAAAAnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111122121121111211211111)()()()()17.1.2()(!1100niiiiiitttieAAAa.a.矩阵矩阵A A有有n n个个互异的特
21、征值互异的特征值)18.1.2()()()()()()()()()(111012121011111021nnnntnntnnttttetttettten)19.1.2(111)()()(211122111110tttnnnnnnneeettt1)()()(111110112211121ttteeennnnnntttn下面按下面按A A的特征值形态分两种情况讨论的特征值形态分两种情况讨论b.b.特征值有重根特征值有重根 例例2.62.6 重做重做 例例2.3 2.3 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，试用，试用凯莱凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵 。3210A
22、)(t 解：解：在在 例例2-32-3中已求出矩阵中已求出矩阵A A的特征值的特征值2,121 tttttttttteeeeeeeeeett2211211021112211111212121tttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeet22222212222232102002)(AI10【例例2.82.8】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。tttt2sin2cos02cos2sin0001解：解：利用性质利用性质I)0(Ittttt0101000010sincos0cossin0001所以该矩阵不是状态转移矩阵。例例2.92.9 根据已知状态转移矩
23、阵，求根据已知状态转移矩阵，求A A tttttttteeeeeeeet22222222解：根据状态转移矩阵性质解：根据状态转移矩阵性质2 2 0A tttttttteeeeeeeet2222442222 32100A(一一)线性系统的零状态强迫运动线性系统的零状态强迫运动 系统的运动由两部分组成系统的运动由两部分组成其中第其中第1 1项项 ,是初始状态的转移是初始状态的转移;0)(,0)(0txtu 第第2 2项是项是 ，为控制输入作用的受控项，为控制输入作用的受控项0)(,0)(0txtu 正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u u使使x(t
24、)x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。的运动轨迹满足期望的可能性。)()()()()(tttttuBxAx 线性系统的零状态响应就是在线性系统的零状态响应就是在 求取非齐次状态方程求取非齐次状态方程 的解的解。0)(,0)(0ttxu11.3 11.3 线性时不变系统一般运动的解线性时不变系统一般运动的解)1.2.2(0)()()(00tt,t,ttxBuAx(t)x)()(ttBuAx(t)x)()()(tettettBuAxxAA两边左乘 Ate)()()(tedtdttettxAxxAA而：)()(tetedtdttBuxAAdextett0)()0()(BuxAA)3.2.2()()(
25、)0()()(0dtxtttBux)2.2.2()()0()(0)(dexetttAtBuxA)4.2.2()()()(0tdttBux0)(0tx 线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累（二）（二）线性系统的一般运动线性系统的一般运动 设设线性系统的非线性系统的非齐次状态方程和输出方程为：齐次状态方程和输出方程为：)5.2.2()()()()()(tttttCxyBuAxx 初始状态为初始状态为 的解的解 0tx)8.2.2()()()()()(000adtttttttBuxx)7.2.2()()()0()()(0tdtttBuCxCy)6
26、.2.2()()()0()()(0tdtttBuxx)8.2.2()()()()()()(000adtttttttuBxx由拉氏变换的卷积积分定理由拉氏变换的卷积积分定理tttttffftfsFsFL00)()()()()()(2121211ttttdtdt00)()()()(BuBu)8.2.2()()()()()(000bdtttttttBuxx具体用哪个公式，视求解方便而定。例例2.102.10 已知系统矩阵已知系统矩阵3210A5.00)0(x，且10B，输入矩阵，输入矩阵 单输入单输入u(t)u(t)为单位阶跃函数，试求系统为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。的状态响应。解解：在：在
27、 例例2.22.2中已中已求得状态转移矩阵：求得状态转移矩阵：ttttttttteeeeeeeee22222222Atdttt0)()()0()()(Buxx1121121212)()(220220220tttttteeeeeeeedeeeedtButteetxtx212121)()(21ttttttteeeeeeeetxtx2222212121212121)()(11.4 11.4 线性连续系统状态空间描述的离散化线性连续系统状态空间描述的离散化 保持器保持器采样器采样器D/A数字计算机数字计算机A/D连续系统连续系统u(t)y(t)x(t)u(k)y(k)x(k)离散化模型离散化模型图图2
28、.3.1 计算机控制系统计算机控制系统)()()()()(tttttCxyBuAxx ttAAtdeet0)()0()(Buxx)1.3.2()0(0kTkTAAkTdBeekTuxx)2.3.2()0(1)1(0)1()1(TkTkATkAdBeeTkuxx离散化离散化式（式（2.3.2）减式（）减式（2.3.1）乘以）乘以 得：得：ATe TkkTTkAATdBuekTxeTkx)1()1()(1)3.3.2()(10TAtATdttBuekTxeTkxTkt)1(积分换限：采用零阶保持器，其数学模型为：)6.3.2()()()()()()()()()()1(kTTkTTkTkTTkTTT
29、kuDxCyuHxGxTkkTkTUU)1()()()4.3.2()()()(10kTuBdtekTxeTkxTAtAT令：)5.3.2()(0TAtATBdteTHeTG01032102121tuxxxx例例2.112.11给定线性连续定常系统：给定线性连续定常系统：)(0861.00045.0)()(7326.01722.00861.09909.0)1()1(2121kukxkxkxkx0861.00045.05.05.02)102222(22022022220TTTTTttttTttttttttTteeeedteeeedteeeeeeeeBdteAH解：解：在在 例例2.22.2中已求得
30、状态转移矩阵：中已求得状态转移矩阵：ttttttttteeeeeeeee22222222A7326.01722.00861.09909.022222222TTTTTTTTTeeeeeeeeeAG且采样周期且采样周期T T=0.1=0.1秒，试建立时间离散化模型秒，试建立时间离散化模型11.5 11.5 线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解)1.4.2()()()1(kkkHuGxx)2.4.2()1()1()()2()2()3()1()1()2()0()0()1(kkkxHuGxHuGxxHuGxxHuGxx 离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和离散时间系统状态方程有两种解法：
31、迭代法和Z变换法。变换法。1.1.迭代法：迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。设线性离散系统的状态方程为：设线性离散系统的状态方程为：当k=0，1，2，k-1时，得到：一般递推表达式：状态转移矩阵：初始时刻 k=h:)()0()(101jkkjjkkHuGxGxkkG)()()()(11jhkkhjjkhkHuGxGx离散时间系统状态转移矩阵的性质：)()1(kGkI)0()()()(11hhhkhk)()(1kk2.Z2.Z变换法：变换法：Z变换法仅适用于定常系统变换法仅适用于定常系统。)1.4.2()()()1(kkkHuGxx)()()0()(z
32、zzzzHuGxxx)()0()()(zzzzHuxxGI对式对式(2.4.1)(2.4.1)两边进行两边进行Z Z变换变换,可得可得:整理得整理得)()()0()()(11zzzzzHuGIxGIx两边进行两边进行Z Z反变换反变换,可得可得)3.4.2()()()0()()()()0()()(111111zzZkzzZzzZkHuGIxHuGIxGIx)4.4.2()()()0()()(1111zzZzzZkHuGIxGIx结论结论 解的形式与连续系统相似，解的形式与连续系统相似，x(k)x(k)也是由两部分构成，也是由两部分构成，第第1 1部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状部分
33、是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状态有关；第态有关；第2 2部分是系统的受控项，不仅与系统结构和部分是系统的受控项，不仅与系统结构和初始状态有关，还与初始状态有关，还与u u的大小有关；的大小有关；例例2.122.12给定离散系统状态方程为：给定离散系统状态方程为：)(11)()(116.010)1()1(2121kukxkxkxkx初始状态初始状态 ，控制，控制u(k)=1u(k)=1，求，求x(k)x(k)。11)0(x 解解:1.:1.迭代法迭代法84.101111116.010)0()0()1(HuGxx84.084.21184.10116.010)1()1()2(HuGxx38
34、6.116.01184.084.2116.010)2()2()3(HuGxx2.Z2.Z变换法变换法 先求系统的状态转移矩阵先求系统的状态转移矩阵)()(11zzkkGIZGzzzzzzGzI16.011)8.0)(2.0(1116.01118.0342.0318.01542.01548.0352.0358.0312.034zzzzzzzzkkkkkkkkzGzIZk)8.0(34)2.0(31)8.0(154)2.0(154)8.0(35)2.0(35)8.0(31)2.0(34)()(11)()()0()()(11zzZkkHuGIxxkkkkkxk)8.0(1516)2.0(151)8.
35、0(34)2.0(3111)()0()(自由运动的解自由运动的解:)()(1zzHuGI118.0342.0318.01542.01548.0352.0358.0312.034zzzzzzzzzzzz)1)(8.0(58)1)(2.0(53)1)(8.0(2)1)(2.0(3zzzzzzzzzzzz强迫运动的解强迫运动的解:)()(11zzZHuGI)()(11zzZHuGI11878.0982.021118258.09102.0251988.0981212.02119108.09101252.025zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz187)8.0(98)2.0(211825)8.0(910)2.0(25kkkk)()()0()()(11zzZkkHuGIxx187)8.0(4588)2.0(30171825)8.0(922)2.0(617kkkk 令令:k=1,2,3:k=1,2,3,可得到与迭代法相同的可得到与迭代法相同的x(1),x(2),x(3)x(1),x(2),x(3)。不同的是。不同的是Z Z变换法可以得到封变换法可以得到封闭的解析形式。闭的解析形式。一般运动的解一般运动的解:本章小结本章小结
