1、第四章第四章 曲线和曲面曲线和曲面 第一节第一节 曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面表示的基础知识第二节第二节 Hermite多项式多项式 第三节第三节 Coons曲面曲面 第四节第四节 Bezier曲线曲线第五节第五节 Bezier曲面曲面 第六节第六节 B样条曲线样条曲线第七节第七节 B样条曲面样条曲面第一节第一节 曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面表示的基础知识 曲线和曲面参数表示曲线和曲面参数表示（1 1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；（2 2）会出现斜率为无穷大的情况；）会出现斜率为无穷大的情况；（3 3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面）难
2、以灵活地构造复杂的曲线、曲面（4 4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。间曲线必须定义为两张柱面的交线。（5 5）假如我们使用非参数化函数，在某个）假如我们使用非参数化函数，在某个xoyxoy坐坐标系里一条曲线，一些标系里一条曲线，一些x x值对应多个值对应多个y y值，而一值，而一些些y y值对应多个值对应多个x x值。值。)(xfy0),(yxf 在空间曲线的参数表示中，曲在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个线上每一点的坐标均要表示成某个参数参数t t的一个函数式，则曲线上每的一个函数式，则曲线上每
3、一点笛卡尔坐标参数式是：一点笛卡尔坐标参数式是：，)(txx)(tyy)(tzz 把三个方程合写到一起，曲线把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：上一点坐标的矢量表示是：)()()()(tztytxt P关于参数关于参数t的切矢量或导函数是：的切矢量或导函数是：曲面写为参数方程形式为曲面写为参数方程形式为:曲线或曲面的某一部分，可以简单地用曲线或曲面的某一部分，可以简单地用au,wb界定它的范围界定它的范围 P()()()()tx ty tz t(,),(,),(,)P(,)(,),(,),(,)xx u w yy u w zz u wu wx u w y u w z u w直线段
4、直线段 端点坐标分别是端点坐标分别是P1x1,y1,P2x2,y2，直线段的参数表达式是：直线段的参数表达式是：P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP2 0t1；参数表示相应的参数表示相应的x,y坐标分量是：坐标分量是：x(t)=x1+(x2-x1)t y(t)=y1+(y2-y1)t 0t1 21212121P()()()P()()i()jtx ty txxyytxxyy参数方程具有如下参数方程具有如下优点优点：(1)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。(2)便于坐标变换便于坐标变换(3)便于处理斜率为无限大的问题，不会因此中便于处理斜
5、率为无限大的问题，不会因此中断计算断计算(4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。，而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。(5)t0,1,直接定义了边界。便于曲线和曲面直接定义了边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。的分段、分片描述。(6)易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是散的点，称为是插值的曲线或曲面插值的曲线或曲面。另一类不要求通过。另一类不要求通过事先给定
6、的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形状，称为是制多边形来控制形状，称为是逼近的曲线或曲面逼近的曲线或曲面。插值插值 构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（进行插值（interpolation）。）。逼近逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最接近这些型值构造一条曲线，使它在某种意义上最接近这些型值点但不完全通过，称之为对这些型值点进行逼近点但不完全通过，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。）。参数连续性参数连续性 一函数在某一点一函数在某一点x0处
7、具有相等的直到处具有相等的直到k阶的左右导阶的左右导数，称它在数，称它在x0处是处是k次连续可微的，或称它在次连续可微的，或称它在x0处处是是k阶连续的，记作阶连续的，记作Ck。几何上。几何上C0、C1、C2依次表依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。几何连续性几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处参两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处参数导数成比例而不是相等，则称它们在该点处具数导数成比例而不是相等，则称它们在该点处具有有k阶几何连续性，记作阶几何连续
8、性，记作Gk。零阶几何连续零阶几何连续G0与零阶参数连续与零阶参数连续C0是一致的。是一致的。一阶几何连续一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即交点处成比例，即方向相同方向相同，大小不同大小不同。二阶几何连续二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。二阶导数均成比例。曲线段间曲线段间C1、C2和和G1、G2连续性连续性定义定义（1）Q1(1)=Q2(0),则则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C0和和G0连续性连续性（2）Q1(1)和和Q2(0)在在P处重合，且其在处重合，且其在P点处的切矢量
9、方向点处的切矢量方向相同相同，大小大小相等相等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C1连续性连续性（3）Q1(1)和和Q2(0)在在P处重合，且其在处重合，且其在P点处的切矢量方向点处的切矢量方向相同相同，大小大小不等不等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有G1连续性连续性Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)Q1(0)Q2(1)Q1(1)Q2(0)Q1(0)Q2(1)Q1(1)Q2(0)曲线段间曲线段间C1、C2和和G1、G2连续性连续性定义定义（4）Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有C0和和C1连续，且连续，且Q”1(1)和和Q”2(0)大大小方向均小方向均相
10、同相同，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C2连续性连续性（5）Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有G0和和G1连续，且连续，且Q”1(1)和和Q”2(0)方方向向相同相同但大小但大小不等不等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有G2连续性连续性（6）推广之，）推广之，Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有C0、C1、Cn连续，连续，若若Q(n)1(1)和和Q(n)2(0)在在P处大小和方向均处大小和方向均相同相同，则说，则说Q1(t)和和Q2(t)在在P处具有处具有Cn连续性连续性Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)Q1(0)Q1(1)Q2(0)Q2(1)曲线
11、段间曲线段间C1、C2和和G1、G2连续性连续性定义定义（1）Q1(1)=Q2(0),则则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C0和和G0连续性连续性（2）Q1(1)和和Q2(0)在在P处重合，且其在处重合，且其在P点处的切矢量方向点处的切矢量方向相同相同，大小大小相等相等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C1连续性连续性（3）Q1(1)和和Q2(0)在在P处重合，且其在处重合，且其在P点处的切矢量方向点处的切矢量方向相同相同，大小大小不等不等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有G1连续性连续性（4）Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有C0和和C1连续，且连续，且
12、Q”1(1)和和Q”2(0)大大小方向均小方向均相同相同，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C2连续性连续性（5）Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有G0和和G1连续，且连续，且Q”1(1)和和Q”2(0)方方向向相同相同但大小但大小不等不等，则，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有G2连续性连续性（6）推广之，）推广之，Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有C0、C1、Cn连续，连续，若若Q(n)1(1)和和Q(n)2(0)在在P处大小和方向均处大小和方向均相同相同，则说，则说Q1(t)和和Q2(t)在在P处具有处具有Cn连续性连续性C0连续的线性插值C2连续的样条插
13、值 光顺光顺 光顺（光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：该是：（1）具有二阶几何连续（）具有二阶几何连续（G2）；）；（2）不存在多余拐点和奇异点；）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小。）曲率变化较小。第二节第二节 Hermite多项式多项式 已知函数已知函数f(t)在在k+1个点个点ti处的函数值处的函数值和导数值和导数值f(j)(ti)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求确定一个要求确定一个N=m0+m1+mk-1次的次的多项式多项式P(t)，满足
14、下面的插值条件：，满足下面的插值条件：)()()()(Pitjfitj一、一、Lagrange插值插值 已知已知f(t)在在k+1个点上的函数值个点上的函数值f(ti)，求一个，求一个k次次多项式使之满足多项式使之满足kitftii,.1,0),()(P。0()()()kiiitf tg tP0110111()()()()()0,()()()()iiikijiiiiiikttttttttttg tttjitttttttt 设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f(t)在三点在三点t0，t1，t2的函数值的函数值f(t0)，f(t1)，f(t2)，根据，根据Lagrange插值插值法，
15、则二次多项式法，则二次多项式P(t)可表示为：可表示为：120010202110120122021()()()()()()()()()()()()()()()ttttg tttttttttg tttttttttg tttttg0(t)g2(t)g1(t)设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点在四点t0，t1，t2，t3的函数值的函数值f(t0)，f(t1)，f(t2)，f(t3)，根据，根据Lagrange插值法，则三次多项式插值法，则三次多项式P(t)可表示为：可表示为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(231303210
16、3321202310231210132013020103210tttttttttttttgtttttttttttttgtttttttttttttgtttttttttttttgg0(t)g3(t)g1(t)g2(t)一般地，对于一般地，对于k k+1+1个点个点,(0,1,)iikP，若曲线，若曲线0()()kiiitg tPP()ig t(),(0,1,)ig tik0()1kiig t表达式中表达式中满足满足是连续的是连续的(),(0,1,)ig tik,(0,1,)iikP则则称为混合（调和）函数或基称为混合（调和）函数或基称为控制点。称为控制点。函数，函数，k k+1+1个点个点二、三次
17、二、三次Hermite曲线曲线考察考察k=1，m0=m1=2的情形的情形已知表示一条曲线的某个函数已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点在两点t0，t1的函数值的函数值f(t0),f(t1)和一阶导数和一阶导数值值f(t0),f(t1)，求三次多项式，求三次多项式P(t):32(),32100 1()(),()(),0011()(),()()0011P ta ta ta tatttP tf tP tf tP tftP tft3203 02 01 003213 12 11 10203 02 01213 12 11()aaaa()aaaa()3a2aa()3a2aaf ttttf ttttftt
18、tfttt3)01(20)1)0(21)1(30)1(3)01(31)0(0)1)0(61)1(621)0(21)1(2(1a3)01(20)1)1(321)1(21)0(30)1(1)1(3)01(31)0(0)21)0(331)0(0atttttfttfttfttttftttfttfttfttftttttfttfttfttfttfttttftttfttf3)01()1(2)0(21)1(1)0(0)0()1(3a3)01(0)1(3)0(31)1(1)0(20)1(2)0(3)01(1)1(31)0(321)0(221)1(2atttftfttfttfttftfttttftfttfttft
19、tftfttttfttfttfttf把把a0，a1，a2和和a3代入代入(4-1)式则有：式则有：22()(23)()(23)101010()()()0133()()011022()()()()1001()(),010 122()()1010ttttttttttP tf tf tttttttttttttftftttttttt经整理，所求多项式经整理，所求多项式P 0(t)可以写出如下：可以写出如下：式中选取两个式中选取两个端点端点及其及其及其及其切向量切向量作为曲线构造条件。作为曲线构造条件。)01()(01)1()01()(00)0()(01)1()(00)0()(0Pttthtftttht
20、ftgtftgtft2010011)(012101010)(00201001121)(01210110021)(00ttttttttthttttttttthtttttttttgtttttttttg混合函数混合函数如下：如下：()1()000 000 1()0()101 001 1()0()000 000 1()0()001 001 1gtgtgtgththththt()0()000 000 1()0()001 001 11()000 1()00 0110()01 1()001 010gtgtgtgththttththttt经验证可知：经验证可知：三、规范化三次三、规范化三次Hermite插值插
21、值为了使为了使P0(t)的定义区间的定义区间t0tt1变为区间变为区间0u1，可以做如下变换，可以做如下变换解出解出 ，代入混合函数式中，得：，代入混合函数式中，得：010ttuttutttt)01(001,0,1tttu232()()(12)(1)231()0000 01000232()()(32)23()0101 01001232()()(1)2()0000 01010232()()(1)()0101 01011gtgtttuu uuuqugtgtttuu uuuquhthtttuuuuuuquhthtttuu uuuqu 将关于将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为：的混合函数代入
22、，所求的三次多项式成为：()P()P()00 010()()()()()()()()()()0001010101011011f uutttuf tquf tquftttquftttqu令令(0)()0(1)()1(0)()()010(1)()()110ff tff tfftttffttt得得P()(0)()(1)()00001(0)()(1)()1011(0)(1)()()()()00011011(0)(1)(0)(1)32323232(231232)(0)(1)32(1ufqufqufqufquffququququffffuuuuuuuuuffuuu(0)22113321(1)0010(0)
23、1000(1)ffff图图4-5 4-5 规范化规范化3 3次次Hermite插值的四个调和函数插值的四个调和函数四、分段四、分段3次次Hermite曲线曲线 将前面将前面t0和和t1视为视为ti和和ti+1，设给定，设给定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则在区间，则在区间ti，ti+1的的Hermite三三次插值多项式次插值多项式Pi(t)是：是：()()()()()011()()()()()()01111,0 1 21P tf tgtf tgtiiiiif thtttf thtttiiiiiiiitt tttnnn段曲线拼接()()()()()011()()()()
24、()()01111,0 1 21P tf tgtf tgtiiiiif thtttf thtttiiiiiiiitt tttnnn段曲线拼接1,1,02111)(1,2111)(0,211121)(1,211121)(0,niititittitititttihititittitititttihititittitititttigititittitititttig为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间ti，ti+1中引中引入如下一些基本函数：入如下一些基本函数：0,0010,010010,00,1111,111,1,01,0,101,01,11(),()(
25、),()()0,0,(),()(),()1,2,1()0,0,()(),nniiiiiiiiinnnnngttt thttttt tatattt ttt tgttt thtgttt tatinattt tatgttt t 其它11,01101,11,111(),()(),1,2,10,0,()()(),iiiiiiiiinnnnnnntttt thttttt tintt tathttttt t 其它a0,0a1,0n=1P()()()()(),0,10ntf t atft atiiiii)()()()()()()()()()()(P01011011010000000ttthtftgtfttth
26、tftgtft为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间ti，ti+1中引中引入如下一些基本函数：入如下一些基本函数：0,0010,010010,00,1111,111,1,01,0,101,01,11(),()(),()()0,0,(),()(),()1,2,1()0,0,()(),nniiiiiiiiinnnnngttt thttttt tatattt ttt tgttt thtgttt tatinattt tatgttt t 其它11,01101,11,111(),()(),1,2,10,0,()()(),iiiiiiiiinnnnnnntttt t
27、httttt tintt tathttttt t 其它n=2a0,0a1,0a2,0P()()()()(),0,10ntf t atft atiiiii)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(P121121121210110101011011010000000ttthtftgtfttthtftgtfttthtftgtfttthtftgtft完整的插值多项式可写为完整的插值多项式可写为：上式区间上式区间t0，tn中有定义，且为分段定义。在每个区间中有定义，且为分段定义。在每个区间 ti，ti+1上，上，都恰有都恰有四项四项。满足插值条件。满足插值条件P
28、()()()()(),0,10ntf t atft atiiiiiP()(),P()(),0,1,P()(P()P(),0,10tf ttf tiniiiintatatiiiii)1)(1,1 P)(0,P)(1,1P)(0,P)(1,11 P)(1,P)(0,11P)(0,P)(Pitittihitihitigitigitiaitiaitiaitiaiti每段曲线每段曲线Pi(t)只在只在ti，ti+1中有定义：中有定义：自变量的线性变换自变量的线性变换用逆变换用逆变换 代入，将所得关于代入，将所得关于u的的多项式记为多项式记为 ，得，得 ititittu1)1(itituitt)(Pui3
29、232P()P(231)P(23)13232P(2)P()1P2211P3321321(1)0010P1000P1uuuuuiiiuuuuuiiiiuuuii P2211P3321132P()(1)0010P1000P1iiuuuuiii其中其中PP()()P=P()()111P()()1P()()111tf tiiitf tiiif tttiiiif tttiiii例：例：设在平面上有两点设在平面上有两点P0，Pl，它们的位，它们的位置向量分别为置向量分别为(1，1)，(4，2)，在，在P0的导数的导数值即在该点的切线向量值即在该点的切线向量P0=(1，1)，在，在Pl处处P1=(1，-1)
30、，构造曲线。，构造曲线。2211113321 4232P()(1)001011100011426232(1)1111uuuuuuu12232)(12634)(uuuuyuuuux第三节第三节 Coons曲面曲面 10,10),(),(),(),(PwuwuzwuywuxwuP(,)P(,)2P(,)00 P(0,0)P(,)000,02P(,)000,0uwu wuwuwuuuwuwuwu wuwuuuwuwuwu wuw 表示曲面表示双参数的偏导数wu00u0uwu11101100w1w00uw00u00wuwuuwuwuww0wu0wwu0uu0wuw表示了曲面片的方程表示了曲面片的方程0
31、w，1w，u0，u1四条边界曲线四条边界曲线u0u边界线的边界线的切向量切向量u0w 边界线的边界线的跨界切向量跨界切向量uwuu,uwuw,uwww曲面片曲面片uw关于关于u和和w的二阶偏导数向量的二阶偏导数向量u0uu 表示边界线表示边界线u0上的上的二阶切向量二阶切向量u0ww表示边界线表示边界线u0上的上的二阶跨界切向量二阶跨界切向量uwuw为曲面片为曲面片P在点在点(u,w)处的处的扭曲向量扭曲向量。00，01，10，11表示曲面片表示曲面片四个四个角点角点00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u 四个四个角点的切向量角点的切向量 00uw，01uw，10uw，
32、11uw四个四个角点的扭曲向量角点的扭曲向量wu00u0uwu11101100w1w00uw00u00wuwuuwuwuww0wu0wwu0uu0w一、给定边界曲线的曲面片一、给定边界曲线的曲面片Coons给出的一个解法是：寻找两个给出的一个解法是：寻找两个混合函数混合函数f0(t)和和f1(t)，它们是连续的，它们是连续的，并且满足并且满足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且，且f0(t)+f1(t)=1，0t1。利用这样的混合函数，通过四条边利用这样的混合函数，通过四条边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面
33、。片，产生满足用户需要的曲面。问题问题1：求通过四条边界线的曲面：求通过四条边界线的曲面给定四条边界曲线给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w，且，且0u1，0w1在在u向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：在在w向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：P(,)()0()1()()1,0110101u wfuwfuwfufuu其中P(,)()0()1()()1,0120101u wfwufwufwfww其中011100100wu0u11wuw011100100w1wuwP1(u,w)01110010u0u1uwP2(u,w)P(,)P(,)P(,)12
34、()0()1()0()10101()()1,01()()1,010101u wu wu wsfuwfuwfwufwufufuufwfww其中Ps(u,w)上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，一部分是由于一部分是由于线性插值线性插值而产生的位移，另一部分而产生的位移，另一部分是由于是由于边界曲线边界曲线而产生的位移。而产生的位移。若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面Ps(u,w)：201211200210uwP1(u,w)+P2(u,w)01110010uwP3(u,w)011100100wu0u11wuwP(u,w)P
35、(,)()()00()10()()01()113001101()()00()()100001()()01()()111011()()1,01()()1,010101u wfwfufufwfufufwfufwfufwfufwfufufuufwfww其中，为消除为消除Ps(u,w)中由于线性插值而产生的位移，中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面需要构造一个新的曲面P3(u,w)201211200210uwP1(u,w)+P2(u,w)01110010uwP3(u,w)011100100wu0u11wuwP(u,w)构造曲面构造曲面P3(u,w)后，从后，从Ps(u,w)中去除中去除P3
36、(u,w)，即去除线性插值的成分，则得到即去除线性插值的成分，则得到Coons构造曲面构造曲面P(u,w)=Ps(u,w)-P3(u,w)=P1(u,w)+P2(u,w)-P3(u,w)可写成如下形式：可写成如下形式：P(,)P(,)P(,)P(,)123()()()0001000 0,10,1(),()011011()()()1111001()1,(),()0000100111011()1uwu wu wu wu wfwfufwuuw wfuf ufwf ufwuufwfuf uwwf w 11100100M其中矩阵其中矩阵M是：是：矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，矩阵中四个元素是四个角
37、点的位置向量，可用已知四条边界曲线计算求出。可用已知四条边界曲线计算求出。u0，u1可以是关于可以是关于u的三次多项式，的三次多项式，0w，1w可以是关于可以是关于w的三次多项式，混合函数也是不的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于超过三次的关于u或或w的三次多项式，这时公式的三次多项式，这时公式关于关于u看，或关于看，或关于w看，都是三次多项式，是关看，都是三次多项式，是关于于u或或w的双三次多项式的双三次多项式011100100wu0u11wuw011100100w1wuwP1(u,w)01110010u0u1uwP2(u,w)201211200210uwP1(u,w)+P2(u,w)
38、01110010uwP3(u,w)011100100wu0u11wuwP(u,w)00()01()00100()01()001fwfwwfwfww右端不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证验证0w是它的一条边界线，这只要把是它的一条边界线，这只要把u=0代入公式代入公式右端，得右端，得 32()2310032()230132()21032()11quuuquuuquuuuquuu 二、给定边界曲线和跨界切向量的曲面片二、给定边界曲线和跨界切向量的曲面片边界线为指定曲线边界线为指定曲线且有指定的跨界切向量且有指定的跨界切向量。应用上节定义的四个混
39、合函数应用上节定义的四个混合函数q00(u),q01(u),q10(u),q11(u)。1)1(0)1(0)1(0)1(0)0(1)0(0)0(0)0(0)1(0)1(1)1(0)1(0)0(0)0(0)0(1)0(11100100111001001110010011100100qqqqqqqqqqqqqqqq这四个函数这四个函数均是三次多均是三次多项式。故连项式。故连续可微，并续可微，并且还满足下且还满足下面的条件：面的条件：设已知设已知四条边界曲线四条边界曲线u0，u1，0w，1w及沿这及沿这四条边界曲线的跨界切向量四条边界曲线的跨界切向量u0w，u1w，0wu，1wu。求出四个角点的位置
40、向量求出四个角点的位置向量00，01，10，11，切向量切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，扭曲向量扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，写出符合要求曲面片的数学表达式如下：写出符合要求曲面片的数学表达式如下：()()0000()()0101 0,1,0,10,1,0,1()()1010()()1111()00()01(),(),(),()00011011()10()11qwquqwquuwuuuuwwwwwwuuqwquqwquqwqwququququMqwqw 1()00()1,(),(),(),()0100011011()10()1100101
41、000010001110111011000010001110111011wwwwwwuuuuwuwuuuuwuwqwqwuwququququMqwqwuuuuwwMww 00()01()000100()01()0101100()01()000100()01()10110qwqwqwqwwwwqwqwqwqwwww右端容易地验证所写出的公式满足要求，例如以容易地验证所写出的公式满足要求，例如以u=0代入该式右端，得：代入该式右端，得：00000101101011110001000110111011()()()()0,1,0,10,1,0,1()()()()()()(),(),(),()()()u
42、uuuwuwuuquqwqwquuwuuuuwwwwqwquqwquqwqwququququMqwqw曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对该式关于某一变量求导，例如对该式关于某一变量求导，例如对u求导，然后再求导，然后再代入代入u=0，这时有，这时有()00()0100010001()10()11()000()001010100101()100()110qwqwuuuwuwqwqwqwqwwwwwMuuqwqwwu 右端三、给定三、给定四角点四角点及其及其切向量切向量和和扭曲向量扭曲向量的的 曲面片曲面片已知角点的位置向量已知角点的位置向量00，
43、01，10，11，切，切向量向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，以及扭曲向量，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，000()10()00()10()00011011101()11()01()11()00011011000()10()00()10()00011011101()11()01()11()00011011uququququuuuququququuuuququququwwwuwuwuququququwwwuwuw已知角点位置向量已知角点位置向量00，10以及在这两点关于以及在这两点关于u的切的切向量向量00u和和01u，可以用，可以用Her
44、mite插值公式来指定一插值公式来指定一条条u边界线：边界线：0101()()()()0001101100010001101110110001000110111011uuuuwwququququMwwwwMuuuwuwuuuwuw)(1111)(1010)(0111)(00101)(1101)(1000)(0101)(00000)(1111)(1010)(0111)(00101)(1101)(1000)(0101)(00000wquwwquwwquwquuwwquwwquwwquwquuwwqwwqwwqwqwwqwwqwwqwqw)(11)(10)(01)(001010wqwqwqwqMuw
45、uwww()00()01()()()()00011011()10()112211332132100101000000100012301101110112300000100011210110010111011qwqwuwququququMqwqwuuuwwwwuuuwuwuuuwuw 321323211wwwTTuuuH M Hwww将上两式代入前式，就可以得到：将上两式代入前式，就可以得到：例：例：给出四个角点以及在该角点上的切向量和给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭曲向量来构造扭曲向量来构造Coons曲面表达式。设在平面曲面表达式。设在平面上有四点上有四点P0，Pl，P2，P3，它们的位
46、置向量分别，它们的位置向量分别为为(0，0，0)，(0，0.75，0)，(0.75，0，0)，(0.75，0.75，0)。该四点的切向量、跨界切向。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵M中：中：001101110011111101110011333111111110011444111111110011MMMxyz333004.53.750.750232(,)100.750.750.7500.750.75013000000.750.750.75232(,)100.750.750.75000.7501000000.32(,)1wwx
47、u wuuuwwwy u wuuuwz u wuuu3750.75020,1,0,100.750.7501.52.250.7501wwuww第四节第四节 Bezier曲线和曲面曲线和曲面1.Bezier曲线曲线定义定义 给出型值点给出型值点P0，P1，Pn，它们所确，它们所确定的定的n次次Bezier曲线是：曲线是：P()()P01,0!()(1)(1),!()!0,1,ntBtti niini iniiniBtC tttti nni niin 是是Bernstein多项式，多项式，混合函数混合函数涉及到的涉及到的0!及及00，按约定均为，按约定均为1。在在n=1时，公式成为：时，公式成为：(
48、一次一次Bezier曲线是直线段曲线是直线段)在在n=2时，公式成为：时，公式成为：(二次二次Bezier曲线是抛物线曲线是抛物线)P()(1)PP101tttnt(),Bti n22P()(1)P2(1)PP012P12102(1)220P,11100P2tttttttnt 103P2P1P0P0001003303631331)123(3P32P)1(231P2)1(30P3)1()(Pttttttttttt在在n=3时，公式成为：时，公式成为：(三次三次Bezier曲线是三次参曲线是三次参数多项式曲线数多项式曲线)Bernstein基函数的性质基函数的性质,00,10,()00,1i nt
49、inBtt且时时,1(0)1()(0)(1)00i ni niinBB其它其它,0()1i nBt,()(1)i nn i nBtBt（1 1）正性正性（2 2）端点性质）端点性质（3 3）规范性）规范性（4 4）对称性）对称性(5)(5)权性权性,0()1,(0,01)ni niBtint (6)(6)递推性递推性,11,1()(1)()(),(0,1,.,)i ni ninBtt BttBtin,1,1,1()()(),0,1,;i nini nBtn BtBtin,()i nBtitn在在 处达到最大值处达到最大值。(7)(7)导函数导函数(8)(8)最大值最大值 Bezier曲线的性质
50、曲线的性质 P(0)=P0，P(1)=P1，曲线通过所给出型值点列的起点和终点。)1PP()1(P),0P1P()0(Pnnnn!11()(1)()(1)!()!0!112(1)(1)(1)011(1)!(1)!(2)!211(1)11(2)!(1)!(1)!(1)!(1)!nniniiniP ti ttnittPii niinnnnnntPtPttPnnnnnnnnntt PtPtPnnnnnnninitti ni 11()10nPPiiiBezier曲线的对称性曲线的对称性!()(1)(1),!()!()()()0,0,()(),(1)(1),0,(1)(1),0,niniBtttBti
