1、第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第四节 函数的微分第四章 一元函数的导数与微分一.函数
2、的微分三.二阶微分微分的运算法则 四.微分在近似计算中的应用五.微分在误差估计中的应用)(o)(0 xxxfy若 y=f(x)在点 x0 处有(有限)导数,则xxfy)(0现在反过来想一想：若在 x0 点处 y=f(x)的增量 y 可以表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 )0()o(xxxAy那么,我们自然要问 A=?xxAxy)(o xy Ax0lim )(0 xf 就是说,在点 x0 处若可用关于自变量的增量 x 的线性函数逼近函数的增量 y 时,其关系式一定是 y=f(x0)x+o(x)我们称 f(x0)x (或 Ax)为函数在点 x0 处增量的线性主部,通常将它记为 dy
3、=f(x0)x (dy=Ax).微分一.函数的微分将以上的讨论归纳一下,可得出什么结论?1.微分的概念y=Ax+o(x)此时,称 f(x)在点 x0 处可微。设 y=f(x)在 U(x0)有定义,给 x0 以增量x,且 x0+x U(x0)。如果函数相应的增量可表示为则称 y 的线性主部为 f(x)在点 x0 处的微分,记为 d y=Ax,其中,A 叫微分系数。2.可微与可导的关系定理 ).(,)()(000 xfAxxfxxf且处可导在点处可微在点y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x 也就是说,f(x)在点 x0 处的可微性与可导性是等价的,且 f(x)在点 x0 处可微,则解解.d
4、 ,yxy求什么意思？例例1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或此外,当 x 为自变量时,还可记.)(d ,d22等Znxxxxnn ,1)(dxxxxy ,故得由于xy .ddxxy.dd)(,d)(d xyxfxxfy有时当即函数 f(x)在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商,故导数也可称为微商.哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.3.微分的几何意义Oxyyydxxdxxx)(xfy ddtan xy 几何上,函数 y=f(x)在点 x 处的微分表示为:
5、相应于自变量 x 的改变量 x,曲线y=f(x)在点 P(x,y)的切线上纵坐标的改变量.微分的运算法则 1.微分的基本公式可微 可导 微分的基本公式与导数的基本公式相似 微分公式一目了然,不必讲了.一阶微分形式不变性 (复合函数微分法则)()(可构成复合函数与设xuufy).(xfy而处可微在点若 ,)(0 xxu ,)()(00且处可微在相应点xuufy)(,)U()(0 xfyxxf则内有定义在在点 x0 处可微.按微分的定义但故xxfxxyyd)(ddddxxxfd)()(xxud)(d d)(d)()(duufxxufy)(为中间变量u 说明什么问题？我们发现 y=f(u),当 u
6、为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同,均为 dy=f(u)du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性.解解xxxxyd3d)(d231.0221.02d3dxxxxxxy)d(2.11.0232xx 故xxxyxxd12d3d222.2,1.0 ,2 3处的微分在时以及当处的微分在求xxxxy例例2 由一阶微分形式不变性,再来看复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就会有另一种感觉：)(1dd1dd)(xfxyyxy反函数的导数)()(d)(d)(dd txtyttxttyxy参数方程的导数 ,dddddd xuuyxy复合函数的导数例例3.dd ,4 2xyyyx求设解解
7、yyxd)42(d )2(421dd yyxy)42dd (yyx或例例4三.二阶微分其二阶微分为设函数 y=f(x)二阶可导,当 x 为自变量时,)d)(d()d(dd2xxfyy2d)(d)(d(xxfxxf 由此看出,当 x 为自变量时,22dd)(xyxf d 22xx 除法xxd类似可定义 n 阶微分:nnnnnnxxfxxfyyd)()d)(d()d(dd)(1)1(1nnnxyxfdd)()(且有 注意这里 x 是自变量 以及一阶微分由高阶导数 dd)()(nnnxyxf ,分是否也我们自然会想到高阶微形式不变性具有这种不变性？看一下二阶微分的情形：性,且可构成复合函数 y=f(
8、t),则tttxftxfdd)()()()(2 xxfxxf22d)(d)(设函数 y=f(x),x=(t)都具有相应的可微)d)()(d()d(dd2ttxfyy d tt,d)(d ,22ttx 其中2222d)()d)(dttttx 就是说,二阶微分不具备微分形式不变性.高阶微分不具备微分形式不变性.三.微分在近似计算中的应用)(o)(xxxfy由函数增量的近似值：,|,0)(0很小时当xxfxxfxfxxfy)()()(000函数值的近似值：xxfxfxxf)()()(000)()()()(000 xxxfxfxf将半径为 R的球加热.如果球的半径,R估计球的体积的增量.伸长解解333
9、4)(34RRRVRR)34(3RR 24,343RV则由所以,球的体积增量大约为.42RR 例例5.3030sin 的近似值利用微分求,sin)(xxf设.36063030 又,360 ,6 0 xx取xxfxfxxf)()()(000由 ,236cos)(0 xf而3606cos6sin)3606sin(5076.0得3602321解解例例6四.微分在误差估计中的应用设某个量的精确值为 A,它的近似值为 a,|aaA为 a 的相对误差.A 为测量 A 的绝对误差限,简称 A 的绝对误差.|a|A 为测量 A 的相对误差限,简称 A 的相对误差.则称:|A a|为 a 的绝对误差;,|AaA
10、若已知则称:设测得圆钢截面的直径 D=60.03 mm,测量 D 的绝对误差限 D0.05 mm,试估计计算圆钢的截面积时的面积误差解解设测量值为 D,精确值为,DD则224)(4DDDADAAddDD 2 4 2DA由于D 的绝对误差限 D0.05 mm,所以05.0|DD例例7而因此,A 的绝对误差限约为)(715.42mmA 的相对误差限约为242DDADA%17.0DD203.6005.0205.003.602DDDDAA2|2|d|DAD2,)(xfy 设已知测量 x 的绝对误差限为 x ,|xx即,0 时则当 yy 的绝对误差:xyxyyy|d|y 的绝对误差限约为xyy|y 的相对误差限约为xyyyy|即有若根据直接测量的 x 值计算 y 值,谢谢观看！
