1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (五十 ) 椭圆 (二 ) 基础巩固 一、选择题 1 (2017 辽宁师大附中期中 )过点 M( 2,0)的直线 m 与椭圆 x22 y2 1 交于 P1， P2两点，线段 P1P2的中点为 P，设直线 m的斜率为 k1(k10) ，直线 OP的斜率为 k2，则 k1k2的值为 ( ) A 2 B 2 C.12 D 12 解析 由过点 M( 2,0)的直线 m 的方程为 y 0 k1(x 2)，代入椭圆的方程，化简得 (2k21 1)x2 8k21x 8k21 2 0，设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， x1 x2 8k212k2
2、1 1， P 的横坐标为 4k212k21 1， P 的纵坐标为 k1? 4k212k21 1 2 2k12k21 1，即点 P? 4k212k21 1，2k12k21 1 ， 直线 OP 的斜率 k2 12k1， k1k2 12.故选 D. 答案 D 2如图， F(c,0)为椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点， A， B 为椭圆的上、下顶点， P 为直线 AF 与椭圆的交点，则直线 PB 的斜率 kPB ( ) A.ca2 B.ba2 C.b ca2 D.bca2 解析 直线 AF 的方程为 xc yb 1，把 y bcx b 代入 x2a2y2b2 1，得a2 c2a2c2 x2
3、 2cx 0， xP 2a2ca2 c2， yPc2b a2ba2 c2 ， kPBc2b a2ba2 c2 b2a2ca2 c2 bca2. 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2017 河北唐山统考 )平行四边形 ABCD 内接于椭圆 x24y22 1，直线 AB 的斜率 k1 1，则直线 AD 的斜率 k2 ( ) A.12 B 12 C 14 D 2 解析 解法一：设 AB 的中点为 G，由椭圆与平行四边形的对称性知 O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则 GO AD.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有? x214 y212 1，x224y222 1
4、，两式相减是 x1 x2 x1 x24 y1 y2 y1 y22 ，整理得 x1 x2y1 y2 y1 y2x1 x2 k1 1，即 y1 y2x1 x2 12. 又 G? ?x1 x22 ， y1 y22 ，所以 kOGy1 y22 0x1 x22 0 12， 即 k2 12，故选 B. 解法二：设直线 AB 的方程为 y x t， A(x1， y1)， B(x2， y2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得 D( x2， y2)则直线 AD 的斜率 k2 y1 y2x1 x2 x1 x2 2tx1 x2 1 2tx1 x2.联立? y x t，x2 2y2 4 0， 消去 y 得 3x2 4
5、tx 2t2 4 0，则 x1 x24t3 ， k2 1 2t 43t 12.故选 B. 答案 B 二、解答题 4 (2017 河北涞水波峰中学、高碑店三中联考 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为 12，且椭圆 C 与圆 M： x2 (y 3)2 4 的公共弦长为 4. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知 O 为坐标原点，过椭圆 C 的右顶点 A 作直线 l 与圆 x2 y2 85相切并交椭圆 C 于=【 ;精品教育资源文库 】 = 另一点 B，求 OA OB的值 解 (1) 椭圆 C 与圆 M 的公共弦长为 4， 椭圆 C 经过点 (2,3) ， 4a2 9b2
6、1，又ca12， a2 b2 c2，解得 a2 16， b2 12， 椭圆 C 的方程为 x216y212 1. (2)已知右顶点 A(4,0)， 直线 l 与圆 x2 y2 85相切，设直线 l 的方程为 y k(x 4)， |4k|1 k2 85， 9k2 1， k 13.联立 y 13(x 4)与 x216y212 1，消去 y，得 31x2 32x 368 0.设 B(x0， y0)，则由根与系数的关系得 4x0 36831 ， OA OB 4x0 36831. 5 (2017 吉林长春外国语学校期中 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，
7、P 是椭圆上任意一点，且 |PF1| |PF2| 2 2，它的焦距为 2. (1)求椭圆 C 的方程 (2)是否存在正实数 t，使直线 x y t 0 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB的中点在圆 x2 y2 56上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 解 (1) F1， F2为椭圆的左、右焦点， P 是椭圆上任意一点，且 |PF1| |PF2| 2 2， a 2. 2c 2， c 1， b a2 c2 1， 椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立? x y t 0，x22 y2 1， 化简得 3x2 4tx
8、2t2 2 0. 由 知 x1 x2 4t3 ， y1 y2 x1 x2 2t 2t3. 线段 AB 的中点在圆 x2 y2 56上， ? ? 2t3 2 ? ?t3 2 56，解得 t 62 (负值舍去 )， 故存在 t 62 满足题意 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 12. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 经过点 M(0,1)，且与椭圆 C 交于 A， B 两点，若 AM 2MB，求直线 l 的方程 解 (1)设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)，因为 c 1，ca12，所以 a 2， b
9、3， 所以椭圆 C 的方程为 x24y23 1. (2)由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 1， 则由? y kx 1，x24y23 1得 (3 4k2)x2 8kx 8 0，且 192k2 960. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由 AM 2MB得 x1 2x2. 又? x1 x2 8k3 4k2，x1 x2 83 4k2，所以? x2 8k3 4k2， 2x22 83 4k2，消去 x2，得 ? ?8k3 4k2 2 43 4k2，解得 k2 14， k 12. 所以直线 l 的方程为 y 12x 1，即 x 2y 2 0 或 x 2y 2 0
10、. 能力提升 7 (2017 河南考前预测 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的焦点是 F1， F2，且 |F1F2| 2，离心率为 12. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过椭圆右焦 点 F2的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，求 |AF2| F2B|的取值范围 解 (1)因为椭圆的标准方程为 x2a2y2b2 1(ab0)， 由题意知? a2 b2 c2，ca12，2c 2，解得 a 2， b 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以椭圆 C 的标准方程为 x24y23 1. (2)因为 F2(1,0)，所以 当直线 l 的斜率不存在时， A? ?1， 32 ， B? ?
11、1， 32 ，则 |AF2| F2B| 94. 当直线 l 的斜率存在时，直线 l 的方程可设为 y k(x 1) 由? y k x ，x24y23 1消去 y，得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0.(*) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1， x2是方程 (*)的两个根，所以 x1 x2 8k23 4k2， x1x24k2 123 4k2 . 所以 |AF2| x1 2 y21 1 k2| x1 1|， |F2B| x2 2 y22 1 k2| x2 1|， 所以 |AF2| F2B| (1 k2)| x1x2 (x1 x2) 1| (1 k2) ? ?4k
12、2 123 4k2 8k23 4k2 1 (1 k2) ? ? 93 4k2 (1 k2) 93 4k2 94? ?1 13 4k2 . 当 k2 0 时， |AF2| F2B|取最大值 3， 所以 |AF2| F2B|的取值范围为 ? ?94， 3 . 由 知 |AF2| F2B|的取值范围为 ? ?94， 3 . 8 (2018 河北百校联盟期中 )平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： x2a2y2b2 1(ab0)右焦点的直线 x y 3 0 交 M 于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 12. (1)求 M 的方程； (2)C， D 为 M 上两点，若四边
13、形 ACBD 的对 角线 CD AB，求四边形 ACBD 面积的最大值 解 (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x0， y0)，则 x21a2y21b2 1，x22a2y22b2 1，y2 y1x2 x1 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由此可得 b2 x2 x1a2 y2 y1 y2 y1x2 x1 1. 因为 x1 x2 2x0， y1 y2 2y0， y0x0 12，所以 a2 2b2. 又由题意知， M 的右焦点为 ( 3， 0)，故 a2 b2 3. 因此 a2 6， b2 3. 所以 M 的方程为 x26y23 1. (2)由? x y 3 0，x26
14、y23 1解得? x 4 33 ，y 33或 ? x 0，y 3. 因此 |AB| 4 63 . 由题意可设直线 CD 的方程为 y x n? ? 5 33 0)，其离心率为22 . (1)求椭圆 M 的方程； (2)若直线 l 过点 P(0,4)，则直线 l 何时与椭圆 M 相交？ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)因为椭圆 M 的离心率为 22 ， 所以 4 b24 ?222，得 b2 2. 所以椭圆 M 的方程为 x24y22 1. (2) 过点 P(0,4)的直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 与椭圆 M 相交 过点 P(0,4)的直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线 l
15、 的方程为 y kx 4. 由? y kx 4，x24y22 1，消去 y，得 (1 2k2)x2 16kx 28 0. 因为直线 l 与椭圆 M 相交， 所以 (16k)2 4(1 2k2)28 16(2k2 7)0， 解得 k 142 . 综上，当直线 l垂直于 x轴或直线 l的斜率的取值范围为 ? ? ， 142 ? ?142 ， 时，直线 l 与椭圆 M 相交 10 (2017 广东惠州调研 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为63 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形 的面积为 5 23 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知动直线 y k(x 1)与椭圆 C 相交于 A， B 两点 若线段 AB 中点的横坐标为 12，求斜率 k 的值； 已知点 M? ? 73， 0 ，求证： MA MB为定值 解 (1)x2a2y2b2 1(ab0)满足 a2 b2 c2，又 ca63 ，12 b2 c5 23 ，解得 a2 5，b2 53， 则椭圆方程为 x253y25 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 将 y k(x 1)代入 x253y25 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 (1 3k2)x2 6k2x 3k2 5 0， 48k2 200， x1
