1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (三十九 ) 直接证明与间接证明 基础巩固 一、选择题 1设 a、 b R，若 a |b|0，则下列不等式中正确的是 ( ) A b a0 B a3 b30 解析 a |b|0， |b|0. a0. 答案 D 2 “ a 14” 是 “ 对任意正数 x，均有 x ax1” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 既不充分也不必要条件 解析 当 a 14时， x14x2 x14x 1，当且仅当 x14x，即 x12时取等号；反之，显然不成立 答案 A 3已知 m1， a m 1 m， b m m 1，则以下结论正确的是 ( )
2、A ab B a m m 10(m1)， 1m 1 m1； a b 2； a b2； a2 b22； ab1. 其中能推出： “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 ( ) A B C D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 若 a 12， b 23，则 a b1， 但 a2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 ab1，故 推不出； 对于 ，即 a b2，则 a， b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a1 且 b1 ， 则 a b2 与 a b2 矛盾， 因此假设 不成立， a， b 中至少有一个大于 1. 答案 C 5分析法又称执果索因法，若用分析法证明： “ 设 ab
3、c，且 a b c 0，求证 b2 ac0 B a c0 C (a b)(a c)0 D (a b)(a c)0 ?(a c)(2a c)0?(a c)(a b)0. 答案 C 6设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递减，若 x1 x20，则 f(x1) f(x2)的值 ( ) A恒为负 B恒等于零 C恒为正 D无法确定正负 解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递减，可知 f(x)是 R上的减函数 由 x1 x20，可知 x1 x2，则 f(x1)b0， m a b， n a b，则 m， n 的大小关系是_ =【 ;精品教
4、育资源文库 】 = 解析 解法一 (取特殊值法 )：取 a 2， b 1，则 m a?a0，显 然成立 答案 m0， b0，如果不等式 2a 1b m2a b恒成立，则 m 的最大值为 _ 解析 因为 a0， b0，所以 2a b0.所以不等式可化为 m ? ?2a 1b (2a b) 52? ?ba ab .因为 5 2? ?ba ab 5 4 9，即其最小值为 9，所以 m9 ，即 m 的最大值等于 9. 答案 9 三、解答题 10设 a， b， c 均为正数，且 a b c 1，证明： (1)ab bc ac 13； (2)a2bb2cc2a1. 证明 (1)由 a2 b22 ab， b
5、2 c22 bc， c2 a22 ca， 得 a2 b2 c2 ab bc ca. 由题设得 (a b c)2 1，即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1. 所以 3(ab bc ca)1 ，即 ab bc ca 13. (2)因为 a2b b2 a，b2c c2 b，c2a a2 c， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 a2bb2cc2a (a b c)2( a b c)， 即 a2bb2cc2a a b c.所以a2bb2cc2a1. 能力提升 11已知函数 f(x) ? ?12 x， a， b 是正实数， A f? ?a b2 ， B f( ab)， C f? ?2aba
6、b ，则A， B， C 的大小关系为 ( ) A A B C B A C B C B C A D C B A 解 析 a b2 ab 2aba b，又 f(x) ? ?12 x 在 R 上是减函数， f? ?a b2 f( ab) f? ?2aba b . 答案 A 12设 x， y， z (0， ) ， a x 1y， b y 1z， c z 1x，则 a， b， c 三数 ( ) A至少有一个不大于 2 B都大于 2 C至少有一个不小于 2 D都小于 2 解析 a b c x 1x y 1y z 1z2 2 2 6，所以至少有一个不小于 2.故选 C. 答案 C 13已知非零向量 a， b
7、，且 a b，求证： |a| |b|a b| 2. 证明 a b， a b 0， 要证 |a| |b|a b| 2， 只需证 |a| |b| 2|a b|， 只需证 |a|2 2|a|b| |b|22( a2 2a b b2)， 只需证 |a|2 2|a|b| |b|22 a2 2b2， 只需证 |a|2 |b|2 2|a|b|0 ， 即 (|a| |b|)20 ， 上式显然成立，故原不等式得证 14已知函数 u(x) lnx 的反函数为 v(x)， f(x) x v(x) ax2 bx，且函数 f(x)在点 (0， f(0)处的切线的倾斜角为 45. (1)求实数 b 的值； =【 ;精品教
8、育资源文库 】 = (2)若 a0)无零点 解 (1)因为函数 u(x) lnx 的反函数为 v(x)，所以 v(x) ex， 所以 f(x) xex ax2 bx，所以 f( x) ex xex 2ax b. 因为函数 f(x)在点 (0， f(0)处的切线的倾斜角为 45 ，所以 f(0) tan45 1， 即 e0 0e 0 2a0 b 1，解得 b 0. (2)证明：由 (1)知， f(x) xex ax2. 假设函数 f(x) xex ax2(x0)有零点， 则 f(x) 0 在 (0， ) 上有解，即 a exx在 (0， ) 上有解 设 g(x) exx(x0)，则 g( x)ex xx2 (x0) 当 01 时， g( x)0. 所以 g(x) g(x)min g(1) e，所以 ae ，但这与条件 a0，证明： a2 1a2 2 a 1a 2. 证明 要证 a2 1a2 2 a 1a 2， 只需证 a2 1a2 2 a 1a 2. a0， 两边均大于零， 只需证 ? ? a2 1a2 2 2 ? ?a 1a 2 2， 即证 a2 1a2 4 4 a2 1a2 a2 1a2 2 2 2 2? ?a 1a ， 只需证 a2 1a2 22 ? ?a 1a ， 只需证 a2 1a2 12? ?a2 1a2 2 ， 即证 a2 1a22 ，它显然成立 原不等式成立 .
