1、第一部分第一部分 信号处理与分析信号处理与分析第五章离散时间傅里叶变换第五章离散时间傅里叶变换 2022-7-242第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换主要思想：主要思想：1 1）离散时间傅里叶变换的生成与连续时间傅里叶变换）离散时间傅里叶变换的生成与连续时间傅里叶变换的生成类似，即将非周期信号看成是具有无限长周的生成类似，即将非周期信号看成是具有无限长周期的周期信号，然后利用周期信号的傅里叶级数得期的周期信号，然后利用周期信号的傅里叶级数得到傅里叶变换；到傅里叶变换；2 2）离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶变换的不同，）离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶变换的不同，根本原因在
2、于成谐波关系的一组复指数周期信号之根本原因在于成谐波关系的一组复指数周期信号之间的不同：间的不同：连续时间：连续时间：离散时间：离散时间：,2,1,0,)/2(kennNjkk,2,1,0,)()/2(kettTjkknnkNk2022-7-2435.1 5.1 非周期信号的表示：离散时间傅立叶变换非周期信号的表示：离散时间傅立叶变换1.1.非周期信号傅立叶变换表示的导出非周期信号傅立叶变换表示的导出周期方波序列周期方波序列,周期为周期为N,N,在一个周期在一个周期内内其傅立叶级数系数为其傅立叶级数系数为2/0111NtNNnnx第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换,)/sin(
3、)/)/(sin(NNkNNNNkNkNNkNak2012202121112022-7-244则有则有事实上，上面的数值可以看成一个包络函数的样本（抽事实上，上面的数值可以看成一个包络函数的样本（抽样点），即样点），即若若 固定，固定，的包络与的包络与 无关。无关。0)2/sin()2/1sin(1kkNNa1NkNaN,)/sin()/)/(sin(NNkNNNkNkNNkNak20122021211第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-245周期周期方波方波序列序列NknNjkkeanx)/(21021NN2021NN4021NNkNakNakNa第五章第五章 离
4、散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-246考虑一个信号考虑一个信号 ，它具有有限持，它具有有限持续期续期 ；即存在；即存在 ，使得，使得 当当 ，。则可以构造一个周期信号则可以构造一个周期信号 ，使，使得得 是是 的一个周期，其基的一个周期，其基波 周 期 为波 周 期 为 ，基 波 频 率，基 波 频 率为为 。当当 越大时，越大时，与与 相同的部分相同的部分越多，即有越多，即有nx1Nt 0NxNN/20limnxnxT1N1N1N1Nnx1N1NnxnxnxnxnxnxN第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-247第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散
5、时间傅里叶变换可以得到可以得到 的傅里叶级数表示的傅里叶级数表示事实上，有事实上，有因此可以得到因此可以得到 的包络的包络 以以 为周期为周期则有则有 kNa)(10jkkeXNa Nknjkkeanx0NnnjkkenxNa01nnNjkNNnnNjkNnnjkkenxNenxNenxNa22111110nnjjenxeX)(2nx2022-7-248将周期信号将周期信号 用包络函数用包络函数 表示，有表示，有当当 时，时，则有，则有其中其中称称 为为 的的（或傅立叶积分）。（或傅立叶积分）。通常的，一个非周期信号通常的，一个非周期信号 的变换的变换 称为称为 的的频谱。频谱。)(jeXnx
6、NknjkjkNknjkjkeeXeeXNnx00000)(21)(1N00200)(21)(21limlim000deeXnxeeXnxnxnjjNknjkjkN)(jeXnx)(jeXnxnnjjenxeX)(nx第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-2492.2.离散时间傅里叶变换的收敛性离散时间傅里叶变换的收敛性要保证上式收敛，只要满足要保证上式收敛，只要满足 或或 而对于反变换而对于反变换积分区间有限，不存在收敛性问题。积分区间有限，不存在收敛性问题。第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2)(21deeXnxnjjnnxnnx2nnjjenxe
7、X)(2022-7-2410：连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换连续，非周期的连续，非周期的 连续，以连续，以 周周期期 低频分量在低频分量在 附近附近 低频分量在低频分量在 附近附近 高频分量在高频分量在 附近附近 高频分量在高频分量在 附近附近无限积分区间无限积分区间 有限积分区间有限积分区间dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)(第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2)(21deeXnxnjj2nnjjenxeX)(0m2)12(m2022-7-24112.几个常见信号的傅立叶变换几个常见信号的傅立叶变换例例1 信号信号
8、则可以得到其频谱为：则可以得到其频谱为：则可以计算其模和相位角。则可以计算其模和相位角。1,anunxn第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换jnnjnnnjjeeenxeX11)(02022-7-2412当当a取不同的值时，信号的频谱的表现：取不同的值时，信号的频谱的表现：第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-2413连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换：连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换：第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)()(2tuetxt2022-7-2414例例2 矩形脉冲序列矩形脉冲序列其傅立叶变换为其傅立叶变换为(参考
9、习题参考习题1.54)它的反变换所得到的信号，同周期方波的傅立叶级数的它的反变换所得到的信号，同周期方波的傅立叶级数的收敛情况相同，收敛情况相同，。)2/sin()2/1(sin()(111NeeXNNnnjj1101NnNnnx第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-2415矩形脉冲序列及其离散傅立叶变换的表现：矩形脉冲序列及其离散傅立叶变换的表现：(尺度性质尺度性质）第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换1N1N1N1N1N1N1N1N2022-7-2416连续傅立叶变换与离散傅里叶变换：连续傅立叶变换与离散傅里叶变换：1T1T1T1T1N1N1N1N第
10、五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-24175.2 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换思路：将冲激函数引入到傅立叶变换中。思路：将冲激函数引入到傅立叶变换中。考虑单位脉冲序列的傅里叶变换：考虑单位脉冲序列的傅里叶变换：它的反变换为：它的反变换为：第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换1)(nnjjeneXn)(jeX21)(2122ndedeeXnjnjj2022-7-2418考虑序列考虑序列 的傅里叶变换：的傅里叶变换：按照通常的求和，上式没有意义。按照通常的求和，上式没有意义。考虑其物理意义，表明该信号低频分量考虑其物理意义，表明该信号低频分量丰
11、富，应该没有高频分量。丰富，应该没有高频分量。按照离散信号的低频分量在按照离散信号的低频分量在 的整数的整数倍附近，则可以定义倍附近，则可以定义 的傅的傅里叶变换为里叶变换为第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换nnjnnjjeenxeX)(1nx)(jeX221nx21nxlnnjjleeX)2(2)(2022-7-2419在连续时间傅里叶变换中，引进冲激函在连续时间傅里叶变换中，引进冲激函数关系式：数关系式：在离散时间傅列叶变换中，引进冲激序在离散时间傅列叶变换中，引进冲激序列关系式为：列关系式为：第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)(jeX221nxlnnjl
12、e)2(2)(2dtetj)(tx1)(jX22022-7-2420对于任意的离散时间周期信号，有傅里叶级数展开式为：对于任意的离散时间周期信号，有傅里叶级数展开式为：则按照上面的定义可以得到其傅里叶变换为：则按照上面的定义可以得到其傅里叶变换为：NknNjkkeanx2NklkNknnNkjknnjNknNjkknnjjlNkaeaeeaenxeX)22(2)()2(2第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-2421利用利用 的周期性，可以得到傅里叶变换为：的周期性，可以得到傅里叶变换为：kkNklkjNkalNkaeX)2(2)22(2)(ka00221a02022
13、22a0022Na1Na2Na0a第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-2422例例1 考虑周期信号考虑周期信号所以傅里叶变换为：所以傅里叶变换为：njnjeennx002121cos0520lljlleX)2()2()(00)(jeX)(jX)cos(0t)cos(0n22第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-2423例例2 考虑周期冲激串序列考虑周期冲激串序列则可以计算其傅里叶级数系数：则可以计算其傅里叶级数系数：所以傅里叶变换为：所以傅里叶变换为：kkNnnxNenxNaNnnNjkk11)/2(kjNkNeX)2(2)(nxNNt)(
14、jeXN2N2)(txTTt)(jXT2T2第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2022-7-24245.3 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2)(21deeXnxnjjnnjjenxeX)(dejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()(2022-7-2425 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换1.线性性质（略）线性性质（略）2.时移、频移性质时移、频移性质3.共轭对称性共轭对称性第五章第五章
15、 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)(0ttx)(0txetj)(0jX)(0jXetj)(*jX)(*tx)(*jeX*nx0nnx0nxenj)()(0jeX)(0jnjeXe2022-7-2426 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换4.差分与累加差分与累加微分与积分微分与积分第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换dttdx)()(jXjtdttx)()()0()(1XjXj 1nxnx)()1(jjeXenmmxkjjjkeXeXe)2()()(1102022-7-2427 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换连
16、续时间傅里叶变换5.时间反转时间反转6.时域扩展时域扩展 尺度性质尺度性质第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)(tx)(jX 0,)(tx)(|1jX nx)(jeXZkZmkmnknxnxk其它0,/)(2022-7-2428 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换6.时域扩展时域扩展第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)()()()()(jkrrkjrrkjknnjkjkeXerxerkxenxeX)()(jkkeXnx2022-7-2429 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换7.帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理第五章第五章 离散
17、时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换djXdttx22)(21)(kkTadttxT22)(1222)(21deXnxjnNkkNnanxN2212022-7-2430 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换5.4(8).卷积性质卷积性质5.5(9).调制（相乘）性质调制（相乘）性质 周期卷积周期卷积第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)(*)(tytx)()(jYjX)()(tytx)(*)(21jYjX*nynx)()(jjeYeXnynx2)()()(21deYeXjj2022-7-2431例例 1 离散时间理想低通滤波器离散时间理想低通滤波
18、器同样，该系统不具有因果性。同样，该系统不具有因果性。对比另一对离散傅立叶变换对：对比另一对离散傅立叶变换对：没有对偶性。没有对偶性。第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换cc)(jeH22nndedeeHnhcnjnjjccsin21)(212)2/sin()2/1(sin()(1NeXj2/0111NtNNnnx2022-7-2432例例 2 考虑下图所示系统，试分析此系统的作用。考虑下图所示系统，试分析此系统的作用。截止频率为截止频率为 的低通滤波器。的低通滤波器。1）2）3）第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换nx)(jlpeH)(jlpeHny1nw4nw2
19、nw3nwn)1(n)1()(jlpeH4/)()()1()(11jjnjneXeWnxenxnw)()()(12jlpjjeHeWeW)()()(23jjeWeW)()(4jlpjjeHeXeW）（2022-7-2433因为因为所以有：所以有：因为因为 是截止频率为是截止频率为 的低通滤波器，所以的低通滤波器，所以 是一个高通滤波器；因此整个系统既通过高频，又通过是一个高通滤波器；因此整个系统既通过高频，又通过低频，只是频率在低频，只是频率在 之间的不能通之间的不能通过。过。第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)()()()()()()()()()()()2()(43jjlpj
20、lpjjlpjjlpjjjeXeHeHeXeHeXeHeWeWeY)()()(12jlpjjeHeWeW)()()(23jjeWeW)()()(1jjeXeW)()(4jlpjjeHeXeW）（)(jlpeH4/)()(jlpeH4/34/2022-7-2434离散时间傅里叶变换性质离散时间傅里叶变换性质1.2.3.4.5.0nnx0nxenj)()(0jeX)(0jnjeXe)(*jeX*nx nx)(jeX)()(jkkeXnx 1nxnx)()1(jjeXenmmxkjjjkeXeXe)2()()(110*nynx)()(jjeYeXnynx2)()()(21deYeXjj2022-7-
21、2435离散时间傅里叶变换性质离散时间傅里叶变换性质6.222)(21deXnxjnNkkNnanxN2212022-7-2436离散时间基本傅立叶变换对离散时间基本傅立叶变换对kkknjkkkaea)(200lnjle)2(200ll)2(21kkNkNkNn)2(2)()2/sin()21(sin22|,0|,1001011nxNnxkkNNkNnNNnnxk2022-7-2437离散时间基本傅立叶变换对离散时间基本傅立叶变换对1.2.0)2(1110njkjennkenun)2/sin()21(sin|,0|,1111NNtNtnx)()(|,0|0,1)(sin)2(jjjeXeXWW
22、eXnWn2022-7-2438离散时间基本傅立叶变换对离散时间基本傅立叶变换对3.jneanu111,2)1(11,)1(jnenunrjneturnrn)1(11),()!1(!)!1(2022-7-24395.7 对偶性对偶性1.连续时间傅立叶变换的对偶性连续时间傅立叶变换的对偶性 若若 则则 或或第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换dejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()()()(jXtxF)(2)(xjtXF)()(21xjtXF2022-7-24402.离散时间傅立叶级数的对偶性离散时间傅立叶级数的对偶性若若 即即将上面两式改写为将上面两式改写为所以所以第
23、五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换NnnNjkengNkf21NknNjkekfng)/2(kfngFSNknNjkkeanx)/2(NnnNjkkenxNa21NnnNjkekgNnf21NknNjkenfNkgN)/2(111kgNnfFS2022-7-24413.离散时间傅立叶变换和连续傅立叶级数之间的对偶性离散时间傅立叶变换和连续傅立叶级数之间的对偶性例例第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2)(21deeXnxnjjnnjjenxeX)(ktjkkeatx0)(TtjkkdtetxTa00)(1)()(|,0|0,1)(sin)2(jjjeXeXWWeXn
24、Wnnx)()(2/01)(11txTtxTtTTttx020)sin(110kTTkkTkak2022-7-24425.8 由常系数差分方程表征的系统由常系数差分方程表征的系统一个一个LTI系统，表示成系统，表示成N阶差分方程：阶差分方程：则利用离散时间傅立叶变换的卷积性质和差分性质，则则利用离散时间傅立叶变换的卷积性质和差分性质，则有系统的频率响应为有系统的频率响应为第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换MkkNkkknxbknya00NkjkkMkjkkjjjeaebeXeYeH00)()()(2022-7-2443例例 一个一个LTI 系统，其差分方程为系统，其差分方程为若
25、系统输入为若系统输入为试计算系统的输出。试计算系统的输出。解：系统的频率响应为：解：系统的频率响应为：第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换2281 143nxnynynyjjjjjjNkjkkMkjkkjeeeeeeeaebeH41122114)211)(411(2814312)(20041nunxn2022-7-2444输出的傅立叶变换为：输出的傅立叶变换为：利用待定系数法可以确定上面的三个常数。利用待定系数法可以确定上面的三个常数。第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)211(3)411(2)411(1)211()411(2)411(1)211)(411(2)()()(22jjjjjjjjjjjeBeBeBeeeeeeHeXeY2022-7-2445则有则有所以输出信号为所以输出信号为第五章第五章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换)211(8)411(4)411(2)(2jjjjeeeeY21841441)1(2nunnynnn
