1、绪论及数学准备绪论及数学准备第零章第零章第一节第零章第一节矢量代数与张量初步AAAAAAAA,zyzAA iA jA k31iiiAA e31222221231()iiAAAAAA31cosiiiA BABAB 123123123sinneeeA BABeAAABBB)()()(bacacbcbadAdAdAAAdtdtdt()d A BdBdAABdtdtdt()d ABdBdAABdtdtdtcbabcacba)()()(注意顺序注意顺序不能颠倒不能颠倒l AB ABBA（一般一般）ijee 为单位并矢，张量的基（为单位并矢，张量的基（9 9个分量）个分量）123,iiAAAeAAA123
2、(,)AA A AiiiBABABABABBBAAABA31332211321321),(jjiiijjijijieeTeeBABAT31,31,31ijie e 100010001,()iijijji jTVTV e e AB CA B CA C BAC BC B AC BAB C AB CA l BAT333231232221131211TTTTTTTTTTC ABC A BB C AB A CBA C AB CA B CCABCA B并矢并矢ABCDA B C DA B C ADCD AB:AB CDB CA DCCC ABABAB:ABA B()aab()aba()jik()kij（0
3、，1，1 ）2()a ba a b()()()()()()ab c dac b dad b c()()()0abcbcacab ABAB2 BA计算计算与矢量与矢量 垂直垂直,即即Mb a ca b c CM C证明证明计算下列各式计算下列各式证明下列各式证明下列各式 第零章第二节第零章第二节矢量场论复习矢量场论复习一、一、(,)(,)(,)(,)x y z tx tA x y z tA x t标量场矢量场描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就
4、说在这空间中确定了该物理的场。量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。场用一个空间和时间场用一个空间和时间 坐标的函数来描述坐标的函数来描述：稳稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关恒场（稳定场、静场）：场与时间无关 变变化场（时变场）：场函数与时间有关化场（时变场）：场函数与时间有关 已已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋度）。化关系（梯、散、旋度）。已已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，这是电动力学求解电
5、磁场的主要方法。这是电动力学求解电磁场的主要方法。ddxdydzxyzxyzddxedyedzexyzdeeeddxyz 在空间任意靠近两点函数在空间任意靠近两点函数 的全微分的全微分lded cos 在空间某点的任意在空间某点的任意方向上，导数有无方向上，导数有无穷多个，其中有一穷多个，其中有一个值最大，这个方个值最大，这个方向导数的最大值定向导数的最大值定义为梯度：义为梯度：grad 梯度的意义：梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率空间某点标量场函数的最大变化率 ，刻画了标量场的空间分布特征，刻画了标量场的空间分布特征 等值面等值面：常数的曲面称为等值面。常数的曲面称为等值面。()x
6、梯度与等值面的关系：梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。梯度与等值面垂直。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。xyzeeexyz xyzeeexyz它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。yxzxyzxxyyzzAAAAeeeeAe AeAxyzxyz yyxxzzxyzAAAAAAA eeeyzzxxy xyzxyzeeexyzAAA1 12()2rxxxxxrr,ryyrzzyrzrxyzxxyyzzrreeerrrr 12222rrxxyyzzr=？rrr()xxx()yyy()zzz()xyzxyzeeeee
7、exyzxyz ()=？()矢矢量族量族 在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。穷多条这样的曲线构成一个矢量族。矢矢量场的通量量场的通量 面元面元 的通量：的通量：dsdA ds 有限面积有限面积 的通量的通量 SSA ds 意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具 有局域性质，不能反映空间一点的情况。有
8、局域性质，不能反映空间一点的情况。000有源 无源 负源 闭合曲面的通量闭合曲面的通量 sSdA 高高斯公式 yxzSVVAAAA dsAdVdxdydzxyz 矢矢量场的散度 缩小到一点缩小到一点 若空间各点处处若空间各点处处 0A则称则称 为无源场。为无源场。A000AAA该点有源 该点无源 该点为负源 VSdAASV0limVASdAS)(3xrxxyzrx x ey y ez z e r3rr12222(0)rx xy yz zr3333rxxyyzzrxryrzr3443330 xxyyxxyyrrrrrAAA xyzAAAAxyzyxzxyzAAAAAAxyzxyzAA l 矢量场
9、的环量（环流）表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 0 0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合 斯斯托克斯公式（定理）SdAldASL)(L矢量矢量 沿任一闭合曲线沿任一闭合曲线 的积分称为环量的积分称为环量 ALldA定义定义 为矢量场的旋度，它在为矢量场的旋度，它在 法线方向上法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点空间某点上的环流特征。若空间各点 ，则称则称 为无旋场。为无旋场。AS0AAl 矢量场的旋度 当L无限小：SASAAldnL)
10、()(SAldALSn0lim)(nAAn l 33zzyyyrzr33531yyzzzzzzyry rr 33531yyzzyyyyzrz rr 30 xrr330yzrrrr 3rrl AAA zyxAAAyzyzzyAAAAyyzzzyxAAAyzxxAA xyzxxAA eA eA eAe AA 关关于散度旋度的两个定理 正定理：标量场的梯度必为无旋场，正定理：标量场的梯度必为无旋场，即即 逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。即若即若 ，则，则 ，称为无旋场称为无旋场 的标量的标量 势函数。势函数。=00A AA2.正定理正定理:矢量
11、场的旋度必为无散场，即矢量场的旋度必为无散场，即 逆定理逆定理:无源场必可表示为某个矢量场的旋度。无源场必可表示为某个矢量场的旋度。即若即若 ，则，则 ，称为无源场称为无源场 的矢量势函数。的矢量势函数。0A 0BBA ABl 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 任意矢量场任意矢量场 均可分均可分 解为无旋场解为无旋场 和无源场和无源场 之和。之和。0,0FF 1F2FF12FFF120,0FF1FA2FFF1F 2FA Fl 定理定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及 矢量场在区域边界上的法线分量，矢量场在区域边界上的法线分量，()()()n SAxAxAf
12、 SS 在V内在 面上则该矢量场在区域内是唯一确定的。则该矢量场在区域内是唯一确定的。V 1795179917951799年在哥廷根大学学习，年在哥廷根大学学习，17991799年获博士学位。年获博士学位。18701870年任哥廷根大学数学年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。18551855年年2 2月月2323日在哥廷根逝世。他一生中日在哥廷根逝世。他一生中共发表共发表323323篇（种）著作，提出篇（种）著作，提出404404项科学项科学创见（发表创见（发表178178项），在各领域的主要成项），在各领域的主要成就有：就有：（1 1）关
13、于）关于静电学温差电和摩擦电静电学温差电和摩擦电的研究的研究、利用绝对单位（长度质量和时间）利用绝对单位（长度质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究；（究；（2 2）利用几何学知识研究）利用几何学知识研究光学系统光学系统近轴光线行为和成像近轴光线行为和成像，建立高斯定理光学；建立高斯定理光学；（3 3）天文学和大地测量学中，如小行星）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等；（等；（4 4）结合试验数据的测算，）结合试验数据的测算，发展了发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二概率
14、统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯定理误差曲线乘法，引入高斯定理误差曲线。此外，在此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。干基本定理作出严格证明。德国数学家和德国数学家和物理学家。物理学家。17771777年年4 4月月3030日生于德国日生于德国布伦瑞克，幼时家布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进受一贵族资助才进学校受教育。学校受教育。第零章第三节第零章第三节xyzeeexyz rzeeerz 11sinreeerrr dffuudu dAA uudu dAA uudu 高斯公式高斯公
15、式 斯托克斯公式斯托克斯公式()SVVA dSA dVdVA()()LSSA dlA dSdSA 利用混合利用混合积公式积公式格林公式格林公式 第一公式第一公式 第二公式第二公式 2()VSdVdS 22()()VSdVdS VSdVdS SLdSdl VSdVdSVSdVAdS A VSdVTdS TSLdSdl()SLdSAdlA ()SLdSTdl T l 证：证：任取常矢量任取常矢量 点乘上式两端点乘上式两端 CVVdV CAdVA C 左左VSdVAdSA1。SSdSACCdSA=SLdSAdlA 2。证：证：任取常矢量点乘上式两端任取常矢量点乘上式两端 SSCdSAdSA C 左左
16、 LLACdlCdlA()A C 1。AAA 3。ABABBA 4。ABABAB 5。ABB ABAA BAB 6。A BABABBABA 7。212AAAAA 8。2AAA 9。0,0A 10。2。()AAA 01aaxaxaxaxa dxxa dx 0000000000211sinx xx xyyz zr rz zrr rr 一维三维01Vxx dV 23111,44rrxxrxxrxxrr电动力学中一个重要的函数形式电动力学中一个重要的函数形式 0r 1r 证：证：231rrr=031,0rrrr 0r/00Vx x dV Q xV 00 xxQxx0000)(0)(xxxxxxxx333111cos114444vsssrrrdsdvdsdrrr
