1、第4章 定积分及应用n元线性方程组与矩阵1定积分的概念与性质11牛顿莱布尼兹公式 2n元线性方程组与矩阵1广义积分4n元线性方程组与矩阵1定积分在经济中的应用5n元线性方程组与矩阵1定积分换元积分法与分部积分法3第4章 定积分及应用1学习目标1.理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质；2.会用牛顿莱布尼兹公式计算定积分及各种平面图形的面积；3.能用定积分解决简单的经济应用问题。若企业实行产品直销，则利润最大时的总销售量及最大利润是多少？第4章 定积分及应用【经济问题4-1】你知道企业为什么实行差别定价吗？企业产品的边际收益函数为 ,总成本函数为 ，QQR860)(22QC(1)在生产环节，若已
2、知产量与时间 的关系为 ,试求从时刻 到 企业的总收益。t221tQ 1t 3t 若直销市场只有A、B两个市场，企业在A、B市场实行差别价格，已知A、B市场边际收益函数分别为 和 ，并要求各完成企业原利润最大时的销售量的 和 ，求实行差别价格后企业所获利润。QRA1060QRB6513132 已知收益的变化率求总收益已知收益的变化率求总收益解【经济问题】(1)4.1定积分的概念与性质4.1.14.1.1引例引例我们知道：总收益=单位时间的收益时间由题知 ，得到221)(ttQttQ)(tttQQRdtdQdQdRtR)21860()()()(23460tt 故有 4.1定积分的概念与性质t t
3、R1231itit由于 随时间的变化而变化，不是常数，所以不能用公式：总收益=单位时间的收益时间计算1,3区间上的总收益。()R t4.1定积分的概念与性质 取n+1个等分点 （也可不等分），把区间1,3 分割成n个相等的小区间 ，（1）分割分割31110nnttttnininittii,2,121,)1(21,112iiitttn每个小区间的长度是4.1 定积分的概念与性质 取小区间的右端点 ，以常量 代替 ，则时间段 上总收益的增加值 。nii21)(iR)(tRiiitRR)(取近似值取近似值it 求n个时间段上总产量增加之和（积零为整）4.1 定积分的概念与性质 求和求和)121(16
4、)11)(12(16)11(961122nnnnn4)12(326)1()12(482)1(965622232nnnnnnnnnnnnnninininini)2()2(3231(4)21(6032iinintRRRRR)(121 收益的近似值过渡到精确值（收益精确化）4.1 定积分的概念与性质 取极限取极限160niiintRR1)(limnnnnnnn)121(16)11)(12(16)11(96112lim24.1 定积分的概念与性质 定义定义4.1设函数设函数 在区间在区间aa，bb上有定义，取上有定义，取分分点点 xf4.1.24.1.2定积分的概念定积分的概念1210nxxxxanx
5、b每个小区间长度记为：，且最大小区间长度记为将区间a，b分成个n小区间 ,1ixixni,2,11iiixxxinixx1maxi)(1iiixxiniixf)(1在每个小区间上任取一点,作和式 .4.1 定积分的概念与性质 badxxf badxxf niiixxf10lim即法及 的取法无关，则称函数 在a，b上可积可积，并称此极限值极限值为函数 在a，b上的定积分定积分，记为 niiixxfim10i xf xf若极限 存在，且此极限与a，b的分4.1 定积分的概念与性质说明说明（）定积分 的值只与被积函数 及积分区间a，b有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即 dxxfba)()(x
6、fdttfdxxfbaba)()(（）可以证明当函数 在区间a，b上连续或函数 在区间a，b有界，且只有有限个第一类间断点时，则函数 在a，b上可积无界函数不可积)(xf)(xf)(xf（）规定 ，特别地，当a=b时，有 dxxfdxxfabba)()(0)(dxxfaa4.1 定积分的概念与性质S badxxfS即 的值就是曲线 ，直线 ，及 轴所围成的曲边梯形的面积，0 xf badxxf xfy ax bx x 若在a，b上，连续函数 ，则定积分4.1.34.1.3定积分几何意义定积分几何意义4.1 定积分的概念与性质 若在a，b上，连续函数 ，则定积分 的值就是对应的曲边梯形的面积S
7、的相反数（见图），即 0 xf badxxf badxxfSS一般地，我们有：4.1 定积分的概念与性质 对a，b上的任意连续函数 ，则定积分 的值应是对应的各个曲边梯形的面积的代数和（见图），即 xf badxxf 123bcaaf x dxSSSf x dx dcdxxf bddxxfS2S1S34.1 定积分的概念与性质 所围成的曲边四 边形（见图）的面积S 为 一般地，由两条连续曲线 ,和直线 ,xfy xgy xgxfax bx ba bababadxxgxfdxxgdxxfS)()(?S4.1 定积分的概念与性质类似地，由连续曲线 ，和直线y=c，y=d(cd)所围成的曲边四边形（
8、见图）的面积S为yx)()()(yyyx badyyyS yx4.1 定积分的概念与性质例例1 1 由定积分的几何意义，确定定积分 的值101 dxx解解 作定积分 对应的曲边梯形（见图），101 dxx101 dxx23S=其面积 ，所以由定积分的几何意义，知23S由直边梯形的面积公式可得恰好是一个直边梯形，Sy=x+14.1 定积分的概念与性质性质性质dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(4.1.4 4.1.4 定积分的性质定积分的性质 1xf badxxfabdxba性质性质1 1 若 ，则=性质性质2 2 常数因子k可以提到积分号外面，即 badxxkf badxxf
9、k=4.1 定积分的概念与性质性质性质对任意的点 ，有 dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(c babadxxgdxxf xgxf性质性质5 5（定积分的比较性）若在a，b上，恒有，则4.1 定积分的概念与性质性质性质 （积分中值定理）（积分中值定理）如果函数 在a，b上连续，则至少存在一点 使得)(xf,ba)()(abfdxxfba性质性质设函数在区间上的最大值与最小值分别为 m与M，则)()()(abMdxxfabmba4.1 定积分的概念与性质积分中值定理的几何意义积分中值定理的几何意义 在区间a，b上至少存在一点 ,使得以 为高，a，b为底的矩形面积等于定积分 的值（如图
10、）)(fdxxfba)()(f)(xfy oyxba4.1 定积分的概念与性质解解（）因为在区间 上 ，得 0，xxsin2020sinxdxdxx解解（）因为在区间 上 ，得 1,02xx dxxxdx10210例例不计算定积分，比较下列定积分的大小（）与 ；（）与 dxx2020sinxdx10 xdxdxx1024.1 定积分的概念与性质例例估计定积分 的值dxxx1043)2(0)23(246)(232xxxxxf解解设 ，则432)(xxxf，10 x因此 在0,1上是单增函数，故 在0,1上的最大值为 ，最小值为，由定积分的性质得 )(xf)(xf1)1(fM0)0(fm1)2(0
11、1043dxxx4.2 牛顿-莱布尼兹公式4.2.14.2.1积分上限函数积分上限函数 设函数 在区间a，b上连续，称 为积分上限函数积分上限函数.)(xfdttfxxa)()(定理定理4.1 如果函数 在区间a，b上连续，则积分上限函数 在区间a，b上可导并且)(xfdttfxxa)()()()()(xfdttfxxa4.2 牛顿莱布尼兹公式xxxxxaaxxxaxadttfdttfdttfdttfdttfxxx)()()()()()()(证明证明 给定自变量的一个改变量 ,则x根据积分中值定理，存在介于 和 之间的 ，使得 ，所以当 时，由于 的连续性，上式的极限为xxxfdttfxxx)
12、()()(lim)()(lim00fxxxxxx)(xf0 xx)()(lim)(xffxxx4.2 牛顿莱布尼兹公式该定理表明如果 在区间a，b上连续，则积分上限函数 是 在区间a，b上的一个原函数也就是说，连续函数的原函数总是存在)(xfdttfxxa)()()(xf解解由定理得 xexx2)(例例设 ，求 dtetxxt02)()(x 4.2 牛顿莱布尼兹公式解解xxxuxdttxuxu2202sin1coscos11cos)11()(sin()(?例例设 ，求 dttxxsin0211)()(x4.2 牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式4.2.24.2.2牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式
13、 aFbFdxxfba xf xF xf在区间是的任意一个原函数，则a，b上连续，定理定理4.2（微积分基本定理）（微积分基本定理）若函数解例例3 3计算解例例4 4 计算4.2 牛顿莱布尼兹公式402tanxdx41)(tan)1(sectan40402402xxdxxxdx30tanxdx333000sin1tan(cos)coscosxxdxdxdxxx 30ln cos(ln cosln cos0)ln23x 例例6 6求由曲线 ，直线x=1，x=2和x轴所围成的曲边梯形的面积4.2 牛顿莱布尼兹公式解dxx2011)21()21()1()1(1212102211020 xxxxdxx
14、dxxdxx?3xy 41541214213xdxxS例例5 5计算解3xy 12Oxy解解 如图，抛物线和直线的交点为（-2，5），（1，2）例例7 7 求由抛物线 与直线+y=3所围的平面图形的面积。4.2 牛顿莱布尼兹公式12 xy92)31212()2()1(31232122122xxxdxxxdxxxS3 yx12 xy4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法 定理定理4.34.3 设函数 在区间a，b上连续，,且 ，如果)(xf)(tx)(a)(b（1）在区间 上连续；)(t,（2）当t从 变化到 时，从a单调地变化到b，则有 （）)(tdtttfdxx
15、fba)()()(4.3.1 4.3.1 换元积分法换元积分法4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法说明：说明：在运用换元积分法时，不换元不换限，换元必换限，此时，（原）上限对（新）上限，（原）下限对（新）下限。1)11ln()1ln()1ln()1(111111111?eeeededxeexxxxx111dxeexx例例1 1 求 解解4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法202202sinsincossinxxdxdxx313sin3120 x202cossinxdxx例例2 2 求解解4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分
16、的换元积分法和分部积分法dxx4011例例3 3 计算.所以dxx4011)3ln2(2)1ln(2)111(2211202020ttdtttdtt，则，tx 2tx tdtdx2解解令.当时，当时，0 x0t4x2t.4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法0 x0t2lnx1t当时，当时，.则2ln01 dxexdttdttt)111(212102102222arctan221010tt=2ln01 dxex例例4 4 计算.tex1)1ln(2txdtttdx212解解令，则，.4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法例例5 5计算
17、 dxxx2121解令 ，则 ，且x=1，t=0；x=2，所以txsectdttdxtansec3tdtttdttttdxxx30302212)1(sectansecsectan133)(tan30tt4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法证明 由定积分的可加性得 aaaadxxfdxxfdxxf00在中令，即得 0adxxfux aaadxufdxufdxxf000例例6 6 设函数在-a，a上连续，证明：为奇函数时，当为偶函数时，xf xf 0aadxxf xf aaadxxfdxxf02 当4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法
18、 xf xfxf aaaaaadxxfduufdxxfdxxfdxxf0000 00000aaaadxxfdxxfdxxfduuf 若为奇函数时，则=xf xfxf aaadxxfdxxf02 若为偶函数时，同理可得4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法4.3.2 分部积分法分部积分法)(xu和在上有连续导数，则)(xu)(xv,ba)(xvbababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(定理定理4.4设函数23ln31)ln(ln313131?dxxxxxxdx例例7 7 计算 dxx31ln解解 设 ，则xulndxdv 4.3 定积分的换元积
19、分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法例例8 8 计算 20sinxdxx解解 设 ，,则 xu)cos(xddv1sincos)cos(sin20202020 xxdxxxxdxx4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法例例9 9 计算 10arctanxdxx解解 设 ，则xuarctan)21(2xddv xdxxxxdxxarctan21)arctan21(arctan21010210dxxdxxx1021022)111(2181218214)arctan(21810 xx解解令 ，则 ，且x=0，t=0；x=1，t=-1所以xt2tx tdtdx2
20、4.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法例例1010计算 dxex10dtetedetdttedxettttx10101010102222?eeet42221014.4 广义积分广义积分4.4.14.4.1无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分这时也称广义积分收敛收敛；若极限 不存在，则称广义积分 发散发散dxxfbab)(limdxxfa)(定义定义4.3 设函数 在区间 上连续，若极限 存在，则称此极限为函数 在区间 上的广义积分广义积分，记为 ，即dxxfdxxfbaba)(lim)()(xf),adxxfbab)(lim)(xf),adxxfa)(4.4
21、广义积分广义积分dxxfdxxfdxxfaa)()()(其中a是任意常数，当上式右端的两个广义积分均收敛时，称广义积分 是收敛的；否则，称广义积分 是发散的dxxf)(dxxf)(类似地，可定义函数 在区间 上的广义积分 在区间 上的广义积分定义为)(xf,(bdxxfdxxfbaab)(lim)()(xf),(4.4 广义积分广义积分例例计算广义积分 dxex1解解 说明：说明：该类广义积分的实质就是先求定积分再取极限，因此这类广义积分还可按以下方法计算eeeedxedxebbbxbbxbx1)(lim)(limlim1111?eeeedxexxxx1)(lim)(1114.4 广义积分广义
22、积分例例讨论广义积分 的敛散性dxx11解解因为 所以该广义积分发散1lnlnlimln111xxdxxx?解解因为 ，而 ，所以该广义积分收敛同理 ，所以该广义积分也收敛因此广义积分 收敛且 dxxdxxdxx020221111112arctanlimarctan11002xxdxxx21102dxxdxx211dxx211dxx211例例讨论广义积分 的敛散性4.4 广义积分广义积分4.4 广义积分广义积分4.4.24.4.2无界函数的广义积分无界函数的广义积分 定义定义4.4 设函数 在（a，b上连续，且 ，如果极限 存在，则称该极限为函数 在（a，b上的广义积分，记为 即这时也称广义积
23、分 收敛，点a称为瑕点否则称广义积分 发散dxxfba)(dxxfba)()(xf)(limxfaxdxxfba)(lim)(xfdxxfba)(dxxfdxxfbaba)(lim)(4.4 广义积分广义积分例例4 4计算广义积分 dxx101解解因为 ，所以被积函数无界，由定义得xx1lim0?xxdxxdxxlnlimlnlim1lim10101010例例5 5 讨论广义积分 的敛散性dxx1121解解因为 ，所以被积函数无界，由于且因此广义积分 发散，所以广义积分 发散201limxdxxdxxdxx102012112111)11(lim)1(lim1lim1010120102xdxxd
24、xxdxx1021dxx11214.4 广义积分广义积分4.5 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用 当已知变化率或边际函数 ，要求这个经济函数 时，一般地就有 xf xF xdttfFxF00 xf xF xF badxxfaFbF 当已知变化率或边际函数 ，要求这个经济函数 在某区间a，b内的总量（即经济函数 从a变化到b时的改变量）时，则有 由定积分的概念和牛顿莱布尼茨公式知：4.5 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用100505)505(10023023QQQQQQQdQQQdQQCCQCQQ020)50103(100)()0()(?)0()()()(00CQCQCdQQCQ
25、Q解:由于总成本函数的导数就是边际成本函数，则有2()31050C QMCQQ，固定成本为100，求总成本例例1 1已知某产品的边际成本函数为函数2021140)140()(QQdQQQRQ收益函数2061208)3120(8)(QQdQQQCQ 解（）成本函数1()203CQMCQ()140R QMRQ利润函数；（）产量为多少时利润最大？例例2 2已知某产品的边际成本（万元/吨），固定成本为8万元，边际收益函数（万元/吨），求（）4.5 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用832120)()()(2QQQCQRQL利润函数（）当边际收益边际成本时，利润最大，即)()(QRQC 所以 Q=
26、90（吨）QQ1403120 于是有4.5 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用4.5 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用 求产量由2百件增加到4百件时，总成本增加了多少？求总成本函数。在利润最大时产量的基础上，再生产2百件，利润变化了多少？xxC313 xxR7例例3 3 已知生产某种产品x单位（百件）的固定成本为1万元，边际成本和边际收入分别为（万元/百件）（万元/百件）.2006131)313(1)()0()(xxdttdttCCxCxx 解解 产量由2百件增加到4百件时，总成本的增加量为 8313244242dxxdxxCCC（万元）因为固定成本为1万元，即C(0)=1，26
27、131xxxC即总成本函数为4.5 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用)()(QRQC1733xx xL 设利润函数为当边际收益边际成本时，利润最大，即于是有当x=3（百件）时，利润最大。38344355353dxxdxxLLL在利润最大时产量的基础上，再生产2百件，这时利润的改变量为（万元）此结果表明，产量由3百件增加到5百件时，利润将减少8/3万元。4.5 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用知识应用链接知识应用链接 消费者剩余消费者剩余是指消费者对某种商品所愿意支付的最高价格与他实际支付的价格的差额。例如：某人已知商品A每件在市场均价为25元，国庆期间他到商品A的产出地旅游，他
28、本打算若价格23元就购买一件，最终在集贸市场上以20元成交，则消费者剩余为多少？消费者剩余与生产者剩余消费者剩余与生产者剩余解:消费者剩余=消费者愿意支付的最高价格实际支付价格为2320=3（元）知识应用链接知识应用链接E0Qo10P QPD QPS 生产者剩余生产者剩余是指生产者生产某种产品的成本和得到的价格的差额。如：石油生产成本为每桶25美元，但在交易市场的价格为每桶51美元，则生产者剩余为51-25=26美元如图所示曲线PD(Q)表示需求函数，曲线PS(Q)表示供给函数，E为均衡点，均衡价格为P0，均衡产量为Q0.消费者剩余0011)1()(0PQdQQPSQD生产者剩余dQQPPQSQS01002)()1(
