1、1融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，感受数学之融入数学文化，感受数学之美，培养学生科学思维方法美，培养学生科学思维方法和创新能力和创新能力郑连存郑连存北京科技大学数理学院北京科技大学数理学院2融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力 我来自北京科技大学，一直从事高等数学和我来自北京科技大学，一直从事高等数学和数学分析的教学工作，数学分析的教学工作，我今天所探讨的主要是我今天所探讨的主要是如何在平时的数学课堂上，在讲授数学知识的过如何在平时的数学课堂上，在讲授数学知识的过程中，去渗透数学文化的教育，去传播数学思想、程中，去渗透数学文化的
2、教育，去传播数学思想、数学精神，引导学生去感受数学之美，激发对数数学精神，引导学生去感受数学之美，激发对数学的兴趣，热爱数学，逐步培养数学思维方法和学的兴趣，热爱数学，逐步培养数学思维方法和应用数学的能力，学好数学。主要就两个方面与应用数学的能力，学好数学。主要就两个方面与大家进行交流。大家进行交流。3融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力一、追踪溯源一、追踪溯源,加强知识起源和背景的教学加强知识起源和背景的教学 客观物质世界为人类一切想象的数量关系，发现和创客观物质世界为人类一切想象的数量关系，发现和创造提供了不竭的源泉。数学中许多知识的产生都有其深刻造提供了不竭的源泉
3、。数学中许多知识的产生都有其深刻的实际背景的实际背景,教师在教学工作中一定要时刻注意引导学生教师在教学工作中一定要时刻注意引导学生对问题进行追溯对问题进行追溯,使学生使学生了解了解相关数学知识的起源和发展相关数学知识的起源和发展，并运用所掌握的知识能动地作出发现。这个过程其实就，并运用所掌握的知识能动地作出发现。这个过程其实就是在向学生进行数学文化的教育。是在向学生进行数学文化的教育。以格林公式教学来谈自己的一点体会。以格林公式教学来谈自己的一点体会。4融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力 历史上历史上,流体力学为数学上很多发现提供了丰富的源流体力学为数学上很多发现提供
4、了丰富的源泉。很多著名的科学家如泉。很多著名的科学家如欧拉、牛顿、高斯、拉格朗日、欧拉、牛顿、高斯、拉格朗日、柯西、伯努利、付里叶、斯托克斯柯西、伯努利、付里叶、斯托克斯等都曾投身于流体力学等都曾投身于流体力学的研究，数学中许多非常深邃、漂亮的结果都来源于流体的研究，数学中许多非常深邃、漂亮的结果都来源于流体力学，教师在教学工作中介绍一些力学，教师在教学工作中介绍一些知识的起源和背景知识的起源和背景对学对学生数学学习很有帮助。生数学学习很有帮助。在讲授格林公式时，不按传统教科书直接给出公式，在讲授格林公式时，不按传统教科书直接给出公式，而是引导学生而是引导学生先先研究流过平面上由简单闭曲线围成
5、的区研究流过平面上由简单闭曲线围成的区域流量域流量计算计算，在此基础上，在此基础上引出格林公式并给出证明。引出格林公式并给出证明。5融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力xyo(,)v x yL 平面中存在不可压缩流体的一个稳态流动平面中存在不可压缩流体的一个稳态流动,速度场为速度场为(,)(,)(,)v x yP x y iQ x y j L 是速度场中的一条是速度场中的一条(无重点无重点)光滑闭曲线光滑闭曲线,(,),(,)P x yQ x y都在都在L 围成的闭区围成的闭区域域 D 有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数 流体流体面积面积单位时间流过曲线单位时间流过曲线
6、L L的流量：的流量：(sincos)dLMPQs ddLP yQ x 平面中流过某一闭区域的流量的计算平面中流过某一闭区域的流量的计算6融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力流场内每个微元流场内每个微元dxdyxyoL(,)v x yPxPP dx(,)xdx ydy(,)x y(,)xdx y x 轴方向轴方向左边左边：右边：右边：Pdy()PPdx dyx 净净：()xPdyPdyPP dxdxxdy 单位时间内散发出去的流量单位时间内散发出去的流量y 轴方向轴方向()QQdxQdxdxdyyQdyy 流场内每个微元流场内每个微元()d dDPQx yxy 比较两种
7、流量计算，得到公式比较两种流量计算，得到公式 d ddd LDPQx yP yQ xxy7融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力可以得到流体力学中重要的流函数可以得到流体力学中重要的流函数 dddddxyv xu yxy uvxy 不可压缩流体质量守恒方程不可压缩流体质量守恒方程(,)，u v设二维稳态不可压缩流动的速度场为设二维稳态不可压缩流动的速度场为0yvxu改写为改写为 将描述将描述还得到速度分量和流函数的关系：还得到速度分量和流函数的关系：,.uvyx 由曲线积分的知识由曲线积分的知识,上式可以看成上式可以看成:udyvdx 为某个函数全微分的充分必要条件，为某
8、个函数全微分的充分必要条件，以以得到流体力学中流函数：得到流体力学中流函数：表示该函数，表示该函数，(,)x y 8融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力(1)将格林公式中流体流过有向闭曲线围成的平面闭将格林公式中流体流过有向闭曲线围成的平面闭区域推广到流体流过空间闭曲面围成的空间闭区域得区域推广到流体流过空间闭曲面围成的空间闭区域得到著名的到著名的高斯公式；高斯公式；进一步联想、追溯和推广进一步联想、追溯和推广(2)将将格林公式中空间一片曲面上的曲面积分与沿着格林公式中空间一片曲面上的曲面积分与沿着该曲面的边界曲线积分建立联系该曲面的边界曲线积分建立联系,则得到著名的则
9、得到著名的斯斯托克斯公式托克斯公式。9融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力二、引导学生感受数学之美，培养学生二、引导学生感受数学之美，培养学生科学思维和创新能力科学思维和创新能力 在课堂教学过程中始终注意创设能激起学生新在课堂教学过程中始终注意创设能激起学生新异感的问题情景，引导学生能从一个问题出发，沿异感的问题情景，引导学生能从一个问题出发，沿着各种不同的途径去思考，发现多种关联问题及寻着各种不同的途径去思考，发现多种关联问题及寻求解决方法，求解决方法，感受数学之美，感受数学之美，使学生的思维不断上使学生的思维不断上升到更高的阶段，培养学生科学思维和创新能力升到更高的
10、阶段，培养学生科学思维和创新能力.从中值定理中一个导数值等式证明谈体会从中值定理中一个导数值等式证明谈体会.10融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力中值定理中值定理BAyC()yf xxbao BAyC()yf xxbao 罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理()()xg tyf t 11融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力例：例：证明存在两点证明存在两点使得使得在在上可导上可导,分析：分析：(1)中值定理的选择中值定理的选择(2)涉及两个点的导数值涉及两个点的导数值(3)需要需要补充一个点函数值补充一个点函数
11、值 设设yxo()yf x 11c()fc (0)0,(1)1，ff12,(0,1),x x0,112112.()()fxfx()f x12融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力 11()(0)(),(0,)0 ffcfxx 22(1)()1(),(,1)11 ffcfxx+12111()()1 fxfxcc.2 12(0)0,(1)1,112()()fffxfx1.2 c c1cc若若(0,1),寻找一值寻找一值(01),cccc使得使得(),fc13融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力12(0)0,(1)1,112()()fffxfx+1211
12、22.()()2（1-）fxfx(0,1),由介值定理，存在由介值定理，存在1(),2 f使得使得证明：证明：11()(0)1(),(0,)02 fffxx22(1)()1(),(,1)12(1)fffxx由由Lagrange 中值定理，中值定理，故故 14融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力12111112()2()fxfx可以联想到哪些可以联想到哪些问题？问题？思考思考:恒等变形恒等变形12(0)0,(1)1,112()()fffxfx12121,()()fxfx+=121.12=a aababb babab 命题命题 1(0,1)12,，x x证明在证明在内存在两
13、点内存在两点使得使得 对任意对任意,a bRa bR12111.()()abab fxab fx()f x0,1(0)0,(1)1,ff在在上可导上可导,设函数设函数15融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力 11()(0)(),(0,)0 ffcfxx 22(1)()1(),(,1)11 ffcfxx+121111(1)()()1fxfxcababaababcbab 分析分析：.a ac cabab1 12111()()abab fxab fx(),fc(0,1)01，c c假设假设16融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力12121()()fxf
14、x12(+=1)+3121231()()()fxfxfx123(+=1)联想联想 2（多个点多个点的加权平均）的加权平均）分析：分析：补充两个点函数值，插入补充两个点函数值，插入 两两 个点个点01 a ab b，应用应用 Lagrange 定理定理.(0,),(,),(,1)aa bb在在分别分别已知两个点函数值已知两个点函数值(0)0,(1)1,ff需要需要17融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力几何观察几何观察 y()yf xxo3 11a1 2 b11tan 22tan 33tan 3121231()()()fxfxfx11()niiifx1(=1).n ni
15、ii i命题命题2 2 由学生自己写出由学生自己写出 n 个点情况的命题并证明个点情况的命题并证明1 2 3 3121231tantantan BA+112(),().f af bC+3121231()()()fxfxfx18融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力()f f x x0,1(0)0,f f 12,n nk k k kk k(0,1)12,n nx x x xx x11()nnnni ii iiiiii ik kk kf xf x 命题命题3 设函数设函数在区间在区间上可导，且上可导，且，为为n个不同正数，证明在个不同正数，证明在n个不同的数个不同的数，使得，
16、使得(1)1f f 内存在内存在证明证明:利用命题利用命题2，令令1=.i ii in ni ii ik kk k 1=1n ni ii i 去掉会有什么结果？去掉会有什么结果？联想联想3 若将条件若将条件=1niiM ，思考思考1()?niiifx 11()niiifx19融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力联想联想 4 4（函数值变化）（函数值变化）(1)1 f(1)(0)fa会有如何描述？会有如何描述？类似分析，可以得到：类似分析，可以得到：12112.()()fxfxa()f x(0)0,(1)ffa 命题命题4 4 设设在区间在区间0,1上可导上可导,内存在两
17、点内存在两点(0,1)12,x x证明在证明在使得使得 (0),a a 1211()()fxfx？例题类似，取例题类似，取=(2.)af 证明证明20融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力0,1()f f x x(0),(1)f fa a f fb b (0,1)12,x xx x12112()()f xf xbaf xf xba 命题命题5（函数值变化拓展）：设函数（函数值变化拓展）：设函数在区间在区间上可导，且上可导，且，证明在，证明在内存在两点内存在两点使得使得 (0)0,(1)1f ff f (0),(1)f fa a f fb b ，联想联想5：若将条件：若将条
18、件 改为改为会有什么结果？会有什么结果？()2abf 。证明和例题完全类似，只要取证明和例题完全类似，只要取21融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力 1(0)0,(1)1,1()niiiFFFx联想联想 6 6（拓展到复合函数）（拓展到复合函数）函数函数()f x复合函数复合函数()F f x1()1.()niiiif xfx()ln(),F xf x例：例：取取 满足命题满足命题2，有什么描述？，有什么描述？命题命题6 6(0,1)12,，nx xx则在则在内存在内存在 n 个不同点个不同点使得使得12,n=11,nii为为 n 个正数，个正数，(0)1,(1),ff
19、e0,1()f x为定义在区间为定义在区间 上的上的正值可导函数正值可导函数，设设22融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力lnln(),sin(),()tan(),arctan().f xf xF xf xf x 类似还可以做出很多联想，例如：类似还可以做出很多联想，例如：若函数用参数形式表示，则推广到柯西中值定理若函数用参数形式表示，则推广到柯西中值定理.23融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力1120112()()()df xf xf xf xf xxf xx 010()d()()dx xf ttf ttF xF xf ttf tt ，()f
20、 f x x 0,1x x(0,1)12,x xx x，命题命题7（复合函数拓展）：（复合函数拓展）：设函数设函数为定义在为定义在的非负可积函数，则的非负可积函数，则在在内存在两个不同的点内存在两个不同的点使得使得其中其中考虑到考虑到()()F F y yF F f f x x 用积分表达，可以得到如下命题用积分表达，可以得到如下命题24融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力 考虑到考虑到 n 个点，有：个点，有：()f f x x0,112,n nk k k kk k，(0,1)12,n nx x x xx x，1110()()dn ni in niiiii ii ik
21、 kk kf xf xf xxf xx 命题命题8 设函数设函数为定义在区间为定义在区间上的非负可上的非负可 积函数积函数为为 n 个不同正数，证明在个不同正数，证明在n 个不同的点个不同的点 使得使得 内存在内存在010()d()()dx xf ttf ttF xF xf ttf tt 25融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力101()di ii in ni ii ikf xxkf xxk k 将上式两端都除以将上式两端都除以110()dn ni ii ik kf xxf xx ，并令并令得到：得到：11()n ni ii ii if xf x ，()f f x x0,1命题命题9（复合函数拓展）（复合函数拓展）设函数设函数为定义在区间为定义在区间上的非负可上的非负可 积函数积函数,(0,1)同的点同的点12,n nx x x xx x，则在区间则在区间 使得使得12,n n 其中其中为正数。为正数。101=()dn ni ii if xxf xx 内存在内存在n个不个不并且并且26融入数学文化，培养科学思维能力融入数学文化，培养科学思维能力谢谢 谢谢 大大 家家
