1、1 se(t)u L ,ss t cos L ,s t sin L ,a-s1 e L ,sn4.321 tL .,.s6 tL ,s2 tL ,s1 t L ,s1 1 L :公式 3.s a a2222 ta 1nn433222(0)y (0)y s.)0 (y s )0 (y s)0 y(s f(t)L s(t)f L ,)0 (y)0 (y s)0 y(s f(t)L s(t)f L ,)0 (y)0 y(s f(t)L s(t)f L ,)0 y(f(t)L s(t)f L 則有,存在 f(t)LF(s)若 :定理 4.)1n ()2n (3n2n1nn)n (232 3(s)F f
2、(t)t (L ,.(s)F f(t)t (L (s),F f(t)t (L ,(s)F f(t)t L 則有,存在 f(t)LF(s)若 :定理 6.a)-F(s f(t)e L 則有,存在 f(t)LF(s)若 空間的平移 s :定理 5.)n (n32 ta 4dt f(t)e e11 f(t)L 則有,f(t)P tf(亦即 P 的週期為 f(t)若函數 變換 Laplace 週期函數的 :定理 8.)a tf()t(uLF(s)e 則有,存在 f(t)LF(s)若 空間的平移 t :定理 7.ts P0P s as a 5 g(t)f(t)h(t)則有,G(s)F(s)H(s)且,存
3、在 h(t)LH(s),g(t)LG(s),f(t)LF(s)若 )Theoremn Convolutio(摺積定理 :定理 11.f(t)g(t)g(t)f(t):定理 10.的摺積 g(t)與 f(t)函數 稱為 d )tg(f(g(t)f(t)h(t)n Convolutio(摺積 :定義 9.t06 第二章 向量場與線積分以及面積分2.1 向量場以及向量微分與積分定義2.1.1 向量函數與向量場 倘若對空間內某一點集合之每一點 P 選定一向量 ,稱此向量在這些點有了一個向量場,而且稱 為向量函數。(P)V(P)V789定義 2.1.2 極限值存在 對一個向量 之每一鄰域 N 而言,存在
4、一 的去心鄰域 D 被包函於向量函數 之定義域內,使得 對每一 D 中的 t 而言皆在 N 中,則謂向量函數 在 的極限為 ,寫作 l0t)(tu(t)u0tl lttt)(u lim0(t)u10我們特別要注意的是:1.不一定要在 的定義域內。2.的定義域必須包含 的去心鄰域。3.若存在一向量 ,使得0t(t)u(t)u0tl lttt)(u lim0成立,則我們才能說)(u lim0ttt 存在。11定義 2.1.3 連續性 若(1)在 的定義域內;(2)存在;(3),則謂向量函數在 為連續。我們特別要注意的是:1.一定要在 的定義域內。2.倘若考慮 Cartesian 座標系,則 可以用
5、 0t(t)u(t)ulim0tt)(tu(t)ulim0tt0(t)u0t0t(t)u(t)u12k (t)uj(t)ui (t)u(t)u321來表示,而且若且唯若 在 為連續,則三分量 與 以及 在 為連續。(t)u(t)u1(t)u2(t)u30t0t13定義 2.1.4 可微分性 若極限t)t(u)t t(ulim(t)u0 t存在,則稱此向量函數 在點 t 為可微分,且向量 被稱為是向量函數 的導數。(t)u)t(u)t(u1415定理 2.1.1 向量函數的微分法則 (t)u 若 與 以及 均為向量函數,且 k 為任意常數,則我們有(t)v(t)w)wvu()w vu()wvu(
6、)wvu(5.vuvu)vu(4.vuvu)vu(3.vu)vu(2.uk)u(k 1.16定義 2.1.5 偏微分 若向量函數k )t,.,t,t(u j)t,.,t,t(ui )t,.,t,t(u)t,.,t,t(un212n212n211n21且 與 與 以及 對 n 個變數 而言均為可微分函數,則 對 的一階偏導數為 u1u2u3un21 t,.,t,tun,.,2 ,1m ,tm17n,.,2,1m ,k tu j tu i tutun,.,2,1m ;n ,.,2,1l k ttu j ttu i ttuttu2m322m222m122m2lm32lm22lm12im2我們要注意的
7、是,同理,我們也有二階導數其餘以此類推。k tuj tu i tutum3m2m1m18同理,若 與 與 以及 對 n 個變數 而言均為可積分函數 ,則 對 ,m=1,2,n 的偏積分為 u1u2un 21 t,.,t,tumtn,.2,1l ,k )t t u (j )t t u (i )t t u (t t u n,.2,1,m ,k )t u(j )t u(i )t u(t u lm3lm2lm1lm m3m2m1m其餘依此類推。3u19例2.1.1 若向量函數與 以及 j t2i t 3)t(u2 )wvu ()vu (k t2j t 5i t)t(w32 以及解:232 t12)k
8、t5i t(4)j t2i t 3 (v u567233223233232 t75 t16 t10 t4 t2 t2 t5 t5 t300t t t5 t20 t4 t5 t20 t3 t2 t 5 t t5 0 t 4 0 t2 t 3 )wvu(k t5i t 4)t(v3 )wv ()vu (,試求20k t20i )t5 t8 (i t25 k t5 t0 t4j t2 t t5 t4i t2 t5-t50 t2 t 5-t t5 0 t 4 k j i wvk t8 j t15 i t10 k 0 t4 t2 t3j t5 t40 t3i t500 t2 t5 0 t 4 0 t2
9、t 3 k j i vu254423233332334523323221k )t 40 t24(j )t25 t92(i )t100 t50()k t 40j )t52 t32(i t100()k t42 j t06 i t50()k t20j )t5 t8 (i t25()k t8 j t15 i t10()wv ()vu (t375 t96 t70 t24 )t75 t16 t10()t12()wvu ()vu (243344332342544345456567222例2.1.2 試求例題 2.1.1 裡的dt )wv ()vu (與dt )wvu ()vu (101081 )t75 t1
10、6 t10 t12(dt )t375 t96 t70 t24(dt )wvu ()vu (:解015672456101023k 28j 18i 35k )t20 t8 (j )t5 t23(i )t25 t10(dt )k )t 40 t24(j )t25 t92(i )t100 t50(dt )wv ()vu (01230154014524310341024定義 2.1.6 曲線的參數表示法 考慮 Cartesian 座標系,則向量函數k z(t)j y(t)i x(t)(t)r定義為一曲線 C 的參數表示法,而變數 t ,被稱為這個表示法的參數。Rt2526我們必須注意的是:1.對於實變數
11、 t 之每一固定值 而言,曲線 C 上 必有一點與之對應,且此點的位置向量為 0tk )z(tj )y(ti )x(t)(tr00002.參數表示法在許多應用問題上被使用,例如在 力學問題上,此時參數 t 被視為時間。273.空間曲線的其他形式的表示法為 0z),y ,G(x ,0z),y ,F(x (2)亦即改寫成 亦即表示兩曲面的交集即為一曲面。g(x)z ,f(x)y (1)k g(t)j f(t)it(t)r28定義 2.1.7 平面曲線與扭曲線 位於空間之一平面上的曲線被稱為一平面曲線,非平面曲線者則被稱為一扭曲線。1.k )t ba (j )t ba (i )t ba (bt a(
12、t)r332211表示通過位置向量為 之點 A 且具有方向為 之直線 L ,其中abk aj ai aa321 與均為常數向量。此直線 L 為k bj bi bb 32129tbazbaybax3322112.0z ,1byax2222表示 x y 平面上以原點 (0,0)為心且主軸在 x 與 y 軸上的一橢圓若 a=b ,則表示一以原點為圓心且半徑為 a 的一圓。2t0 ,j t cos bi t cos a(t)r3031定義 2.1.8 簡單曲線與非簡單曲線 一曲線上本身有彼此相交或接觸的點,這交點被稱為是曲線的多重點,而此曲線稱為多重曲線或非簡單曲線。無多重點的曲線稱為簡單曲線。例如,
13、橢圓與螺旋線均為簡單曲線,但是下面曲線函數不是簡單曲線。j )t t(i )1 t(t)r32323334例 2.1.3 試求經過 A(-3,1,-2)且方向為 之直線的參數表示式。kj 5i 3bk)t 2 (j)t 51 (i)t 33()k j 5i 3 (t)k 2j i 3(t)r例 2.1.4 試求經過點 A(3,-1,5)與點 B(1,4,-2 )之直線的參數表示式。解:解:k )t 75 (j)t 51(i )t 23 ()k7j5i2(t)k 5ji 3 (AB t)k 5ji3 (t)r35例 2.1.5 試求直線的參數表示式k)t 47413(j)t 4345(it k
14、z(t)j y(t)i x(t)(t)r解:令 ,則我們有直線的參數表示式為 t47413-z(t)與 t 4345-y(t)3zy 5 x2 ,2zyx R t,t x(t)x36 例 2.1.6 試求曲線的參數表示式k ej )sin t 23 (i )t cos 22(k z(t)j y(t)i x(t)(t)r)t cos 22 (即曲線的參數表示式為則我們有 解:令sin t 23y 與 t cos22xx22ez ,4)3y ()2 x(x22ez ,1)23y()22x()t cos 2 2 (ez(t),sin t 23y(t),t cos 22x(t)37定義 2.1.9 弧
15、長 若曲線 C 可以向量函數 來表示,則此曲線的長度為bta ,(t)rr)dtrdr 其中 (dt rr s(t)ta且函數稱為是曲線 C 的弧長函數或簡稱曲線 C 的弧長。)dtrdr 其中 (dt rr bal38定理 2.1.3若一平面曲線以 y=f(x),z=0 表示之,則 x=a 到 x=b 間的弧長為dx )y (1 2bal39 dt )(t)f (1dt rr f(x)f(t)y ,t x x(t)又)(t)f (1dt(t)ddt(t)drr (t)f dt(t)d f(t)t z(t)y(t)x(t)(t)的參數表示式為 0z ,f(x)y 平面曲線 :證明2ba2rrj
16、irjikjirl40例 2.1.7 試求圓螺旋線 由(a,0,0 )到(a,0,2c)的弧長。k t cjsint aicost a(t)r22 2022 2022 2022ca 2)dt 1 (ca dt ca dt rr carrdtrddtrd k cjcost aisin t adtrd :解l41例 2.1.8 試求平面曲線y=cosh x ,z=0 由 x=0 到 x=1 的弧長。解:1sinh dx cosh x dx )sinh x (1 dx )y (1 10102102l42定理 2.1.4 弧長 s 可以被用來當做曲線之參數表示式裡的參數，亦即2222)dz()dy (
17、)dx ()ds(dtrd dtrd )dt rr dtd()dtds()dtrdr 其中 (dt rr s(t):證明2ta2ta4322222222)dz()dy ()dx (rdrd)ds(或者得到)dtdz()dtdy()dtdx()dtds(k)dtdz(j)dtdy(i)dtdx(dt(t)rd k z(t)j y(t)i x(t)(t)r 44定義 2.1.10 切線 經過曲線 C 上一點 P 與另一點 Q 之直線 L ,當 Q 沿此曲線非常趨近於 P 時,則此直線 L 為曲線 C 上其一點 P 的切線。假設曲線 C 可以利用一連續微分的向量函數 表示,t 為任意參數。令點 P
18、與的位置函數為 與 ,則經過點 P 與 Q 的值線 L 與向量(t)r(t)r)t t(r)t(r)t t(r t1的方向相同。45定義 2.1.11 單位切線向量 向量函數t)t(r)t t(rlim)t(r0t稱為是曲線 C 在點 P 的切線向量,其方向為在 P 之切線的方向,而對應的單位向量rr u46稱為 C 在 P 的單位切線向量。47顯然,切線上一點 P 之切線的參數表示式為(P)r w(P)r(w)q此處 為曲線的位置函數,而 w 為一實數參數。(t)r4849例 2.1.9 試求曲線 在點kt jsin t i t cos(t)r)4,21,21 P(處之切線的參數表示式。k
19、)w4(j)w1 (21i )w1 (21 )k j 21i 21(w)k 4j 21i 21(w)q解:此曲線在點 P 之切線的參數表示式為kj t cosisin t (t)r 50 如果曲線 C 的向量函數表示為 ,其中 s為弧長,則()為一單位向量且(s)r/dsrd(s)rds(s)rd k dtdzj dtdyi dtdx(s)u dtdsk dtdzj dtdyi dtdx )dtdz()dtdy()dtdx(k dtdzj dtdyi dtdx(t)r(t)r(t)u 22251定義 2.1.12 曲率與單位主法線向量以及單位副法 線向量 若曲線 C 以一階導數與二階導數均存在
20、且連續的向量函數 表示,其中 s 為弧長,則 (s)r(s)u (s)1(s)p稱為曲線 C 的曲率 ,即表示曲線 C 彎曲的程度。若 則 方向的單位向量 00)(s)r (s)u(s)(s)u52稱為 C 的單位主法線向量,而向量(s)p(s)u(s)b稱為 C 的單位副法線向量。我們必須注意的是:為長度一定的向量函數,即 為常數(s)uc ,c(s)u 53 00 (s)1 )2(s)u (s)1 )2(s)u (s)u(s)1)(s)u (s)u (s)1(s)u (s)p 2 (s)u即 得證垂直於 且 垂直 。(s)u(s)u(s)p 54例2.1.10 試求半徑為 a 之圓的曲率。
21、解:半徑為 a 之圓的向量函數為as t t adt r r s(t)t0則弧長函數為2t0 ,jsin t ai tcos a(t)r j tcos a isin t adtrd(t)r55 半徑為 a 之圓的向量函數可改為a1j )as sin(a1i )as cos(a1(s)r (s)即得知曲率為 j )as sin(ai )as(cos a(s)r56定義 2.1.13 扭率 純量函數(s)b (s)p(s)被稱為曲線 C 的扭率,即表示曲線 C 扭轉的程度。我們必須注意的是:1.0)b ()b b 2()b b(1 b 我們得到57 我們得到 得證 垂直於0b b b b2.我們有
22、正交單位向量的右旋三元組u 1p p ub又我們得知 與 垂直且 與 垂直且 我們有 u b u b0ub58又u 我們有 得證 垂直於 3.因為 與 平行,故有p b p )p p (b p p b 2其中 為純量0 u bu b)u b (0u b b59取 ,則得到扭率(s)b (s)p(s)60例 2.1.11 試求向量函數為 )0c (k t cjsin t ai t cos a(t)r之螺旋線的曲率、單位主法線向量、單位副法線向量以及扭率。解:22222cac)t cos a ()sin t a(rr k cj t cos aisin t a)t(r lscas t t ca dt
23、 r r s(t)2222 t0 為弧長函數61 此圓螺線的向量函數可改寫為22cak s cj )s sin(ai )s cos(a(s)rllll 其中 。因此我們得到j )s sin(ai )s cos(a(s)r(s)uk cj)s cos(ai )s sin(a(s)r(s)u22lllllllll62曲率2222222caa a )s sin(a()s cos(a(s)r (s)u(s)lllll單位主法線向量j )s sin(i )s cos(s)u 1(s)pll63k aj )s cos(ci )s sin(c k)s sin()s cos()s cos(a)s sin(a
24、j0)s cos(c)s sin(ai0)s sin(c)s cos(a 0)s sin()s cos(c)s cos(a)s sin(a kji(s)p (s)u(s)bllllllllllllllllllllllllll單位副法線向量64222222222cacc )s (sin c)s (cos c )j )s sin(ci )s cos(c()j )s sin(i )s cos(s)(s)(s)bplllllllllll扭率j)s sin(ci )s cos(c(s)b 22llll65定義 2.1.14 速度向量與速率以及加速度向量 令 為在空間內運動之質點 P 的位置向量,其中 t
25、 為時間,則 表示質點的運動路線為 C 而且dtrd(t)r(t)V稱為此質點 P 運動的速度向量,其方向與曲線C 相切而指向質點 P 運動的瞬時方向,而純量函數rr66dtds(t)r (t)r (t)V 稱為質點 P 的速率。速度向量的導數稱為加速度向量22dt(t)rddtV(t)d(t)a因此加速度的大小可用 來表示,其方向與 垂直。(t)V (t)a (t)V67定義 2.1.15 向量函數被稱為純量函數 f 的梯度,其中 (讀成 nabla 或 del )為微分算式。k zj yi xk zfj yfi xfff grad68 梯度符號 在工程文獻裡常被看到。因為純量函數 f(x,
26、y,z )偏導數為 f 在三角座標軸方向的變化率,為了想要尋找 f 在任意其他某方向的變化率,因此我們就有了方向導數的構想。為了定義方向導數,我們選定空間內的一點 P 以及一方向,此方向由單位向量 表示,令 C 為自點 P 指向 方向的射線,且令 Q 點距離 P 點的距離為 s ,如圖 2.1.7 所示。因此,如果極限fbb69sf(P)f(Q)limPsf0s則稱此數為 f 在 P 點之沿 方向的方向導數。顯然,的另一符號為 bsffDb其中 D 表示微分而 表示方向。倘若點 P 的位置向量 ,則射線 C 可以表示為ba70)1 b (fb)k zfj yfi xf ()k dsdzj ds
27、dyi dsdx (sf 而且 f 有連續一階偏導數得知因此我們得到bk dsdzj dsdyi dsdx(s)r 0)(s b sa k z(s)j y(s)i x(s)(s)r dsdzzfdsdyyfdsdxxfsf7172定義 2.1.16 方向導數 函數 f 在 P 點之沿 方向的方向導數為b 1 b ,)P (f bPsf 73例 2.1.12 試求 在點 P(2,-1,3)沿向量 的方向 導數 。解:222zy 3 x2 )z ,y ,x(f k 3j 2ais/f k 143j 142i 14114k 3j2i a ab 3)2(1 a 且 k 6j 6i 8f(P)k z 2
28、jy 6i x 4f 222 我們有方向導數為741438 )k 6j 6i 8 ()k 143j 142i 141(bf(P)Psf75例 2.1.13 試求 在點 P(0,0,1)於 方向的方 向導數。解:xzzy yx eeez),y ,f(x k 2j 2iajif(P)k )ex ey (j )e ze x(i )e zey (f xzzy zy yx zxyx 又 k 32j 32i 31 a ab76 我們得到13231 )k 32j 32i 31 ()ji(bf(P)f(P)Psf77例 2.1.14 自點 P(2,1,-1)處出發,欲使 為最大,則方向應指向何方?且其方向導數
29、之最大值為多少?解:22zy xz),y ,f(x k12j4i 4f(P)k zy x3jz xi zy x 2f 22323的夾角 b 與 f(P)為 其中cos b f(P)bf(P)Psf 方向導數 78k17612j1764i1764 )12()4()4(k 12j4i4b222當 方向指向時,f(x,y,z)的方向導數為最大,其大小為f(P)176(12)4)(4)(f(P)Psf 22279例 2.1.15 若 試求函數 f 使得 。解:我們有k )zy x3(j x)2z (i )z 3y 2 ()z,y,x(Vfz),y ,(x Vzy x3zf x2zyf )z 3y 2(
30、xf k zfj yfi xff80 z)h(y,z x 3y x 2z)y,f(x,x z)3y 2 (z)y,f(x,把上式對 y 作偏微,亦即k(z)zy z)h(y,zyz)h(y,z x2yz)h(y,x2yz)y,f(x,8112cz 21zy z x 3y x 2z)y,f(x,把上式對 z 做偏微,亦即亦即我們得到k(z)zy z x 3y x 2z),y ,f(x 為常數 c ,cz 21k(z)zdzdk(z)zy x3dzdk(z)y x3yz)y,f(x,11282定理 2.1.4 令 為一純量函數,其一階偏導數為連續,若 f 在點 P 的梯度 不為零向量,則其長度與方
31、向僅與點 P 有關而與座標系的選擇無關。z)y,f(x,f(P)f(P)83定義 2.1.17 切平面與法線 若考慮在曲面 s 上經過一點 P 之各方向的曲線,則這些曲線在 P 點的切線必定位於同一平面上,此平面在 P 點與曲面 s 相切,而稱為曲面 s 在點 P 的切平面。經過 P 點且與切平面垂直的直線稱為曲面 s 在點 P 的法線。8485定理 2.1.5 令 f 為空間一區域 D 內所定義且可微分的一純量函數,令 P 為 f 之等值曲面上之 D 內的任意點。若 f 在點 P 的梯度不為零向量,則此梯度的方向則為點 P 所在之曲面的法線方向。86例 2.1.16 試求迴轉錐面 在點 P(
32、1,0,2)的單位法線向量與切平面方程式。解:令 則 單位法線向量)y x(4z222222z)y x(4)zy,x,f(02y x2 即 02)(z00)(y1)(x 2 切平面方程式為 j51i52 f(P)f(P)nk 4i 8f(P)kz 2jy 8i x 8f87定義 2.1.18 散度 令 為可為分向量函數,而 x,y,z 為空間內右旋 Cartesian 座標系,且令zvyvxv )k vjvi v()k zj yi x(VVdivk )zy,x,(vj )zy,x,(vi )zy,x,(vz),y ,(x V321321321則函數稱為向量 的散度或以 所定義之向量場的散度。V
33、Vz),y ,(x V88定義 2.1.19 旋度 令 x,y,z 為空間內右旋 Cartesian 座標系,且令k v v y x j v v z x i v v z y v v vzy x k j i VV curlk z)y,(x,vj z)y,(x,vi z)y,(x,vz)y,(x,V213132321321為亦可為分向量函數,則函數89k )yvxv(j )xvzv(i )zvyv(123122稱為向量 的旋度或以 所定義之向量場的旋度定理 2.1.6 散度之不變性 散度之值與空間內座標系的特殊選擇無關。定理 2.1.7 旋度之不變性 旋度之長度與方向與空間內座標系的特殊選擇無關。
34、VV90例 2.1.17 若 試求 與 。解:23222)zy x)(k zjy i x(z)y,(x,VVcurl Vdiv 0)zy x(z (z )zy x(y (y )zy(x x(x z)y,(x,V)k zj yi x(VV div k)zy x(z j)zy x(y i )zy x(x z)y,(x,V 23222232222322223 22223 22223 22291k )zy(x x(y)zy x(y (xj )zy(x x(z)zy x(z (xi )zy(xy (z)zy(x z (y)zyz(x )zyy(x )zyx(x z y x k j i VV curl23
35、2222322223222232222322223222232222322223222 92k 0j 0i 0k )zy(xy x 2)zy x(y x 2 )23(j )zy(x x z 2)zy x(z x 2 )23(i )zy(xy z 2)zy(x zy 2 )23(23222252222522225222252222522293 習 題一.試求下列各向量函數 對於 x,y,z 的一階偏導數:z)y,(x,ukjiukjiu ysece xtane zcosez)y,(x,2.yxz xz yz y xz)y,(x,1.xz 1zy y x 23223222294二.若向量函數 以及
36、 試求 t4 t2 t3(t)kjiu32,t5 t 4(t)jiw2 )()(2.)()(.1wvvuwvuvu三.試求經過點 A 且方向為 之直線的參數表 示式。bkjibkjib 3 2 ,)2 ,3,1 A(.2 3 2 ,)1 ,3 ,2 A(.1jiv t 3 t 與295四 試求下列直線的參數表示式:1zy 2 x,2z 3y x2 2.0z 2y 3 ,1zy 2 x.1五 試求下列曲線的參數表示式:222222xz ,4)2y ()3 x(2.xz ,1y 4 x1.96六.試利用式子球出半徑為a之圓周長。七.試求下列各曲線的弧長:1.半立方拋物線 至 (4,8,0)。2.圓
37、之漸伸線 從(1,0,0)到(-1,0)。八.試求下列各曲線在已予 P 點處之切線的參數表示式:)0 ,0 ,0 (從 0z ,xy23jir)t cost sin t()sin t t cost(t)97)1 ,2 ,1 P(,t t2t(t)2.)6 ,23 ,3 P(,t sin t 3 t cos 2(t)1.kjirkjir32九.設 為一運動質點的位置向量,其中 t 為時間,試描述此質點運動路線的幾何形狀 ,並求其速度向量、速度及加速度向量。(t)rjirkjir e 4 e 2(t)2.)t2 (t2 )t1 (t)1.t t33398十.試求下列各 其 f 等於十一.試求純量函
38、數 f ,使得十二.自點 P(2,-1,2)處出發,欲使 之方向導數為最 大值,則方向應指向何方?且其方向導數之 最大值為多少?fx z coszy tan y x secz)y,f(x,1.:fVkjiV)y 2 x2()z 2 x3 ()z 2y 3 (z)y,(x,1.z y x3y x4z)y,f(x,222299十三.試求下列各已知平面在平面在點 P 的單位 法線向量。)4-,1 ,3 P(,9)2z (y)1-x(2.)1 ,2 ,2 P(,10z 2y x1.222222十四.試求下列各向量函數 的散度 與旋度。z)y,(x,VkjiVkjiV x z sec zy tan y
39、sin x 2.e e e 1.xz zy y x 1007.2 線積分與面積分定義2.2.1 平滑曲線 倘若C為簡單曲線且其表示為kjir z(s)y(s)x(s)(s)其中s為C的弧長且 。如果為連續且對於所有的s而言 存在且連續,則稱C為一平滑曲線,亦即,曲線C上的每一點均有唯一的切線,此切線的方向將沿著曲線進行而連續地改變。bsa(s)r (s)r101定義2.2.2 線積分與積分路線 若 f(x,y,z)為s的連續函數且在平滑曲線C上的每一點都被定義,則in1iiiinCs)z ,y,xf(lim)ds z ,y ,x(f被稱為函數f沿C自A至B的線積分,A與B分別為曲線C的始點與終
40、點，曲線C被稱為積分路線。102定理 2.2.1 若 f 與 g 均為連續函數,且其在平滑曲線 C上的點都已被定義,則,ds f cds f cds f c (d)Rk ,k ,ds g c kds f c kds)g k f k(c (c)ds g cds f cds)gf (c (b)Rk ,ds f ckds fk c (a)21212121其中二弧 與 具有與 相同的定向。C C C21103例 2.2.1 試計算 之值,其中 C 為橢圓 之 部份解:我們有ds y x c22s0 j ssin 3i s cos 2(s)r2 s0 ssin 3(s)y ,s cos 2(s)x 6)
41、0sin-2sin(6)ssin 31(18ds s)cos ssin(18ds )ssin 3 )(s cos 2 (02ds y x c3320320222104例 2.2.2 試計算 ,其中 C 為橢圓螺線自點 A(1,0,0)至點 B()之部分。解:ds )z 3y x(c222kjir t 2sin t t cos(t)3,21,235 dtds 52)tcos()sin t (6t0 ,2)t cos()sin t (t)rrrrkjir222105)66 18 (5dt )1 t12 t36(5dt dtds )t 61 (ds )z 3y x(c 222062062222222
42、222)t 61 (t 6)sin t ()t cos()z 3y x(且 C 對應於 有6t0106例 2.2.3 試計算 ,其中 C 為 x y 平面 上之直線自點 A(2,1,0)至 B(1,-2,0)的線段。解:線段 C 可表示為ds )y x(c32dt 10 ds 10 dtds 且 10)3()1(3 (t)1t0 ,)t 31 ()t 2 ()3(t )2 (t)rrrrjirjijijir22107以及在 C 上有我們得到1217 )t 4t21 40t31 145 t41 225t 51135 t6127(10 dt )4 t40 t145 t225 t135 t27(10
43、dt dtds )t 31 ()t 2 (ds )y x(c1023456234501220122 3232)t 31 ()t 2 (y x108例 2.2.4 試計算 其中 C 為在平面 z=2 之內 (a)拋物線 自點 A(1,1,2)至點 B(2,4,2)的弧。(b)直線 y=x 自點自點 A(1,1,2)至點 B(2,2,2)的線段。解:(a)我們有)dzy xdy x zdx z y(c2222xy2z ,xy 2109亦即0dz ,dx x 2dy x 2dxdy15466)x38 x52()dx x8 x2 ()dx x 2 x4dx x2 ()dzy xdy x zdx z y
44、 (c21352412412222110(b)y=x ,z=2 我們有 亦即 0dz ,dx dy 1dxdy332dx)x 4 x2 ()dzy xdy x zdx z y (c212222111例 2.2.5 試計算 ,其中 C 的路線為:沿 x 軸,由點(0,0)到點(1,0),再平行 y 軸,由點 (1,0)到點(1,1)。解:1.沿 x 軸,由點 (0,0)到點 (1,0)時 曲線 可表示為 ds)y 2 x(c221C22221t0ty 2 x上有 C 以及dt ds 1 dtds 且 1t0 ,t (t)rririr1122.沿平行線 y 軸,由點(1,0)到點(1,1)時 曲線
45、 可表示為2C22222 t2 t20y 2 x上有 C 以及dt ds 1dtds 且1t0 ,t (t)jr我們得到31dt tds )y 2 x(c201221113我們得到由1.2.得知32dt t2 01ds )y 2 x(c 222113231 ds )y 2 x(cds )y 2 x(cds )y 2 x(c22222122114定理 2.2.2 Greens 定理(不在平面上用法)令 R 為 x y 平面上之有界封閉區域,其邊界C 由有線多條平滑線曲線所構成。令函數f(x,y)與 g(x,y)在包函 R 之某定義域內的每一點均為連續,且其偏導函數 與 亦均為連續,則我們有其中以
46、反時針方向沿 R 的整個邊界 C 積分為正方向積分。xg/y f/)dy gdx f (cdydx )yfxg(R115例 2.2.6 (a)試利用 Green s定理 ;(b)以直接積 分法計算 其中 C 為正方形 的邊界且 以 反時針方向為其正方向。)dy x 3dxy(c21y0 ,1x0解:(a)由 Greens 定理 得知 與 g(x,y)=3 x ,則2y )y ,x f(2dx 2 dx)yy 3 (dxdy )y 23 ()dy x 3dx y (c011020101012y 23yfxg116(b)(1)沿 x 軸,由點 (0,0)到點 (1,0)時 且 我們有 (2)沿平行
47、線 y 軸,由點 (1,0)到點 (1,1)時 且 我們有1x00)dy x 3dx y(c211y00dy 3 01)dy x 3dx y(c220dy 0y 0dx1x117(3)沿平行線 x 軸,由點 (1,1)到點 (0,1)時 且 我們有 (4)沿 y 軸,由點 (0,1)到點 (0,0)時 且 我們有1x01dx 1 )dy x 3dx y(c10231y00)dy x 3dx y (c24 0dy 1y 0dx 0 x118由 (1)(2)(3)(4)得知20130)dy x 3dx y )(cccc ()dy x 3dx y (c243212119例2.2.7(a)試利用 Gr
48、eens 定理;(b)以直接積分 法計算)dy )yx x2(dx y(c223其中 C 為 與 y=x 所圍成區域的邊界且以反時針方向為正方向。解:(a)由 Greens 定理 得知 與,則2xy 2y )y ,x f(33yx x2 )y ,x g(232y 3y x6yfxg1201260271)x9141 x71 x51423 x45(dx)x41x x423 x5 (dx)yy 41y x6 (dx)dy y 3y x6(xx 109754864301xx342012322012原式121(b)(1)沿 曲線,由點 (0,0)到點 (1,1)時,我們有 315367dy)yy 2y
49、21()dy )yx x2 (dx y(cdy y 21dy x121dx dx x 2dy27232501333121 2 xy 122由 (1)(2)得知12602712019315367)dy )yx x2 (dxy ()cc()dy )yx x2 (dx y (c33321333(2)沿曲線 y=x 由點 (1,1)到點 (0,0)時,我 們有2019-dx )x x3 (10)dy )yx x2 (dx y (c433332123例 2.2.8 (a)試利用 Greens 定理 ;(b)以直接積 分法計算)dy )x 2e 31(dx)y e 31(cyx其中 C 為橢圓 的邊界且以
50、反時針方向為正方向。4y 4x22124解:(a)由 Greens 定理 得知 與 ,則ye 31)y ,x f(x x2e 31y)g(x,y3)1(2yfxg 6dy y1 24 dydx )12(4原式 201024y401125(b)x=2 cos t ,y=sin t ,在 C 上我們有 2t0 631e 31)t 2sin t2 e 31 t2sin 21te31(dt)t cos 4 tcos e31tsin 2sin t e 32()dt cost )(t cos 4e31()dt sin t 2()sin t e 31(原式2 20sin t tcos 22sin t2 tc
