1、 全等三角形全等三角形小结与复习小结与复习1.全等三角形的性质全等三角形的性质:对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。2.全等三角形的判定全等三角形的判定:知识点知识点一般三角形全等的判定：一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HL知识点知识点3.三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路：已知一边一角 ASA找夹边已知两角 SAS找夹角已知两边SSS找另一边HL找直角 SAS找夹角的另一边边为角的邻边AAS找任一角ASA找夹角的另一角AAS找边的
2、对角AAS找任一边边为角的对边到角的两边的距离相等的点在角的平到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。分线上。QDOA，QEOB，QDQE（已知）点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上(已知）QDQE（角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等）边的距离相等）二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：1、如图、如图AD=BC，要判定，要判
3、定 ABC CDA，还需要的条件是，还需要的条件是 .或或1122ABCD123=4B=DDCAB1423EDCBA3：如图所示，：如图所示，AB=AD，E=C 要想使要想使ABC ADE可以添加的条可以添加的条件是件是 依据是依据是EDA=BDAE=BACBAD=EACAAS方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个
4、角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角(AAS)找一角找一角(AAS)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)BAFCDE1、如图、如图,已知已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,说明说明EFD=BCA的理由。的理由。题型二：给出条件并非三角形的题型二：给出条件并非三角形的边或角边或角ABCDE122、如图，已知，、如图，已知，CE，12，ABAD，ABC和和ADE全等吗？为什全等吗？为什么？么？3题型二：给出条件并非三角形的题型二：给出条件并非三角形的边或角边或角1、如图，、如图，=D，=B，试说明试说明B=D。题型三：
5、添加辅助线题型三：添加辅助线 变式：变式：如图，如图，试说明试说明AB 。拓展延伸拓展延伸3421ACBOD2、如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，AC=DB，则A=D,请说请说明理由明理由.试一试：试一试：ACBOD2、如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，AC=DB，则B=C,请说请说明理由明理由.试一试：试一试：1：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2，3=4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS)BC=BD 在在ABC和和ABD
6、中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS)AC=AD题型四：多次利用全等题型四：多次利用全等 2.如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P P在在BMBM上上,PDAB于于D，PEBC于于EABCPMNDEFPD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即即点点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDA
7、B于于D，PEBC于于E，PFAC于于F3.3.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相的平分线相交于点交于点F F，求证：点，求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBCFGFM（角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的的两边距离相等）两边距离相等）.又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBCFMFH（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.FGFH（等量代换）点F在DAE的平分线上3、如图：在、
8、如图：在ABC中，中，C C=900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。12cABDE4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条在一条直线上求证：直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C旋转一定角度旋转一定角度（大于零度而小于六十度），（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？以上的结论海成立吗？证明证明：ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE即即BC
9、E=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS)BE=AD6：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明：ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS）7.如图如图,已知已知ACBD，EA、EB分别平分分别平分CAB和和DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等
10、吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）例例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，已知：如图，AD是是
11、ABC 的中线，求证：的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：延长AD到E，使DEAD，连结BEEDBADC AD是ABC 的中线BDCD又 DEAD ADC EDB AC=EB在ABE中，AE AB+BEAB+AC即 2AD AC，BD=CD。求证：求证：B+ACD=180。BACD9.如图，如图，BD平分平分ABC，DEAB于于E，DFBC于于F，SABC=36，AB=18，BC=12。求。求DE的长。的长。CABEDF面积问题面积问题面积问题面积问题10.已知：如图，已知：如图，AC与与DE相交于点相交于点F，且且AF=CF，DF=EF，BC=12cm，ABC中中BC边上的高为
12、边上的高为15cm，求四，求四边形边形BCDE的面积。的面积。ABEFDC11.如图，在如图，在ABC中，中，AC=BC，C=90，BD平分平分ABC。求证：求证：AB=BC+CD。CABD线段和差线段和差线段和差线段和差12.如图，如图，BD是是ABC的边的边AC上的中线，上的中线，AEBD于于E，CFBD交延长线交延长线于于F。求证：求证：BE+BF=2BD。CABDEF13.如图如图1，在，在ABC中，中，AB=AC，BAC=90，分别过点，分别过点B、C作点过作点过点点A的直线的直线AD的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为E、F。(1)求证：求证：AE=BE+EF。ABCEFD图图1运
13、动变化运动变化(2)若将图若将图1中的直线中的直线AD绕点绕点A旋转到图旋转到图2的位置，其他条件不变，则的位置，其他条件不变，则(1)中的结中的结论还成立吗？若不成立，则应该有怎样论还成立吗？若不成立，则应该有怎样的关系式？请在图的关系式？请在图2中画出图形，并说中画出图形，并说明理由。明理由。ABCD图图2运动变化运动变化14.如图，如图，ABC的的B的平分线的平分线BD与与C的外角的平分线的外角的平分线CE相交于点相交于点P。求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离的距离相等。相等。巩固巩固ABCPDE 全等三角形全等三角形小结与复习小结与复习牛刀小试牛刀小试如图，如图，AB
14、=AC，AE=AD，BD=CE，求证：求证：AEB ADC。CABDE证明：证明：BD=CE BD-ED=CE-ED，即即BE=CD。在在AEB和和ADC中，中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss)牛刀小试牛刀小试如图，已知点如图，已知点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相相交于点交于点O，AB=AC，B=C.求证：求证：BD=CEABCDEO证明证明：在：在ADC和和AEB中中A=A（公共角）（公共角）AC=AB（已知）（已知）C=B（已知）（已知）ADC AEB（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又AB=AC（已
15、知）（已知）AB-AD=AC-AE即即BD=CE（等式性质）（等式性质）已知：如图,在ABC和ABD中，ACBC,ADBD,垂足分别为C,D,AD=BC,求证：BD=AC.ABDC证明：ACBC,ADBD C=D=90 在RtABC和RtBAD中 ABBABCAD RtABC RtBAD(HL)ABD=AC牛刀小试牛刀小试56一、挖掘一、挖掘“隐含条件隐含条件”判全等判全等1.1.如图（如图（1 1），），AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，则，则ABCABCDCBDCB吗吗?说说理由说说理由ADBC图（1）2.2.如图（如图（2 2），点），点D D在在ABAB上，点上，点E E在在
16、ACAC上，上，CDCD与与BEBE相交于点相交于点O O，且，且AD=AE,AB=AC.AD=AE,AB=AC.若若B=20B=20,CD=5cm,CD=5cm，则，则C=C=,BE=BE=.说说理由说说理由.BCODEA图（2）3.3.如图（如图（3 3），），ACAC与与BDBD相交于相交于O,O,若若OB=ODOB=OD，A=CA=C，若，若AB=3cmAB=3cm，则，则CD=CD=.说说理由说说理由.ADBCO图（3）205cm3cm学习提示：学习提示：公共边，公共角公共边，公共角，对顶角对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！这些都是隐含的边，角相等的条件！574、如图，已知、如图
17、，已知AD平分平分BAC，要使要使ABD ACD，根据根据“SAS”需要添加条件需要添加条件 ；根据根据“ASA”需要添加条件需要添加条件 ；根据根据“AAS”需要添加条件需要添加条件 ；ABCDAB=ACAB=ACBDA=CDABDA=CDAB=CB=C友情提示：添加条件的题目友情提示：添加条件的题目.首先要首先要找到已具备的条件找到已具备的条件,这些条件有些是这些条件有些是题目已知条件题目已知条件 ,有些是图中隐含条件有些是图中隐含条件.二二.添条件判全等添条件判全等58三、熟练转化“间接条件”判全等5如图，如图，AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与与 CEB全等吗？为什么？全
18、等吗？为什么？ADBCFE7.“三月三，放风筝三月三，放风筝”如图（如图（6）是小东同学自己）是小东同学自己做的风筝，他根据做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，不用度量，就知道就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予。请用所学的知识给予说明。说明。6.如图（如图（5）CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与与ADE全等吗？全等吗？为什么？为什么？ACEBD597.“三月三，放风筝三月三，放风筝”如图（如图（6）是小东同）是小东同学自己做的风筝，他根据学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道不用度量，就知道ABC=ADC。请用。请用所学的知识给予说明。所学
19、的知识给予说明。解解:连接连接ACADC ABC(SSS)ABC=ADC(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)在在ABC和和ADC中，中，BC=DC(已知已知)AC=AC(公共边公共边)AB=AD(已知已知)608.测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线树木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约步行步（每步约0.75M）到）到O处，进行标记，处，进行标记，再向前步行再向前步行10步到步到D处，最后背对河岸向前步行处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木步，此时树木A，标记，标记O，恰好在同一视线上，则，恰好在同一视线上，则河的宽度为河的宽度为 米。米。15ABODC实际应用6188120204040FEDCBA9.9.如图如图,ABCABC与与DEFDEF是否全等是否全等?为什么为什么?交流平台交流平台本节课你还有本节课你还有不不理解的地方吗理解的地方吗？
