1、向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ，abOAa OBb 则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.ababOabAB当当=0时，时，与与 同向；同向；ab当当=180时，时，与与 反向；反向；ab当当=90时，时，与与 垂直，记作垂直，记作 。abababababsF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.|s|F|W co
2、s问题的提出问题的提出abBAO1B平面向量的数量积：平面向量的数量积：已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即规定，即规定|cosa bababa b|cosa ba b 其中其中是是 与与 的夹角，的夹角，叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（在在 方向上）的方向上）的投影投影.并且规定，零向量与任一向量并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即的数量积为零，即 。ab|cos(|cos)bababa00a 1|cosOBb cos|bOAaOBb 作，过点，过点B作作1BBOA直线则则 的数量是的数
3、量是|b|cos1OB（不是向量）（不是向量）a b的几何意义：的几何意义：数量积数量积a b等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上投影的方向上投影|b|cos 的乘积。的乘积。为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0数量积的几何意义数量积的几何意义 OABbaB1B1OAB baOAB ba设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|)1(aeaae0)2(baba|;|)3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|
4、aaaaaa|或2a|cos)4(baba|)5(babaOAB abB1|c co os sa ab ba ab b 求模的方法求模的方法判断垂直的又一条判断垂直的又一条件件求求角角证明不等式及求函数的最值例例1.已知已知 ，的夹角的夹角=120=120，求求 。|5,|4abab 与与a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4()210=a ba b ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 数量积的运算规律：数量积的运算规律：不成立不成立 则：(
5、a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号确定；注意：注意：2、两个向量的数量积称为内积，写成 ;与代数中的数ab不同，书写时要严格区分；ba3、在实数中,若a0,且ab=0,则b=0；但在数量积中,若 ，且 ,不能推出 。因为其中cos有可能为00ba0a0b4、已知实数a、b、c（b0)，则有ab=bc得a=c.但是有 不能得cbbaca 5、在实数中（ab)c=a(bc),但)()(c
6、bacba典型例题典型例题222221)2(2)()()abaa bbababab （）(例例1.已知向量已知向量a，b,求证下列各式求证下列各式证明：（证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算|6,|4,60,(1)(2.(1052)(3)3ababbPaab例已知与 夹角为例求：）(2)2|.ab2222(2)(3)6cos672ababaa bbaabb 解：（1）.22(2)2442 37abaa bb
7、 3.1054|3,|4,.,()()Pababkakbakb例（例）已知且 与 不共线 为何值时？解：解：a+kb与与a-kb互相垂直的条件是互相垂直的条件是 （a+kb）（a-kb）=0即即a2-k2b2=0 9-16 =0所以，所以，k=2k340121212,602423e eaeebee 、已知单位向量的夹角为，求向量与的夹角例。012122121212122222212112222221211221cos602(2)(23)672.2(2)447(23)41297e eeea beeeeee eeaeeee eebeeee eea 解：又17cos220,3a bbab .3754
8、72,abababababab：已知都是非零向量，且与垂直，变式与垂直 求 与 的夹角。22222222023)(75)0(4)(72)0,7+16150,73080=112cos,60.2ababababaa bbaa bba b babba babb ：由已知，得（即两式相减，得2，代入上式，得解1.已知向量已知向量 和实数判断正误，并说理和实数判断正误，并说理.(1).(1).若若 ，则，则 中至少有一个中至少有一个为为 .2.2.若若b0，abcb，则，则a=c4.对任意向量对任意向量 a 有有22|aa3.(ab)c=a(bc)5.0().abb时，与 的方向相同巩固练习巩固练习,a
9、 b c 0a b,a b 02.已知已知ABC中中,AB=a,AC=b,当当 ab 0,ab=0时时,ABC各是什么各是什么三角形？三角形？当当a b0时，时，cos 0，为钝角三角形为钝角三角形当当a b=0时，时，为直角三角形为直角三角形巩固练习巩固练习3 3.在在ABCABC中中a=5,b=8,C=60a=5,b=8,C=60o o,求求BC CA 20思考：用向量方法证明：直径所对的圆思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。周角为直角。ABCO分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B ,A AO Oa a O OC Cb b ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba ab b 2 22 22 22 2|a ab ba ab b 22220 0rrrr即即 ，ACB=900CBAC(2009海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且 A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心OAOBOC ,0,NANBNC ,PA PBPB PCPC PAO N PABC 则点依次是的（）C课后作业:P108 18(习题).预习向量的数量积的坐标表示预习向量的数量积的坐标表示再见
